2012高考浙江文科数学试题及答案(高清版)-文档

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：球的表面积公式S＝4πR2球的体积公式V＝πR3其中R表示球的半径锥体的体积公式V＝Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式V＝Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式V＝h(S1＋＋S2)其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积．h表示台体的高如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)＝Pk(1－P)n－k(k＝0,1,2，…，n)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(UQ)＝()A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}2．已知i是虚数单位，则()A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i3．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm34．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l是直线，α，β是两个不同的平面，()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()7．设a，b是两个非零向量，()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．9．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．B．C．5D．610．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，则a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为__________．12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是__________．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．14．设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是__________．15．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则__________．16．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈［0,1］时，f(x)＝x＋1，则__________．17．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*．(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，，AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．22．如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线的距离为．点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．【自选模块】3．“数学史与不等式选讲”模块(10分)已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A．(1)若a＝1，求A；(2)若A＝R，求a的取值范围．4．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同两点A，B．(1)若，求线段AB中点M的坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．1．D由已知得，UQ＝{1,2,6}，所以P∩(UQ)＝{1,2}．2．D∵，∴选D．3．A由三视图得，该三棱锥底面面积S＝×2×1＝1(cm2)，高为3cm，由体积公式，得V＝Sh＝×1×3＝1(cm3)．4．Al1与l2平行的充要条件为a(a＋1)＝2×1且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．5．BA项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．6．Ay＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cosx＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应的图象为A项．7．C由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方可得，|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，即a·b＝－|a||b|，所以cos〈a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b＝λa．8．B由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍，即a1＝2a2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为．9．C∵x＋3y＝5xy，∴．∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)＝，当且仅当，即x＝1，时等号成立．10．A函数y＝ex＋2x为单调增函数，若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b；若ea＋2a＝eb＋3b，∴a＞b．故选A．11．答案：160解析：根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为．12．答案：解析：五点中任取两点的不同取法共有种，而两点之间距离为的情况有4种，故概率为．13．答案：解析：当i＝1时，T＝＝1，当i＝2时，，当i＝3时，，当i＝4时，，当i＝5时，，当i＝6时，结束循环，输出．14．答案：［0，］解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分，结合图象知，O点，C点分别使目标函数取得最小值、最大值，代入得最小值为0，最大值为．15．答案：－16解析：·＝(＋)·(＋)＝＋·＋·＋·＝||2＋(＋)·＋||||cosπ＝9－25＝－16．16．答案：解析：．17．答案：解析：x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的距离为，所以y＝x2＋a到y＝x的距离为，而与y＝x平行且距离为的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得．18．解：(1)由bsinA＝acosB及正弦定理，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以．(2)由sinC＝2sinA及，得c＝2a．由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac．所以，．19．解：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1．所以an＝4n－1，n∈N*．由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*．(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*．所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－［3＋4(2＋22＋…＋2n－1)］＝(4n－5)2n＋5．故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*．20．(1)证明：①因为C1B1∥A1D1，C1B1平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA．又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF．②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1．在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF．(2)解：设BA1与B1F交点为H，连结C1H．由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，，AA1=2，得．在直角△BHC1中，，，得．所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是．21．(1)解：由题意得f′(x)＝12x2－2a．当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝12(x－)(x＋)，此时函数f(x)的单调递增区间为(－∞，］和［，＋∞)．单调递减区间为［，］．(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6(x－)(x＋)，于是x0(0，)(，1)1g′(x)－0＋g(x)1减极小值增1所以，g(x)min＝g()＝1－＞0．所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．22．解：(1)由题意知得(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x－y=0，所以设线段AB的中点为Q(m，m)．由题意，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1．所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0．由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m．从而|AB|＝·|y1－y2|＝．设点P到直线AB的距离为d，则．设△ABP的面积为S，则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·．由＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1．令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2．由S′(u)＝0，得，所以S(u)max＝．故△ABP面积的最大值为．【自选模块】3．解：(1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，得x≤－3．当－3＜x≤时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0．当时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2．综上，A＝{x|x≤0或x≥2}(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．当x＞－2时，|2x－a|＋x＋3＝|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4，得x≥a＋1或，所以a＋1≤