第9章《整式（二）-整式的乘除》知识讲练（教师版）【培优课堂】 沪教版（上海五四制）数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）

2023-2024学年沪教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.易错点拨：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.易错点拨：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.易错点拨：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.易错点拨：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.易错点拨：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2 B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2 C．（1+a）2＝a2+2a+1 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．2．（2分）（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5 C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．x2+1＝x（x+）解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．3．（2分）（2022秋•青浦区期末）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（）A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（﹣a+2b）（﹣a﹣2b） C．（a+2b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a+b）解：A、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；B、是两个相同数的和与差的积，能使用平方差公式，符合题意；C、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意；D、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意．故选：B．4．（2分）（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1 B． C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．5．（2分）（2021秋•普陀区期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x（2x+1）＝2x2+x B．a2+a+1＝a（a+1）+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6解：A．x（2x+1）＝2x2+x，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．a2+a+1＝a（a+1）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．6．（2分）（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2 B．（a+4）2＝a2+8a+16 C．a2+8a+16＝a（a+8）+16 D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．7．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）四个学生一起做乘法（x+3）（x﹣a），其中a是正数，那么最后得出下列四个结果中正确的结果是（）A．x2+2x﹣15 B．x2﹣2x﹣15 C．x2+8x+15 D．x2﹣8x+15解：（x+3）（x﹣a）＝x2+（3﹣a）x﹣3a，∵a＞0，∴﹣3a＜0，结合各选项可知﹣3a＝﹣15，∴a＝5，∴3﹣a＝3﹣5＝﹣2，∴（x+3）（x﹣a）＝x2﹣2x﹣15，故选：B．8．（2分）（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．9．（2分）（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（b﹣2a）（﹣2a﹣b） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（a﹣2b）（2b﹣a）解：A、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意；C、（2a+b）（﹣2a﹣b）＝﹣（2a+b）2，故此选项不符合题意；D、（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）2，故此选项不符合题意．故选：B．10．（2分）（2021秋•普陀区期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（）A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，∴a2+a＝﹣20，∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•静安区校级期中）计算：（x﹣y）2（y﹣x）3＝（y﹣x）5．（结果用幂的形式表示）解：（x﹣y）2（y﹣x）3＝（y﹣x）2（y﹣x）3＝（y﹣x）5．故答案为：（y﹣x）5．12．（2分）（2022秋•浦东新区期中）若a＝（﹣1）2022，b＝2021×2023﹣20222，c＝82022×（﹣0.125）2023，则a、b、c的大小关系是a＞c＞b（用“＞”连接）．解：a＝（﹣1）2022＝1，b＝2021×2023﹣20222＝（2022﹣1）（2022+1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝82022×（﹣0.125）2023＝﹣0.125×（﹣0.125×8）2022＝﹣0.125，∵﹣1＜﹣0.125＜1，∴a＞c＞b，故答案为：a＞c＞b．13．（2分）（2022秋•宝山区校级期中）计算：＝﹣a2．解：原式＝﹣（a﹣）（a+）＝﹣（a2﹣）＝﹣a2．故答案为：﹣a2．14．（2分）（2021秋•浦东新区期末）计算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案为：﹣3x+2y﹣．15．（2分）（2022秋•静安区校级期中）计算（0.04）2003×[（﹣5）2003]2的结果为1．解：（0.04）2003×[（﹣5）2003]2，＝（0.04）2003×[（﹣5）2]2003，＝（0.04×25）2003，＝1．16．（2分）（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝3，n＝﹣6．解：∵（x﹣2）（x+m）＝x2﹣2x+mx﹣2m＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴x2+（m﹣2）x﹣2m＝x2+x+n，∴m﹣2＝1，﹣2m＝n．∴m＝3，n＝﹣6．故答案为：3，﹣6．17．（2分）（2021秋•奉贤区期中）如果（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是3b．（只需填写一个）解：如果（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是3b．故答案为：3b．18．（2分）（2021秋•浦东新区期中）如图，一个边长为a、b（b＜a）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，将图中阴影部分的面积S表示为S＝2x2﹣ax﹣bx+ab．解：根据题意得：S阴影＝x2+（a﹣x）（b﹣x）＝2x2﹣ax﹣bx+ab．故答案为：2x2﹣ax﹣bx+ab．19．（2分）（2021秋•浦东新区校级期中）若（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）展开后不含x3和x项，则m+n的值为7．解：（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx+4x2﹣12x+4n＝x4+（﹣3+m）x3+（n﹣3m+4）x2+（mn﹣12）x+4n，∵（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3项和x项，∴﹣3+m＝0，mn﹣12＝0，解得：m＝3，n＝4，m+n＝3+4＝7．故答案为：7．20．（2分）（2021秋•普陀区校级月考）某商店每天卖出商品300份，卖出一个商品的利润为10元，经调查发现，商品单价每下降1元，每天可以多卖出50份，为了获得更多利润，该店决定把商品单价下降m（0＜m＜10）元，单价下降后，该店每天获得的利润为（﹣50m2+200m+3000）元．解：当商品单价下降m元后，可卖出300+50×m＝（300+50m）份，利润为：（300+50m）×（10﹣m）＝（﹣50m2+200m+3000）元．故答案为：（﹣50m2+200m+3000）．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2021秋•浦东新区校级期中）观察以下5个乘法算式：6×10；8×18；11×29；12×26；25×37．（1）请仿照式子“6×34＝202﹣142”，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式；6×10＝82﹣22；8×18＝132﹣52；11×29＝202﹣92；12×26＝192﹣72；；25×37＝312﹣62．（2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母a，b表示（a，b为正数且a＜b），请用含a、b的等式表示（1）的规律．（只要求写出结果）解：（1）∵6×34＝202﹣142，202＝（）2，142＝（34﹣20）2，∴6×10＝（）2﹣（10﹣）2＝82﹣22；同理可得：8×18＝132﹣52；11×29＝202﹣92；12×26＝192﹣72；25×37＝312﹣62；故答案为：82﹣22；132﹣52；202﹣92；192﹣72；312﹣62；（2）∵6×34＝202﹣142，202＝（）2，142＝（34﹣20）2，∴ab＝（）2﹣（b﹣）2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2．∴ab＝（）2﹣（）2．22．（8分）（2022秋•上海期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：（1）4x4+1；（2）x4+x2+1．解：（1）4x4+1＝4x4+4x2+1﹣4x2＝（2x2+1）2﹣4x2＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；（2）x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．23．（8分）（2022秋•徐汇区期末）在实数范围内分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．24．（8分）（2022秋•静安区校级期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①am⋅an＝am+n，②（am）n＝amn，③（ab）n＝anbn，④am÷an＝am﹣n，反过来，这4条运算法则可以写成：①am+n＝am•an，②amn＝（am）n，③anbn＝（ab）n，④am﹣n＝am÷an．问题解决：已知，且b满足等式（27b）2＝312，（1）求代数式a、b的值；（2）化简代数式（x﹣y）（x2+xy+y2），并求当x＝a，y＝b时该代数式的值．解：（1）＝[（﹣）×]2022＝（﹣1）2022＝1，∵b满足等式（27b）2＝312，∴（33b）2＝312，∴36b＝312，∴6b＝12，∴b＝2，即a＝1，b＝2；（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3＝x3﹣y3，当x＝a＝1，y＝b＝2时，原式＝13﹣23＝1﹣8＝﹣7．25．（8分）（2022秋•长宁区校级期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3．解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1），此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：4a2+4a﹣15．解：4a2+4a﹣15＝4a2+4a+1﹣1﹣15＝（2a+1）2﹣16＝（2a+1）2﹣42＝（2a+1+4）（2a+1﹣4）＝（2a+5）（2a﹣3）．26．（10分）（2021秋•奉贤区期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）附加题：（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．解：（1）由题意可得，AD＝2a+2b，AB＝a+2b，∴长方形窗户ABCD的总面积是AD•AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，即长方形窗户ABCD的总面积是2a2+6ab+4b2；（2）由图3可得，AG＝2b，AE＝a，CF＝2b，CP＝（2a+2b