2024届北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗全集，集合，所以.故选：D.2.若复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数满足，所以．所以的共轭复数是．故选：B．3.已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故选：B.4.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，得，又，所以.故选：C.5.若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，所以，得到，所以双曲线的方程为，故选：D.6.设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7.已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，即时，，解得，时，，无解，故，设过点与曲线相切的直线的切点为，当时，，则有，有，整理可得，即，即当时，有一条切线，当时，，则有，有，整理可得，令，则，令，可得，故当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，由，，故在上没有零点，又，故在上必有唯一零点，即当时，亦可有一条切线符合要求，故.故选：B.8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得、，，对A：当时，，则，，此时，故A错误；对B：当时，，故B错误；对C、D：，由，故，则，即，故C正确，D错误.故选：C.9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，且为偶函数，故，由导数性质结合图象可得当时，，当时，，当时，即，则由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定义域内），由，可得，综上所述，关于x的不等式的解集为.故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到,然后分叉向与方向继续繁殖，其中,且与关于所在直线对称,….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，则，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即，综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，故选：C第二部分（非选择题）二、填空题11.已知，则_______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.12.已知，线段是过点的弦，则的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗由，故点在圆的内部，且该圆圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即，故当取最大值时，有最小值，又，故.故〖答案〗为：.13.若，则_______；_______.〖答案〗〖解析〗令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，则，即，则，故.故〖答案〗为：；.14.已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为，所以，因定义域为，当时，，下证是的一个对称中心，在上任取点，其关于对称点为，又，所以函数的图象的一个对称中心的坐标为，故〖答案〗为：；（〖答案〗不唯一）15.已知函数，给出下列四个结论：①函数是奇函数；②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根；③已知是曲线上任意一点，，则；④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则.其中所有正确结论的序号是_________.〖答案〗②③④〖解析〗对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误；对②：，即，当时，有，故是该方程的一个根；当，时，由，故，结合定义域可得，有，即，令，，有或（负值舍去），则，故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根；当，时，由，故，结合定义域有，有，即，令，，有或（正值舍去），令，即，则，即，故在定义域内亦必有一根，综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令，则有，，令，，，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减，又，，故恒成立，即，故，故③正确；对④：当时，由，，故，此时，，则，当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或，、当时，由，有，故成立；当时，即有，即有、关于点对称，由③知，点到的距离，同理点，故；综上所述，恒成立，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三、解答题16.在中，.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因为，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以面积为.17.如图，在四棱锥中，为的中点，平面.（1）求证：；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.（i）求证：平面；（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；（2）（i）证明：取的中点，连接，由（1）知，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以，即，选条件①：，因为，所以与全等，所以，因为，所以，所以，即，又因为，、平面，所以平面；（ⅱ）解：由（i）知平面，而平面，所以，因为，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为,则，即，令，则，于是，因为为平面的法向量,且,所以二面角的余弦值为.选条件③：，(i)因为，所以，因为，所以与全等，所以，即，因为，又因为，、平面，所以平面；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i）可得，又，，、平面，所以平面，又因为平面，所以，即是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302（1）当时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.解：（1）当时，（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生科普过程性积分不少于3分的概率估计为.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，的所有可能值为6，7，8，，，，所以的数学期望.（2）由表知，，则，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此，则，解得，所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.19.已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.（1）求m的值及点的坐标；（2）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.解：（1）由，即，由题意可得，故，解得，故，则，故；（2）设，，，有，由，则有，即，由，故有，即有，由可得、，则，，则，由，故，即.20.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数存在最大值，求的取值范围.解：（1）易知定义域为，因为，所以，由，得到，当时，，当时，，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，则，由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时取得最大值，所以当时，，当时，，即当时，，所以函数在存在最大值的充要条件是，即，令，则恒成立，所以是增函数，又因为，所以的充要条件是，所以的取值范围为.21.已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.（1）若，写出的值；（2）若存在满足：，求的最小值；（3）当时，证明：对所有.（1）解：由，，则，故，则，故，则，故；（2）解：由题意可知，，当时，由，，故，则，由题意可得，故、总有一个大于，即或，，由，故、、总有一个大于，故，故当时，，不符，故，当时，取数列，有，，，即，符合要求，故的最小值为；（3）证明：因为，所以，(i)若，则当时，至少以下情况之一成立：①，这样的至少有个，②存在，这样的至多有个，所以小于的至多有个，所以，令，解得，所以，(ii)对，若，且，因为，所以当时，至少以下情况之一成立：①，这样的至多有个；②存在且，这样的至多有个，所以，令，解得，即，其中表示不大于的最大整数，所以当时，；综上所述，定义，则，依次可得：，，所以.北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗全集，集合，所以.故选：D.2.若复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数满足，所以．所以的共轭复数是．故选：B．3.已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故选：B.4.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，得，又，所以.故选：C.5.若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，所以，得到，所以双曲线的方程为，故选：D.6.设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7.已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，即时，，解得，时，，无解，故，设过点与曲线相切的直线的切点为，当时，，则有，有，整理可得，即，即当时，有一条切线，当时，，则有，有，整理可得，令，则，令，可得，故当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，由，，故在上没有零点，又，故在上必有唯一零点，即当时，亦可有一条切线符合要求，故.故选：B.8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得、，，对A：当时，，则，，此时，故A错误；对B：当时，，故B错误；对C、D：，由，故，则，即，故C正确，D错误.故选：C.9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，且为偶函数，故，由导数性质结合图象可得当时，，当时，，当时，即，则由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定义域内），由，可得，综上所述，关于x的不等式的解集为.故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到,然后分叉向与方向继续繁殖，其中,且与关于所在直线对称,….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，则，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即，综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，故选：C第二部分（非选择题）二、填空题11.已知，则_______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.12.已知，线段是过点的弦，则的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗由，故点在圆的内部，且该圆圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即，故当取最大值时，有最小值，又，故.故〖答案〗为：.13.若，则_______；_______.〖答案〗〖解析〗令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，则，即，则，故.故〖答案〗为：；.14.已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为，所以，因定义域为，当时，，下证是的一个对称中心，在上任取点，其关于对称点为，又，所以函数的图象的一个对称中心的坐标为，故〖答案〗为：；（〖答案〗不唯一）15.已知函数，给出下列四个结论：①函数是奇函数；②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根；③已知是曲线上任意一点，，则；④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则.其中所有正确结论的序号是_________.〖答案〗②③④〖解析〗对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误；对②：，即，当时，有，故是该方程的一个根；当，时，由，故，结合定义域可得，有，即，令，，有或（负值舍去），则，故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根；当，时，由，故，结合定义域有，有，即，令，，有或（正值舍去），令，即，则，即，故在定义域内亦必有一根，综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令，则有，，令，，，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减，又，，故恒成立，即，故，故③正确；对④：当时，由，，故，此时，，则，当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或，、当时，由，有，故成立；当时，即有，即有、关于点对称，由③知，点到的距离，同理点，故；综上所述，恒成立，故④正确.故〖答案〗为：②③④.三、解答题16.在中，.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因为，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以面积为.17.如图，在四棱锥中，为的中点，平面.（1）求证：；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.（i）求证：平面；（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；（2）（i）证明：取的中点，连接，由（1）知，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以，即，选条件①：，因为，所以与全等，所以，因为，所以，所以，即，又因为，、平面，所以平面；（ⅱ）解：由（i）知平面，而平面，所以，因为，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为,则，即，令，则，于是，因为为平面的法向量,且,所以二面角的余弦值为.选条件③：，(i)因为，所以，因为，所以与全等，所以，即，因为，又因为，、平面，所以平面；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i）可得，又，，、平面，所以平面，又因为平面，所以，即是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302（1）当时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.解：（1）当时，（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生科普过程性积分不少于3分的概率估计为.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为