2024届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故选：B.2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（）A.为锐角三角形 B.为直角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗C〖解析〗由于,故为钝角，进而三角形为钝角三角形故选：C.3.已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，联立，消去，得，则，由，所以，故抛物线方程为，则其焦点坐标为.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，可得，则，.故选：A.5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）A.248种 B.168种 C.360种 D.210种〖答案〗D〖解析〗根据题意进行分类：第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，（种）.所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．故选：D.6.函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，当且仅当时取等号，由可得，所以，故，故选：C7.已知函数满足，则下列结论一定正确的是（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数〖答案〗B〖解析〗因为，令，可得，则；令，则，故的图象关于点对称，则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；对于C，令，可得，则，当时，，此时不可能是奇函数，由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；对于AD，取，满足题意，但易知D错误；故选：B.8.已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，则有，，点在圆锥的侧面上运动，则，最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离，中，，，则，点到的距离，则的最小值为，的最小值为.故选：A.二、选择题9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（）A.B.C.与时的相对于平衡位置的高度之比为D.与时的相对于平衡位置的高度之比为〖答案〗BC〖解析〗对于AB，由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，又，所以，故A错误，B正确；对于CD，则，所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C正确D错误.故选：BC.10.已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，对于B，由于，故在圆内，故经过点的直线与圆相交，，故B正确，对于C，由于，故在圆外，故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，对于D，由于，故两圆相交，，D错误，故选：AB11.如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A.的渐近线方程为 B.C.的面积为 D.内接圆的半径为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，依题意，直线的斜率为，所以，又，所以为等边三角形，故，在中，为锐角，，所以，根据正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以双曲线的方程为，对于AB，的渐近线方程为，故AB正确；对于C，的面积为，故C错误；对于D，的面积为，所以内接圆的半径为，故D正确.故选：ABD，三、填空题12.已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______．〖答案〗〖解析〗由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为.故〖答案〗为：.13.若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______．〖答案〗〖解析〗依题意，知这6个数的平均数为，又，得，所以这6个数的方差为.故〖答案〗为：；.14.已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解，在上单调递增，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以处取得极大值，即极大值为，如下图：故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为.又，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，即当时，有2个零点，所以使关于的方程有6个解，则，，即，令，易知在上单调递增，又，所以的解集为，综上所述，的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面平面，且，．（1）证明：平面；（2）若，点满足，求二面角的大小．（1）证明：过作于点，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，，,1,，，故，,所以,，设平面的法向量，则，令有，故，平面的法向量，则，又二面角所成角为锐角，二面角所成角的余弦值为，角的大小为．16.已知数列满足，．（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和，并证明．（1）证明：由题意可知，，所以数列是首项，公比为6等比数列.于是.（2）解：由题意可知，，所以.又，令，，所以数列单调递增，故，即.17.根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为，求的分布列及期望．解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分频率为，所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.（2）因为，所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.（3）由图可知，，同理，而的可能取值为，则，，，所以的分布列为0120.080440.48故.18.已知，分别是椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，是上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且．（1）求的方程；（2）直线与交于点，与轴交于点，求的取值范围．解：（1）依题意，设，显然，，则，又，即，所以，即①，由，得②，联立①②，解得，所以椭圆的方程为，（2）由（1）得，，设直线的方程为，因为点位于第一象限，所以，联立，整理得，则，所以，则，所以，又直线的方程为，即，所以联立，解得，故，因为，所以，，则，所以.19.定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．（1）解：的定义域为，求导得，直线的斜率为2，令，解得，不妨设切点，则点处的切线方程为，即，点处的切线方程为，即，所以直线是曲线的“双重切线”.（2）解：函数，求导得，显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，设切点，则存在，使得，则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，因此，消去可得，令，求导得，则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，所以曲线的“双重切线”的方程为.（3）证明：设对应的切点为，对应的切点为，由，得，，由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，由及余弦函数在上递增知，，则，，因此，又，，则，同理，令，求导得，则在上单调递增，显然，且，函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，由，同理可得，而，因此，于是，即有，所以，即.河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故选：B.2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（）A.为锐角三角形 B.为直角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗C〖解析〗由于,故为钝角，进而三角形为钝角三角形故选：C.3.已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，联立，消去，得，则，由，所以，故抛物线方程为，则其焦点坐标为.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，可得，则，.故选：A.5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）A.248种 B.168种 C.360种 D.210种〖答案〗D〖解析〗根据题意进行分类：第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，（种）.所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．故选：D.6.函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，当且仅当时取等号，由可得，所以，故，故选：C7.已知函数满足，则下列结论一定正确的是（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数〖答案〗B〖解析〗因为，令，可得，则；令，则，故的图象关于点对称，则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；对于C，令，可得，则，当时，，此时不可能是奇函数，由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；对于AD，取，满足题意，但易知D错误；故选：B.8.已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，则有，，点在圆锥的侧面上运动，则，最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离，中，，，则，点到的距离，则的最小值为，的最小值为.故选：A.二、选择题9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（）A.B.C.与时的相对于平衡位置的高度之比为D.与时的相对于平衡位置的高度之比为〖答案〗BC〖解析〗对于AB，由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，又，所以，故A错误，B正确；对于CD，则，所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C正确D错误.故选：BC.10.已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，对于B，由于，故在圆内，故经过点的直线与圆相交，，故B正确，对于C，由于，故在圆外，故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，对于D，由于，故两圆相交，，D错误，故选：AB11.如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A.的渐近线方程为 B.C.的面积为 D.内接圆的半径为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，依题意，直线的斜率为，所以，又，所以为等边三角形，故，在中，为锐角，，所以，根据正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以双曲线的方程为，对于AB，的渐近线方程为，故AB正确；对于C，的面积为，故C错误；对于D，的面积为，所以内接圆的半径为，故D正确.故选：ABD，三、填空题12.已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______．〖答案〗〖解析〗由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为.故〖答案〗为：.13.若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______．〖答案〗〖解析〗依题意，知这6个数的平均数为，又，得，所以这6个数的方差为.故〖答案〗为：；.14.已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解，在上单调递增，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以处取得极大值，即极大值为，如下图：故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为.又，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，即当时，有2个零点，所以使关于的方程有6个解，则，，即，令，易知在上单调递增，又，所以的解集为，综上所述，的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面平面，且，．（1）证明：平面；（2）若，点满足，求二面角的大小．（1）证明：过作于点，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，，,1,，，故，,所以,，设平面的法向量，则，令有，故，平面的法向量，则，又二面角所成角为锐角，二面角所成角的余弦值为，角的大小为．16.已知数列满足，．（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和，并证明．（1）证明：由题意可知，，所以数列是首项，公比为6等比数列.于是.（2）解：由题意可知，，所以.又，令，，所以数列单调递增，故，即.17.根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看，影片的概率分别为，，乙观看，影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为，求的分布列及期望．解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分频率为，所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.（2）因为，所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值