2022-2023学年宁夏吴忠市高一下学期期末联合调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2宁夏吴忠市2022-2023学年高一下学期期末联合调研考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，复数所对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.下列关于几何体特征的判断正确的是（）A.一个斜棱柱的侧面不可能是矩形B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥C.有一个面是边形的棱锥一定是棱锥D.平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形〖答案〗C〖解析〗对于A中，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；对于B中，根据正棱锥定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；对于C中，根据棱锥的分类，可得有一个面是边形的棱锥一定是棱锥，所以C正确；对于D中，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D错误.故选：C.3.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，所以，且，所以.故选：C.4.在中，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，由正弦定理得，因此，显然，所以.故选：C.5.已知向量，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，则在上的投影向量为.故选：A.6.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（）A.28 B. C. D.74〖答案〗A〖解析〗因为正四棱台的上、下底面边长分别为，所以，设正四棱台的高为，则，可得，正四棱台的上底面面积为，下底面面积为，则该正棱台的体积为.故选：A.7.已知直线与平面，则的充分条件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗取长方体，由可令为，为，为平面，为平面，发现，故A选项错误；由可令为，为，为平面，为平面，发现不垂直，故B选项错误；由，可令为平面，为平面，为平面，发现不垂直，故C选项错误.故选：D.8.若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．对于顶角的等腰，若角的平分线交于点，则恰为的一个黄金分割点．利用上述结论，可以求出（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图：计算方便，特取，并设，因为所以又为角的平分线，则，又，所以，中，则，所以，又因为，所以，故由恰为的一个黄金分割点，只能有，可得，解得，所以，在中，由余弦定理可知，即．故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.“”是“”的必要条件B.若，则的最大值为1C.若，则D.，关于的方程在中最多可以有4个解〖答案〗AD〖解析〗对于A中，当时，可得，所以“”是“”的必要条件，所以A正确；对于B中，若，可得，表示点在以原点为圆心，半径为的圆上，又由，所以，则表示点到的距离，其最大值为，所以B错误；对于C中，由，可得，所以表示以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以C错误；对于D中，对于方程，可得，即，所以，若，则，可得，当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个；当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个；当时，无根，此时复数不存在；若，则，可得，当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个；当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个；当时，无根，此时复数不存在；综上所述，复数最多有4个根，所以D正确.故选：AD.10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，正八边形的内角为，易知，，A对；对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，所以，，B对；对于C选项，如下图所示：设在方向上的投影向量为，由图形可知，当、分别在线段、上时，取最大值，且的最大值为，C错；对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：当点在线段上时，取最小值，此时，，当点在线段上时，取最大值，此时，，综上所述，，D对.故选：ABD.11.直三棱柱顶点都在球的表面上，，侧面侧面，则（）A.四棱锥的体积为B.三棱锥的体积为C.球的表面积为D.平面截该三棱柱所得截面的面积为〖答案〗ABC〖解析〗因为平面，平面，所以，且侧面侧面，所以，且，平面，所以平面，因为，所以，，所以四棱锥的体积，故A正确；B：，故B正确；C：取的中点，连结，点是线段的中点，由条件可知，垂直于上下底面，且分别是上下底面三角形外接圆的圆心，所以点是三棱柱外接球的球心，，所以球的表面积为，故C正确；D：点三点共线，所以平面截该三棱柱所得截面为三角形，其中，，，所以，所以，所以，故D错误.故选：ABC.12.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直．在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（）A.∠MCA，∠NCB，∠ABC B.∠ACB，∠NCB，∠MCNC.∠MCA，∠NCB，∠MCN D.∠MCA，∠NCB，∠ACB〖答案〗CD〖解析〗记，，，，，，，，，，，，，先从C选项入手：已知，在中，由，可确定；同理，在中，可确定；在中，由及余弦定理，可确定，故C正确；再考察D选项：已知，在中，由及余弦定理，可确定；在中，由，可确定；同理，在中，可确定，由，①可确定，故D正确；A选项：已知，同B选项，可确定，在中，已知，解三角形知可能有两解，例如若，则，解得或2，代入①使也有两个值，故A错误；B选项：已知，同C，D选项，可确定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②联立①②，得解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，例如若，得解得或故B错误．故选：CD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，在复平面内对应的点为为满足的点的集合所对应的图形，则的面积为_________．〖答案〗〖解析〗设，，因为，所以，即，表示的是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆环的部分，如图所示：故的面积为.故〖答案〗为：.14.已知，若非零向量与的夹角等于与的夹角，则的坐标可以是_________．（写出一个满足题意要求的向量的坐标即可）〖答案〗〖解析〗设，则，即，所以，所以，，故，，不妨令，则.故〖答案〗为：.15.已知圆锥的母线长为3，轴截面（过圆锥的轴的平面截圆锥所得截面）等腰三角形的顶角记为是底面圆的直径，点是的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则_________，该圆锥中过两条母线的最大截面的面积为_________．〖答案〗〖解析〗如图，圆锥，以及右侧是圆锥的展开图，，，点是的中点，在侧面展开图中，为直角三角形，即，所以，即展开图中的是等边三角形，则展开图中，，展开图扇形的圆心角为，弧长为，设底面半径为，则，得，即，所以，，，所以，所以圆锥轴截面的顶角为锐角，圆锥中过两条母线的等腰三角形的顶角小于等于，所以圆锥中过两条母线的等腰三角形的顶角的正弦值的最大值为，圆锥中过两条母线的最大截面等腰三角形的面积.故〖答案〗为：.16.在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为_________．〖答案〗〖解析〗过点作，且，连接，四边形是平行四边形，所以与所成的角为或其补角，因为平面，平面，所以，，又，且，所以，，又，所以，则，又，，，所以，中，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.等腰梯形中，是的中点，与交于点．（1）设，试用表示和；（2）求与夹角的余弦值．解：（1），过作的平行线交于，于是四边形是平行四边形，故，又，则，则是正三角形，故，则，故，根据向量加法的平行四边形法则，所以.（2）与夹角等于与的夹角，，，所以，又，类似的，所以，所以，即与夹角的余弦值为．18.在中，，是的中点．（1）求的内角的余弦值；（2）设在直线上，试确定满足的点的具体位置．解：（1）设，则，由余弦定理得．（2）设，，因为是的中点，所以，所以，因为在直线上，故可设，其中，所以，因为，所以，即，展开得，即，由（1）知，则，解得，所以，点是边的靠近点的三等分点.19.在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，.（1）求；（2）求与的面积之和的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得：，解得：，，即，.（2）设，则，，，四点共圆，且为该圆的直径，，，，，在中，，，，，，，，当，即时，，故与的面积和的最大值为.20.四棱锥中，．（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求直线与平面所成的角的正切值．解：（1）证明：取的中点，连接，因为，则四边形为边长为1的正方形，可得，由，可得，所以，又由，可得，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）过点作交的延长线于点，连接，由（1）知平面，所以平面，所以为与平面所成的角，因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为平面，且平面，所以，所以，因为平面，且平面，所以，所以，即与平面所成角的正切值为．21.如图，在中，点是的内心，过点且平行于的直线与分别相交于点的内角所对的边分别记为．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．解：（1）法一：连接并延长交于，因为是的平分线，所以，所以，又，所以，因，所以，所以，所以，即，所以，同理，连接，由和为的内心得，，所以，同理，所以，所以，即，所以．法二：连接并延长交于点，连接，因为平分，所以，所以，同理，所以，又，所以，由正弦定理，得．（2）因为，所以，由（1）得，即，所以，所以，所以，即的取值范围为．22.如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．（1）求证：平面平面；（2）当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值．解：（1）在线段上取异于两端点的两点，因为对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，所以，所以当最大时，最大，设，则，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，且为等腰直角三角形，最大，所以，因为，所以，当且仅当时，即为等腰直角三角形，最大，取的中点，则，在平面内过点作交于点，连接，则为二面角的平面角，在中，由余弦定理，得，所以，所以，又，在中，由余弦定理，得，所以，在中，由余弦定理，得，在中，，，，，，即二面角的余弦值为．宁夏吴忠市2022-2023学年高一下学期期末联合调研考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，复数所对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.下列关于几何体特征的判断正确的是（）A.一个斜棱柱的侧面不可能是矩形B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥C.有一个面是边形的棱锥一定是棱锥D.平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形〖答案〗C〖解析〗对于A中，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；对于B中，根据正棱锥定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；对于C中，根据棱锥的分类，可得有一个面是边形的棱锥一定是棱锥，所以C正确；对于D中，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D错误.故选：C.3.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，所以，且，所以.故选：C.4.在中，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，由正弦定理得，因此，显然，所以.故选：C.5.已知向量，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，则在上的投影向量为.故选：A.6.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（）A.28 B. C. D.74〖答案〗A〖解析〗因为正四棱台的上、下底面边长分别为，所以，设正四棱台的高为，则，可得，正四棱台的上底面面积为，下底面面积为，则该正棱台的体积为.故选：A.7.已知直线与平面，则的充分条件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗取长方体，由可令为，为，为平面，为平面，发现，故A选项错误；由可令为，为，为平面，为平面，发现不垂直，故B选项错误；由，可令为平面，为平面，为平面，发现不垂直，故C选项错误.故选：D.8.若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．对于顶角的等腰，若角的平分线交于点，则恰为的一个黄金分割点．利用上述结论，可以求出（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图：计算方便，特取，并设，因为所以又为角的平分线，则，又，所以，中，则，所以，又因为，所以，故由恰为的一个黄金分割点，只能有，可得，解得，所以，在中，由余弦定理可知，即．故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.“”是“”的必要条件B.若，则的最大值为1C.若，则D.，关于的方程在中最多可以有4个解〖答案〗AD〖解析〗对于A中，当时，可得，所以“”是“”的必要条件，所以A正确；对于B中，若，可得，表示点在以原点为圆心，半径为的圆上，又由，所以，则表示点到的距离，其最大值为，所以B错误；对于C中，由，可得，所以表示以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以C错误；对于D中，对于方程，可得，即，所以，若，则，可得，当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个；当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个；当时，无根，此时复数不存在；若，则，可得，当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个；当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个；当时，无根，此时复数不存在；综上所述，复数最多有4个根，所以D正确.故选：AD.10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，正八边形的内角为，易知，，A对；对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，所以，，B对；对于C选项，如下图所示：设在方向上的投影向量为，由图形可知，当、分别在线段、上时，取最大值，且的最大值为，C错；对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：当点在线段上时，取最小值，此时，，当点在线段上时，取最大值，此时，，综上所述，，D对.故选：ABD.11.直三棱柱顶点都在球的表面上，，侧面侧面，则（）A.四棱锥的体积为B.三棱锥的体积为C.球的表面积为D.平面截该三棱柱所得截面的面积为〖答案〗ABC〖解析〗因为平面，平面，所以，且侧面侧面，所以，且，平面，所以平面，因为，所以，，所以四棱锥的体积，故A正确；B：，故B正确；C：取的中点，连结，点是线段的中点，由条件可知，垂直于上下底面，且分别是上下底面三角形外接圆的圆心，所以点是三棱柱外接球的球心，，所以球的表面积为，故C正确；D：点三点共线，所以平面截该三棱柱所得截面为三角形，其中，，，所以，所以，所以，故D错误.故选：ABC.12.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直．在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（）A.∠MCA，∠NCB，∠ABC B.∠ACB，∠NCB，∠MCNC.∠MCA，∠NCB，∠MCN D.∠MCA，∠NCB，∠ACB〖答案〗CD〖解析〗记，，，，，，，，，，，，，先从C选项入手：已知，在中，由，可确定；同理，在中，可确定；在中，由及余弦定理，可确定，故C正确；再考察D选项：已知，在中，由及余弦定理，可确定；在中，由，可确定；同理，在中，可确定，由，①可确定，故D正确；A选项：已知，同B选项，可确定，在中，已知，解三角形知可能有两解，例如若，则，解得或2，代入①使也有两个值，故A错误；B选项：已知，同C，D选项，可确定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②联立①②，得解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，例如若，得解得或故B错误．故选：CD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，在复平面内对应的点为为满足的点的集合所对应的图形，则的面积为_________．〖答案〗〖解析〗设，，因为，所以，即，表示的是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆环的部分，如图所示：故的面积为.故〖答案〗为：.14.已知，若非零向量与的夹角等于与的夹角，则的坐标可以是_________．（写出一个满足题意要求的向量的坐标即可）〖答案〗〖解析〗设，则，即，所以，所以，，故，，不妨令，则.故〖答案〗为：.15.已知圆锥的母线长为3，轴截面（过圆锥的轴的平面截圆锥所得截面）等腰三角形的顶角记为是底面圆的直径，点是的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则_________，该圆锥中过两条母线的最大截面的面积为_________．〖答案〗〖解析〗如图，圆锥，以及右侧是圆锥的展开图，，，点是的中点，在侧面展开图中，为直角三角形，即，所以，即展开图中的是等边三角形，则展开图中，，展开图扇形的圆心角为，弧长为，设底面半径为，则，得，即，所以，，，所以，所以圆锥轴截面的顶角为锐角，圆锥中过两条母线的等腰三角形的顶角小于等于，所以圆锥中过两条母线的等腰三角形的顶角的正弦值的最大值为，圆锥中过两条母线的最大截面等腰三角形的面积.故〖答案〗为：.16.在三棱锥中，平面，则与所成的角的余弦值为_________．〖答案〗〖解析〗过点作，且，连接，四边形是平行四边形，所以与所成的角为或其补角，因为平面，平面，所以，，又，且，所以，，又，所以，则，又，，，所以，中，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.等腰梯形中，是的中点，与交于点．（1）设，试用表示和；（2）求与夹角的余弦值．解：（1），过作的平行线交于，于是四边形是平行四边形，故，又，则，则是正三角形，故，则，故，根据向量加法的平行四边形法则，所以.（2）与夹角等于与的夹角，，，所以，又，类似的，所以，所以，即与夹角的余弦值为．18.在中，，是的中点．（1）求的内角的余弦值；（2）设在直线上，试确定满足的点的具体位置．解：（1）设，则，由余弦定理得．（2）设，，因为是的中点，所以，所以，因为在直线上，故可设，其中，所以，因为，所以，即，展开得，即，由（1）知，则，解得，所以，点是边