2024届甘肃省陇南市部分学校高三一模联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2甘肃省陇南市部分学校2024届高三一模联考数学试题一、选择题1.设全集为R，集合则（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，则，解得或，或，.故选：D.2.已知a为实数,复数为纯虚数,则A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由为纯虚数，，.故选：C.3.下列函数图象的对称轴方程为的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，令，即，即的对称轴方程为，A错误；对于B，，令，即，即的对称轴方程为，B正确；对于C，，令，即，即的对称轴方程为，C错误；对于D，，令，即，即的对称轴方程为，D错误；故选：B.4.设为两个平面，下列条件中，不是“与β平行”的充要条件的是（）A.内有无数条直线与β平行 B.垂直于同一条直线C.平行于同一个平面 D.内有两条相交直线都与β平行〖答案〗A〖解析〗对于A，内有无数条直线与β平行，可可能相交，即这无数条直线都与两平面的交线平行，故内有无数条直线与β平行得不出与β平行，A适合题意；对于B，垂直于同一条直线时，可得与β平行，反之也成立，即垂直于同一条直线是与β平行的充要条件；对于C，平行于同一个平面，则与β平行，反之也成立，故平行于同一个平面是与β平行的充要条件；对于D，内有两条相交直线都与β平行，根据面面平行的判定定理可知与β平行，反之也成立，即内有两条相交直线都与β平行为与β平行的充要条件；故选：A5.已知数列为等比数列，，则（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，则，故.故选：C.6.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点为C上一点，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，过分別作准线和轴的垂线，与准线交于点，与轴交于点.则，所以，又，，所以，解得，所以.故选：A7.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（）A.336种 B.284种 C.264种 D.186种〖答案〗A〖解析〗当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有种排法；当有1名女生排在一端，另一端排男生时，共有种排法；当男生排在两端时，共有种排法；故不同的排法共有（种），故选：A8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以；令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立，当，即，有，从而有；综上，.故选：D.二、选择题9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（）A.B.y与x的样本相关系数C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元〖答案〗ABC〖解析〗根据题意可得，，，所以样本中心点为，对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为

10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.故选：ABC.10.已知函数有3个不同的零点,且，则（）A. B.的解集为C.是曲线的切线 D.点是曲线的对称中心〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为有3个不同的零点,所以不妨设，易知展开式中的常数项为，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正确；对于B，因为，令，即，利用数轴穿根法，解得或，故B错误；对于C，易得，当切线斜率为时，令，解得或，当时，，此时切线为，即，故C正确；对于D，因为，又，所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.故选：AC.11.已知，关于x的不等式的解集为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为，不妨取，则，即，其解集为，即满足题意，故A错误；对于B，即，令，由于不等式的解集为，故需满足，且，令，则，由于，则，即得，又，故，B正确；对于C，D，，，故，令，，则，则，令，则，由于函数在上单调递增，故，则，即，即，，C，D正确，故选：BCD.三、填空题12.已知圆O为圆锥的底面圆，等边三角形内接于圆O；若圆锥的体积为，则三棱锥的体积为________〖答案〗〖解析〗设圆O的半径为r，圆锥的高为h，则，等边三角形内接于圆O，则，故，则三棱锥的体积为，故〖答案〗为：13.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.〖答案〗240〖解析〗由题意知，，故数列的前30项和为，故〖答案〗为：24014.已知M是椭圆上一点，线段AB是圆的一条动弦,且则的最大值为_______.〖答案〗70〖解析〗如图，设中点为，由，，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，，，设，则，当且仅当时，，所以，故〖答案〗为：70.四、解答题15.在中，内角A，B，C的对边分别为.已知（1）求b；（2）D为边上一点，，求的长度和的大小.解：（1）由题意知在中，，故，即，由于，故；（2）由（1）知，结合，得，又，故，又，则，又，则，故，即，即，结合，解得，则，，而锐角，故.16.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.（1）证明：平面.（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：记为的中点，连接.因为为等边三角形，所以，因为，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面.（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为为等边三角形，，所以到底边距离为，因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设平面的法向量为，则即，令，则，故，因，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.（2）已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.解：（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，则，，故；（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为，则，，，，则（元），故，故该活动不会超过预算.18.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点的焦距为4.（1）求M和的方程;（2）如图，过点T(0，1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A,B,C,D,若求直线l的方程.解：（1）因为,的焦距为4,所以，，所以，渐近线相同，可设为，代入，，所以（2）设直线l的方程为，由化简可得：，，时，，，时，，，所以,同理因为，所以，所以.又因为所以所以则，由，解得：，由可知，,所以直线l的方程为：.19.已知函数（1）讨论的单调性.（2）证明:当时,（3）证明:（1）解：，，当时，易知，所以函数在R上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增，令，得，即在上单调递减，综上，当时，函数在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：令，，，令，，则，所以在上单调递增，当时，，又，有，，即单调递减，，，即单调递增，所以，而此时，所以当时，成立；当时，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，由可得，，下面证明，，令，，所以在上单调递增，，即得证，即成立，综上，当时，成立.（3）证明：由（2），当时，有，即，令，，得，，，即.甘肃省陇南市部分学校2024届高三一模联考数学试题一、选择题1.设全集为R，集合则（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，则，解得或，或，.故选：D.2.已知a为实数,复数为纯虚数,则A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由为纯虚数，，.故选：C.3.下列函数图象的对称轴方程为的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，，令，即，即的对称轴方程为，A错误；对于B，，令，即，即的对称轴方程为，B正确；对于C，，令，即，即的对称轴方程为，C错误；对于D，，令，即，即的对称轴方程为，D错误；故选：B.4.设为两个平面，下列条件中，不是“与β平行”的充要条件的是（）A.内有无数条直线与β平行 B.垂直于同一条直线C.平行于同一个平面 D.内有两条相交直线都与β平行〖答案〗A〖解析〗对于A，内有无数条直线与β平行，可可能相交，即这无数条直线都与两平面的交线平行，故内有无数条直线与β平行得不出与β平行，A适合题意；对于B，垂直于同一条直线时，可得与β平行，反之也成立，即垂直于同一条直线是与β平行的充要条件；对于C，平行于同一个平面，则与β平行，反之也成立，故平行于同一个平面是与β平行的充要条件；对于D，内有两条相交直线都与β平行，根据面面平行的判定定理可知与β平行，反之也成立，即内有两条相交直线都与β平行为与β平行的充要条件；故选：A5.已知数列为等比数列，，则（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，则，故.故选：C.6.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点为C上一点，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，过分別作准线和轴的垂线，与准线交于点，与轴交于点.则，所以，又，，所以，解得，所以.故选：A7.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（）A.336种 B.284种 C.264种 D.186种〖答案〗A〖解析〗当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有种排法；当有1名女生排在一端，另一端排男生时，共有种排法；当男生排在两端时，共有种排法；故不同的排法共有（种），故选：A8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以；令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立，当，即，有，从而有；综上，.故选：D.二、选择题9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（）A.B.y与x的样本相关系数C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元〖答案〗ABC〖解析〗根据题意可得，，，所以样本中心点为，对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为

10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.故选：ABC.10.已知函数有3个不同的零点,且，则（）A. B.的解集为C.是曲线的切线 D.点是曲线的对称中心〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为有3个不同的零点,所以不妨设，易知展开式中的常数项为，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正确；对于B，因为，令，即，利用数轴穿根法，解得或，故B错误；对于C，易得，当切线斜率为时，令，解得或，当时，，此时切线为，即，故C正确；对于D，因为，又，所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.故选：AC.11.已知，关于x的不等式的解集为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为，不妨取，则，即，其解集为，即满足题意，故A错误；对于B，即，令，由于不等式的解集为，故需满足，且，令，则，由于，则，即得，又，故，B正确；对于C，D，，，故，令，，则，则，令，则，由于函数在上单调递增，故，则，即，即，，C，D正确，故选：BCD.三、填空题12.已知圆O为圆锥的底面圆，等边三角形内接于圆O；若圆锥的体积为，则三棱锥的体积为________〖答案〗〖解析〗设圆O的半径为r，圆锥的高为h，则，等边三角形内接于圆O，则，故，则三棱锥的体积为，故〖答案〗为：13.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.〖答案〗240〖解析〗由题意知，，故数列的前30项和为，故〖答案〗为：24014.已知M是椭圆上一点，线段AB是圆的一条动弦,且则的最大值为_______.〖答案〗70〖解析〗如图，设中点为，由，，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，，，设，则，当且仅当时，，所以，故〖答案〗为：70.四、解答题15.在中，内角A，B，C的对边分别为.已知（1）求b；（2）D为边上一点，，求的长度和的大小.解：（1）由题意知在中，，故，即，由于，故；（2）由（1）知，结合，得，又，故，又，则，又，则，故，即，即，结合，解得，则，，而锐角，故.16.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.（1）证明：平面.（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：记为的中点，连接.因为为等边三角形，所以，因为，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面.（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为为等边三角形，，所以到底边距离为，因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设平面的法向量为，则即，令，则，故，因，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖