2023-2024学年辽宁省名校联盟高一下学期3月联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联合考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得，故其定义域.故选：C.2.下列函数中是增函数的为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，为上的减函数，A不是；对于B，为上的减函数，B不是；对于C，在上不单调，C不是；对于D，为上的增函数，D是.故选：D.3.已知平面向量a，b不共线，，，则（）AA，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线〖答案〗D〖解析〗对A，与不共线，A错误；对B，则与不共线，B错误；对于C，则与不共线，C错误；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选：D.4.下列与终边相同的角的表达式中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于AB，因为，所以与终边相同，所以与终边相同的角为，故A正确，B错误；对于CD，当时，，显然与终边不相同，故CD错误.故选：A.5.在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，共有，10种情况，其中孪生素数有，共2种情况，由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.故选：C.6.某校学生会皮尔逊统计小组联合李比希有机化学小组对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述一定错误的是（）A.这组数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.这组数据中可能有极端大的值D.这组数据中的众数可能和中位数相同〖答案〗B〖解析〗对于A，如果这组数据中较小的数个数较多，而大数很大，且个数较少，则中位数比平均数小很多，故A可能发生；对于B，若这组数据是近似对称的，则这组数据的中位数与平均数相同或相近，故B错误；对于C，同A分析可得C也可能发生；对于D，在A中数据分布的情况下，可能众数和中位数相同，故D可能发生.故选：B.7.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗由弧长公式得弧长，所以扇形的周长为.故选：C.8.已知是方程的两个解，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，分别作出两个函数的图像，如图所示：不妨设，则由图像知，则，两式相减得，因为为减函数，所以，即0，则，因为，所以，可得，则，即，因为，所以.故选：.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.若，则的充要条件是D.的充要条件是〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A项错误；对于B，若，当时，，当时，，故充分性不成立；若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B项正确；对于C，当时，，所以成立；当时，所以成立；当时，也成立，所以的充分不必要条件是，故C项错误；对于D，等价于，即，所以，故的充要条件是，故D项正确.故选：BD.10.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若与共线，则或C.若为单位向量，则D.是与非零向量共线的单位向量〖答案〗AD〖解析〗依题意，对于A：若，则，故A正确；对于B：若与共线，则，故B错误；对于C：若为单位向量，则，方向不一定相同，故C错误；对于D：是与非零向量共线的单位向量，故D正确.故选：AD.11.已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（）A. B.是周期函数C.为偶函数 D.为奇函数〖答案〗BC〖解析〗对于AB，因为是偶函数，所以，即，又是定义在上的奇函数，所以，于是，即，所以是以4为一个周期的周期函数，故A错误，B正确；对于C，设，则的定义域为，因为，所以，则，即，所以为偶函数，故C正确；对于D，设，则的定义域为，因为，所以，则，即，所以为偶函数，故D错误.故选：BC.12.已知函数，则（）A.若是偶函数，则B.无论取何值，都不可能是奇函数C.在区间上单调递减D.的最大值小于1〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，若是偶函数，则，所以，即可得，故A项正确；对于B项，不过点，故B项正确；对于C项，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递减，故C项正确；对于D项，，又在上单调递增，所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的值域为__________.〖答案〗〖解析〗由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数，所以当时，可知在上单调递减，可得.故〖答案〗为：.14.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为______．〖答案〗〖解析〗记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，由题意可知，，，因为事件，相互独立，所以，又，所以.故〖答案〗为：.15.当时，最小值为____________．〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由，得或，所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解，当时，的解集为，此时，即，满足要求；当时，的解集为，此时不满足题设；当时，的解集为，此时，即，满足要求，综上，的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，则，故，因为，所以.（2）.18.如图，在中，分别是边上的动点，为与的交点.（1）证明：；（2）当分别是边的中点时，用表示.解：（1）证明：因为是边上的动点，所以存在，使得，所以，令，则，因为，所以，所以.（2）因为分别是边的中点，所以，所以，又，所以，即可得；所以，又，所以.19.已知幂函数的图象与坐标轴无交点.（1）求的〖解析〗式；（2）解不等式.解：（1）由是幂函数，得，解得或，由的图象与坐标轴无交点，得，则，所以的〖解析〗式是.（2）显然函数是偶函数，且在上单调递减，不等式，因此，解得且，所以原不等式的解集为.20.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的.（1）若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？（2）若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数.解：（1）当时，，因为，所以，符合要求，故该企业可获得10.5万元奖金.（2），因为为正整数，所以在上单调递增，由题意知对时恒成立，故，解得，又，即在时恒成立，即所以正整数，综上，故最小正整数的值为158.21.已知集合.（1）求；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，由，得，所以，即，解得，所以，所以.（2）当时，因为单调递减，所以，因为对任意的恒成立，所以当时，则恒成立，即，即，因为，所以解得；当时，则恒成立，即，因为，所以解得，综上，的取值范围是.22.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并给出证明；（2）当时，若对任意正实数都成立，求取值范围.解：（1）当时，为奇函数，证明如下：因为的定义域为，又，即，故为奇函数.（2）当时，，由（1）知为奇函数，故由，可得，即，由复合函数性质易知，在上单调递减，所以在时恒成立，即在时恒成立，①当，即时，符合题意；②若，即时，因为的图象开口向上，且与y轴交于点，所以只需函数图像的对称轴，解得，所以，综上，的取值范围为.辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联合考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得，故其定义域.故选：C.2.下列函数中是增函数的为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，为上的减函数，A不是；对于B，为上的减函数，B不是；对于C，在上不单调，C不是；对于D，为上的增函数，D是.故选：D.3.已知平面向量a，b不共线，，，则（）AA，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线〖答案〗D〖解析〗对A，与不共线，A错误；对B，则与不共线，B错误；对于C，则与不共线，C错误；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选：D.4.下列与终边相同的角的表达式中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于AB，因为，所以与终边相同，所以与终边相同的角为，故A正确，B错误；对于CD，当时，，显然与终边不相同，故CD错误.故选：A.5.在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，共有，10种情况，其中孪生素数有，共2种情况，由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.故选：C.6.某校学生会皮尔逊统计小组联合李比希有机化学小组对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述一定错误的是（）A.这组数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.这组数据中可能有极端大的值D.这组数据中的众数可能和中位数相同〖答案〗B〖解析〗对于A，如果这组数据中较小的数个数较多，而大数很大，且个数较少，则中位数比平均数小很多，故A可能发生；对于B，若这组数据是近似对称的，则这组数据的中位数与平均数相同或相近，故B错误；对于C，同A分析可得C也可能发生；对于D，在A中数据分布的情况下，可能众数和中位数相同，故D可能发生.故选：B.7.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗由弧长公式得弧长，所以扇形的周长为.故选：C.8.已知是方程的两个解，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，分别作出两个函数的图像，如图所示：不妨设，则由图像知，则，两式相减得，因为为减函数，所以，即0，则，因为，所以，可得，则，即，因为，所以.故选：.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.若，则的充要条件是D.的充要条件是〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A项错误；对于B，若，当时，，当时，，故充分性不成立；若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B项正确；对于C，当时，，所以成立；当时，所以成立；当时，也成立，所以的充分不必要条件是，故C项错误；对于D，等价于，即，所以，故的充要条件是，故D项正确.故选：BD.10.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若与共线，则或C.若为单位向量，则D.是与非零向量共线的单位向量〖答案〗AD〖解析〗依题意，对于A：若，则，故A正确；对于B：若与共线，则，故B错误；对于C：若为单位向量，则，方向不一定相同，故C错误；对于D：是与非零向量共线的单位向量，故D正确.故选：AD.11.已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（）A. B.是周期函数C.为偶函数 D.为奇函数〖答案〗BC〖解析〗对于AB，因为是偶函数，所以，即，又是定义在上的奇函数，所以，于是，即，所以是以4为一个周期的周期函数，故A错误，B正确；对于C，设，则的定义域为，因为，所以，则，即，所以为偶函数，故C正确；对于D，设，则的定义域为，因为，所以，则，即，所以为偶函数，故D错误.故选：BC.12.已知函数，则（）A.若是偶函数，则B.无论取何值，都不可能是奇函数C.在区间上单调递减D.的最大值小于1〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，若是偶函数，则，所以，即可得，故A项正确；对于B项，不过点，故B项正确；对于C项，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递减，故C项正确；对于D项，，又在上单调递增，所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的值域为__________.〖答案〗〖解析〗由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数，所以当时，可知在上单调递减，可得.故〖答案〗为：.14.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为______．〖答案〗〖解析〗记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，由题意可知，，，因为事件，相互独立，所以，又，所以.故〖答案〗为：.15.当时，最小值为____________．〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故〖答案〗为：.16.已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由，得或，所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解，当时，的解集为，此时，即，满足要求；当时，的解集为，此时不满足题设；当时，的解集为，此时，即，满足要求，综上，的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，则，故，因为，所以.（2）.18.如图，在中，分别是边上的动点，为与的交点.（1）证明：；（2）当分别是边的中点时，用表示.解：（1）证明：因为是边上的动点，所以存在，使得，所以，令，则，因为，所以，所以.（2）因为分别是边的中点，所以，所以，又，所以，即可得；所以，又，所以.19.已知幂函数的图象与坐标轴无交点.（1）求的〖解析〗式；（2）解不等式.解