提高层次数学建模教程变分法建模

第三章变分法建模§1变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochroneProblem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel'Hospital1661-1704）、雅可比·伯努利（JacobBernoulli1654-1705）、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）和牛顿（IsaacNewton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingChainProblem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。伽利略（Galileo,1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens,1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程:解此方程并适当选取参数（1）即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的几个结论，可以用变分法来证明！现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。变分法的基本概念泛函的概念设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。例如，在上光滑曲线y(x)的长度可定义为（2）考虑几个具体曲线，取，若，则若y(x)为悬链线，则对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成：我们称如下形式的泛函为最简泛函（3）被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。即，求，使取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为：称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量：函数在的增量记为也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作如果可以表为其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作。用变动的代替，就有。泛函变分的一个重要形式是它可以表示为对参数的导数：（4）这是因为当变分存在时，增量根据和的性质有:所以泛函极值的相关结论泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若在达到极值（极大或极小），则（5）证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知再由（4）式，便可得到（5）式。变分法的基本引理：若，，，有:，则。证明略。泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。，（6）泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程（7）欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：对上式右端第二项做分步积分，并利用，有，所以利用泛函极值的变分表示，得因为的任意性，及，由基本引理，即得（7）。（7）式也可写成（8）通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。几种特殊形式最简泛函的欧拉方程(=1\*romani)不依赖于，即这时，欧拉方程为，这个方程以隐函数形式给出，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(=2\*romanii)不依赖，即欧拉方程为将上式积分一次，便得首次积分，由此可求出，积分后得到可能的极值曲线族(=3\*romaniii)只依赖于，即这时，欧拉方程为由此可设或，如果，则得到含有两个参数的直线族。另外若有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数的直线族，它包含于上面含有两个参数的直线族中，于是，在情况下，极值曲线必然是直线族。（=4\*romaniv）只依赖于和，即这时有，故欧拉方程为此方程具有首次积分为事实上，注意到不依赖于，于是有。3几个经典的例子1.3.1最速降线问题最速降线问题设和是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结和的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从滑行至的时间最短。解将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。XA(0,0)XB(xB(x1,y1)YY图1最速降线问题图1最速降线问题根据能量守恒定律，质点在曲线上任一点处的速度满足（为弧长）将代入上式得于是质点滑行时间应表为的泛函端点条件为最速降线满足欧拉方程，因为（8）不含自变量，所以方程（8）可写作等价于作一次积分得令则方程化为又因积分之，得由边界条件，可知，故得:这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数可利用另一边界条件来确定。1.3.2最小旋转面问题对于平面上过定点和的每一条光滑曲线，绕轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线的泛函，易得:容许函数集可表示为解因不包含，故有首次积分化简得令，代入上式，由于积分之，得消去t，就得到。这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的）就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线！1.3.3悬链线势能最小1691年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线y＝f(x)的长度为L，重心坐标为，则由重心公式有，由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明L是常数，不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函，记作此时对应的欧拉方程（8）可化为令解得，进而得。此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。1.4泛函极值问题的补充1.4.1泛函极值的几个简单推广（ⅰ）含多个函数的泛函使泛函取极值且满足固定边界条件的极值曲线必满足欧拉方程组:（=2\*romanii）含高阶导数的泛函使泛函取极值且满足固定边界条件,的极值曲线必满足微分方程（=3\*romaniii）含多元函数的泛函设，使泛函取极值且在区域的边界线上取已知值的极值函数必满足方程上式称为奥式方程。1.4.2端点变动的情况（横截条件）设容许曲线在固定，在另一端点时不固定，是沿着给定的曲线上变动。于是端点条件表示为这里是变动的，不妨用参数形式表示为寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有（9）再对（9）式做如下分析：（=1\*romani）对每一个固定的，都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零；（=2\*romanii）为考察（9）式的第二、第三项，建立与之间的关系，因为对求导并令得即（10）把（10）代入（9）并利用的任意性，得（11）（11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（=1\*romani）当是垂直横轴的直线时，固定，自由，并称为自由端点。此时（9）式中及的任意性，便得自由端点的横截条件:（12）（=2\*romanii）当是平行横轴的直线时，自由，固定，并称为平动端点。此时，（11）式的横截条件变为*（13）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.4.3有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统:*（14）寻求最优性能指标（目标函数）*（15）其中是控制策略，是轨线，固定，及自由，，（不受限，充满空间），连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略和最优轨线的必要条件。采用拉格朗日乘数法，化条件极值为无条件极值，即考虑（16）的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为（17）将其代入（16）式，得到泛函(18)下面先对其求变分注意到，，因而再令，由的任意性，便得（=1\*romani）必满足正则方程：=1\*GB3①状态方程=2\*GB3②协态方程。（=2\*romanii）哈密顿函数作为的函数，也必满足并由此方程求得。（=3\*romaniii）求时，必利用边界条件=1\*GB3①，（用于确定）=2\*GB3②，（用于确定）=3\*GB3③，（确定）1.4.4最大（小）值原理如果受控系统，其控制策略的全体构成有界集，求，使性能指标:达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果，和都是连续可微的，那么最优控制策略和相应的最优轨线由下列的必要条件决定：（=1\*romani）最优轨线，协态向量由下列的必要条件决定：，，（=2\*romanii）哈密顿函数作为的函数，最优策略必须使或使(最小值原理)（=3\*romaniii）满足相应的边界条件=1\*GB3①若两端点固定，则正则方程的边界条件为，。=2\*GB3②若始端固定，终端也固定，而自由，则正则方程的边界条件为，。=3\*GB3③若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为，，。§2生产计划的制订动态优化建模首先要解决两个问题，其一是，要使什么性能指标达到最优，其二是，通过什么变量（函数）控制这个性能指标。当然这些都应该是要解决实际问题的直接反映。工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制订生产计划时要考虑生产和储存两种费用，生产费用通常取决于生产率（单位时间的产量），生产率越高费用越大;储存费用自然由已经生产出来的产品数量决定，数量越多费用越大，所谓生产计划这里简单地看作是到每一时刻为止的累积产量，它与每单位时间(如每天)的产量可以互相推算。建模目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用（生产与贮存费用之和）最小。假设开始生产时刻记为t=0，按照合同应在t=T提交数量为Q的产品。到时刻t为止的产量记作x(t)，x(t)即生产计划。因为时刻t的生产率表示为，所以单位时间的生产费用可以一般地记作，而单位时间的贮存费用则应记为。于是从t=0到t=T的总费用是(1)为了确定f和g的具体形式作如下假设:l.单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用与这时的生产率成正比。在需求饱满、生产率很高的工厂里这个假设是合理的。2.贮存费与贮存量(即累积产量)成正比。这是关于贮存费的最常用的假设。假设l表明，生产费f对生产率的变化率与成正比，即于是（2）是比例系数。由假设2则可以直接写出：（3）是单位数量产品单位时间的贮存费。建模将（2）、(3)代入（1）式并注意到x(t)在t=0和t=T时的值，我们有（4），（5）制订最优生产计划归结为在固定端点条件（5）下，求x(t)使（4）式定义的泛涵取得最小值。用变分法求解，记，根据欧拉方程（§1（7）式）可得关于x(t)的二阶微分方程（6）方程（6）在端点条件（5）下的解为（7）这就是使总费用达到最小的生产计划。由(7)式不难画出x(t)的示意图(图2)，它是过x(0)=0,X(T)=Q两点的抛物线，且因而呈下凸状。随着参数k1、k2、T、Q的不同，曲线x(t)可能有S1和S2两种形状。但是对于生产计划x(t)应该有明显的限制条件，（8）这就是说，只有当x(t)呈S1形状时才有实际意义。xx(t)tQS1tQS1图2-1的两种形式X(t)QS3QS3SS2T0T0图2-2满足条件的x(t)图2-2满足条件的x(t)容易看出，对于(7)式表示的x(t)条件(8)等价于（9）由(7)式算出，可知(9)式又表示为（10）于是仅当(10)式成立时(7)式确定的x(t)才是最优生产计划。当k1，k2固定时条件(10)表明，在一定交货期T内要完成的产量Q相当大，需要从t=0就开始生产，如图中曲线S1但是，当（11）即在T内要完成的产量Q较小时最优生计划是什么呢?直观的想法是为了节省贮存费用，到t=t1才开始生产，如图7-2的曲线S3所示。S3是否就是如(7)式所示、图7-1中曲线S2在x≥0的那一部分呢？如果不是，时刻t1和区县S3又如何确定(习题1)。解释为了对最优生产计划作出解释，考察它满足的方程(6)式，(6)式可以表示为（12）式中是单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用，经济理论中称为边际成本。而k2（单位时间单位数量产品的贮存费）称为边际贮存。于是(12)式表明，使边际成本的变化率等于边际贮存的生产计划是最优的。评注优化模型通常包括目标幽数和约束条件（或寻优范围）两部分，在这个摸型目标幽数只考虑了两种最基本的费用，并对它们作了相当简化的假设。至于约束条件，由于我们要用古典变分法求解，所以x(t)除了要满足端点条件(5)以外，还需假定它是二阶可微函数。这个条件并不影响(7)式的最优意义，因为一般说来不会存在一个不满足二阶可微条件的、比（7）式更优的解。但是在另一些约束条件下问题就较难处理了，如这个模型应该要求x(t)≥0,我们看到当参数满足条件（11）时最优解已经需要仔细考虑。若还要对生产率加以限制，譬如规定一个范围即A≤x(t)≤B，则问题的求解更加困难。实际上，对控制函数施加的这类闭集约束，可能导致古典变分法的失败。§3生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。3.1问题分析与假设（=1\*romani）设备的转卖价是时间的函数，记为，的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价。（=2\*romanii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。时刻设备的磨损程度可以用时刻转卖价的损失值来刻划，常称其为磨损函数或废弃函数，记为。（=3\*romaniii）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果是单位时间的保养费，是时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为，则。（=4\*romaniv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为，则表示在时刻单位时间的产值，即时刻的生产率。（=5\*romanv）转卖价及单位时间的保养费都是时间的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价的贴现值计算，如果它的贴现因子为（经过单位时间的单位费用贴现），那么由解得令，便得时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为，所以设备在时刻转卖价的贴现为。仿此计算，的贴现为，单位时间产值的贴现为。（=6\*romanvi）欲确定的转卖时间和转卖价都是自由的。3.2模型构造根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程(21)(1)之下，在满足的函数集中寻求最优控制策略，使系统的经济效益这一性能指标（22）(2)为最大，其中都是自由的。3.3模型求解首先写出问题的哈密顿函数（23）（3）再由协态方程及边界条件求出，即由解得下面利用最大值原理求。先将（3）式改变为显然，是对的线性函数，因此得到（24）（4）或（25）(5)在上式中，还需解决两个问题：一是与的转换点在什么位置，即等于多少？二是是由到，还是由到。转换点应满足即（26）（6）从而可解出。因为是时间的减函数，所以（6）式的左端也是时间的减函数，也就是说随时间应由到0。于是最优控制策略的具体表达式为至于，的求法，请见下面的例子。在生产设备的最大经济效益的问题中，设，，，，，，试求，和。由（6）式可得求的公式（27）（7）当时，，状态方程为当时，，状态方程为于是时，有解得（28）（8）由自由边界条件及，得于是当时，由（8）式有即（29）（9）将（7）和（9）联立求解，编写如下Matlab程序[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')求得，于是，最优控制策略（保养费）为习题求自原点（0,0）到直线的最速降线。求概率密度函数，使得信息量取最大值，且满足等周条件，（常数）。在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？设有一盛放液体的连续搅拌槽，如图所示，槽内装有不停地转动着的搅拌器，使槽内液体处于完全的混合状态。槽中原来盛放有0℃的某种液体，现在需要将其温度在给定的一段时间tf内升高到某一给定的温度Tf℃。为此，在入口处流入一定量的液体，温度为u(t)，而在出口处流出等量的液体，以便保持糟内液面恒定。试给出如下问题的数学模型：确定流入槽内液体的温度u(t)的变化规律，使槽中原有的液体在给定的时间内由0℃上升到给定的温度Tf℃，并使搅拌槽散失的热量为最少。参考文献：1．姜启源：数学模型。高等教育出版社 19932．谭永基,俞文鱼此：数学模型。复旦大学出版社 1997第四章差分法建模引言1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。第一节差分方程的基本知识一、概念1.差分算子设数列，定义差分算子为在处的向前差分。而为在处的向后差分。以后我们都是指向前差分。可见是的函数。从而可以进一步定义的差分：称之为在处的二阶差分，它反映的是增量的增量。类似可定义在处的阶差分为：2.差分算子、不变算子、平移算子记，称为平移算子，为不变算子。则有：由上述关系可得：（1）这表明在处的阶差分由在，处的取值所线性决定。反之，由得：，得：,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量的增量来表现和计算。由（1）式得到：得：（2）可以看出：可以由的线性组合表示出来。3.差分方程由以及它的差分所构成的方程（3）称之为k阶差分方程。由（1）式可知（3）式可化为（4）故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列任意一项与其前面k项之间的关系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。我们经常用的差分方程的形式是（4）式。4.差分方程的解与有关概念（1）如果使阶差分方程（4）对所有的成立，则称为方程（4）的解。（2）如果（为常数）是（4）的解，即则称为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设是（4）的解，考虑的变化性态，其中之一是极限状况，如果，则方程（4）两边取极限（就存在在这里面），应当有（3）如果（4）的解使得既不是最终正的，也不是最终负的，则称为关于平衡点是振动解。（4）如果令：，则方程（4）会变成（5）则成为（5）的平衡点。（5）如果（5）的所有解是关于振动的，则称阶差分方程（5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于非振动的，则称阶差分方程（5）是非振动方程。（6）如果（5）有解，使得对任意大的有则称为正则解。（即不会从某项后全为零）（7）如果方程（4）的解使得，则称为稳定解。5.差分算子的若干性质（1）（2）（3）（4）（5）6.Z变换定义：对于数列，定义复数级数（6）这是关于洛朗级数。它的收敛域是：，其中可以为，可以为0。称为的-变换。由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：（7）变换是研究数列的有效工具。变换的若干重要性质：（1）线性性质（2）平移性质变换举例：（1）,则（2），则（3）设则（4）设则第二节差分方程常用解法与性质分析常系数线性差分方程的解方程（8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。又称方程（9）为方程（8）对应的齐次方程。如果（9）有形如的解，代入方程中可得：（10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。基本结果如下：若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：，若（10）有m重实根，则通解中有构成项： （3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项：若有m重复根：，，则（9）的通项中有构成项：综上所述，由于方程（10）恰有k个根，从而构成方程（9）的通解中必有k个独立的任意常数。将其通解可记为：，又设方程（8）的一个特解为：，则（8）必有通解：+（11）注：（8）的特解可通过待定系数法来确定：例如：如果为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。差分方程的z变换解法对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的设差分方程，求解：解法1：特征方程为，有根：故：为方程的解。由条件得：解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：由条件得由F（z）在中解析，有所以，二阶线性差分方程组设，，形成向量方程组（12）则（13）（13）即为（12）的解。为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。（2）将A分解成为列向量，则有从而，（3）或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解的变化规律，获得它的基本性质。关于差分方程稳定性的几个结果（1）k阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根满足（2）一阶非线性差分方程（14）（14）的平衡点由方程决定，将在点处展开为泰勒形式：（15）故有：时，（14）的解是稳定的，时，方程（14）的平衡点是不稳定的。第三节差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。模型1种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。模型2具周期性的运动过程的差分方程模型建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为振动台台面的上下位移是，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H处为自由落体运动。又假设为第j次碰撞时刻，第j次碰撞前的速度为，碰撞后的速度为。假设。振动台台面的运动速度为；又记，则有：，，（3.1）另外，由碰撞规律分析可知：该式经简化处理后可得：（3.2）由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组模型3蛛网模型（1）经济背景与问题：在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。（2）模型假设与模型建立将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；设第n个时段商品的数量为，价格为，n=1,2….;由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有（3.3）这就是需求函数，f是单调减少的对应关系;又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，即：设，h是单调增加的对应关系，从而，有关系：（3.4）g也是单调增加的对应关系.因此可以建立差分方程：（3.5）（3.6）这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。（3）模型的几何表现与分析。为了表现出两个变量和的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中将点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。yyPOpgfx易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。POpgfx几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切线的斜率的绝对值记为：，则当时，是稳定的；当时，是不稳定的。模型的差分方程分析设点满足：，在点附近取函数的一阶近似：合并两式可得：这是关于的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。其中，为f在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的斜率。方程（3.9）递推可得：所以，点稳定的充要条件是：即：这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。模型推广如果决策时考虑到与都有关系，则可假设这时数学模型为：对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程则有：再结合（3.7）可得：即：特征方程为：特征根为：所以：时，，此时解不稳定。时，，则时，从而解是稳定的。这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水平提高了。进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设，；另外还可以考虑引入投资额，并建立有关的离散方程关系。模型4人口的控制与预测模型背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。设这个地区最大年龄为m岁第t年为i岁的人数为，这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。设第t年为i岁的人口平均死亡率为，即这一年中i岁人口中死亡数与基数之比：即：设第t年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为，为生育区间。为第t年i岁人口的女性比（占全部i岁人口数）。由此可知：第t年出生的人数为：记第t年婴儿的死亡率为，则设，它表示i岁女性总生育率，则，如果假设年后女性出生率保持不变，则可见，表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。模型建立：根据上面的假设………………..为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，令则此向量满足方程：即：这是一阶差分方程。其中是可控变量，是状态变量，并且关于和都是线性的，故称其为双线性方程。模型分析：在稳定的社会环境下，死亡率、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故为常数矩阵。从而，只要总生育率确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：人口总数：人口平均年龄：平均寿命：，这里假定从第t年分析，如果以后每年的死亡率是不变的，即：则表示t年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命为j岁，j=1,2…m.而表示寿命。通过求出的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。模型5线性时间离散弥漫网络模型引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。模型假设：设有n个国家，用表示在时期的财富。假设只考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是。模型的建立：国家间的财富关系应当满足…………..用矩阵形式表示：令表示时期t各个国家的财富状态；令则有：记，则模型计算与分析：计算可知的特征值为：的特征值为：对应的特征向量为其中为讨论方便起见，引入如下记号：则有：n为偶n为奇数时：记：为由张成的子空间，则：由此式进一步分析可以获得：当时，的渐进变化状态规律(略)。模型6金融问题的差分方程模型1设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。模型假设：设贷款后第k个月后的欠款数是元，月还款为元，月贷款利息为。模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：，即：（3.15）这里已知有：模型求解：令，则这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据代入中，可以求出月还款额。例如：时，可以求出：元。模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令，则，并且当时，总有，即表明：每月只还上了利息。只有当时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。2养老保险模型问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：，在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有，初始值为，我们可以得到：在上面两式中，分别取和并利用可以求出：利用数学软件或利用牛顿法通过编程求出方程的跟为：。同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为。练习题：1、金融公司支付基金的流动模型：某金融机构设立一笔总额为540万的基金，分开放置位于A城和B城的两个公司，基金在平时可以使用，但每周末结算时必须确保总额仍为540万。经过一段时间运行，每过一周，A城公司有10%的基金流动到B城公司，而B城公司则有12%的基金流动到 A城公司。开始时，A城公司基金额为260万，B城公司为280万。试建立差分方程模型分析：两公司的基金数额变化趋势如何？进一步要求，如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于220万，那么是否需要在什么时间将基金做专门调动来避免这种情况？2、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？3、Leslie种群年龄结构的差分方程模型：已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。（1）假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？4、按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析对在问题3中的模型做进一步的拓广。对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律，。这里分析的对象是特定的种群，变化过程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类，不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，对每一时段的种群取相同的最大年龄，这里相当于认为很大年龄的那部分视作为相同年龄，在下一个时段全部消失。考虑每一时段中不同年龄组种群数量构成的向量、不同年龄组的繁殖率和存活率，（1）建立差分方程分析种群的变化规律；（2）进行种群数量的稳定性分析，即时间充分长以后种群年龄结构及数量变化；（3）对和关于种群的增减进行灵敏性分析（提示：考虑由和所构作的新参数，解释这个参数的实际意义，并利用它进行灵敏性分析）。补充知识：矩阵P=，其中称矩阵P为Leslie矩阵。基本概念：设矩阵的特征值为，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：，则称为矩阵的主特征值，如果，则称为严格主特征值。Leslie矩阵P的几个基本性质：（1）特征多项式为：它有唯一一个正的单特征值（重数为1），且为主特征值。（2）如果为L矩阵P的一个非零特征值，则为与对应的一个特征向量。（3）若L矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根为严格主特征值。（4）若是L矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且互素，则为严格主特征值。参考书：[1]姜启源数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，1993[2]乐经良主编数学实验北京：高等教育出版社1999[3]张广差分方程解的稳定性[4]杨启帆方道元数学建模杭州：浙江大学出版社，1999[5]司守奎主编数学建模烟台海军航空工程学院2001第五章模糊数学建模第一节绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主，对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二节模式识别§2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象就对应一个向量，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域的模糊集，是识别对象的第个特征。第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈（yu）值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。最大隶属度原则：设是个标准类型，，若则认为相对隶属于所代表的类型。例1通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用(非负实数域,下同)上的模糊集表示,其隶属函数分别为:其中对,表示物价上涨。问时，分别相对隶属于哪种类型？解，，，，由最大隶属原则，应相对隶属于，即当物价上涨时，应视为轻度通货膨胀；，应相对隶属于，即当物价上涨时，应视为恶性通货膨胀。三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象关于模糊集中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合对元素不能识别；其二是有时待识别对象关于模糊集中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。阈值原则：是个标准类型，为一阈值（置信水平）令若则不能识别，应查找原因另作分析。若d且有，…则判决相对地属于例2三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形,直角三角形,正三角形,非典型三角形,这四个标准类型,取定论域这里是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：(即A-B与B-C中最小的)现给定，，对上述四个标准类型的隶属度为：由于关于,的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取，因，，按阈值原则，相对属于∩,即可识别为等腰直角三角形。例3癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞，重度核异质细胞，轻度核异质细胞，正常细胞选取表征细胞状况的七个特征：根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下个，它们都是上的模糊集：上述是适当选取的常数细胞识别中的几个标准类型分别定义为：上述定义中的模糊集的隶属函数为。另两个模糊集、的隶属函数类似定义。给定待识别细胞，设的核面积等七个特征值为据此可算出、、、，最后按最大隶属度原则识别。例4冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。为描述“夏热”、秋霜晚、秋分刮西北风等概念，在气象现象中提取以下特征：：当年6~7月平均气温：当年秋季初霜日期：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。于是模糊集（夏热），（秋霜晚）、（秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：其中是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值，为方差，实际预报时取==0.98其中是若干年秋季初霜日的平均值，是经验参数，实际预报时取=17（即9月17日），=10（即9月10日）。取论域，“冬雪大”可以表示为论域上的模糊集，其隶属函数为：∧∨采用阈值原则，取阈值，测定当年气候因子。计算，若则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。§2-2贴近度与模式识别的间接方法一、贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：定义1设映射:满足下列条件：(1)，(2)，(3)若满足有则称映射为上的贴近度，称为与的贴近度。贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式（1）Hamming贴近度（H贴近度）或（2）Euclid贴近度（E贴近度）或（3）格贴近度（是最常用的一种贴近度）定义2映射⊙，（或=⊙）称为格贴近度，称为与的格贴近度。其中，(称为与的内积，表示先取小再取大。)⊙(称为与的外积，表示先取大再取小。)若，则⊙值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义1中(1)，即，但是，当时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。还有许多贴近度，这里不在一一介绍。贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有优劣，具体应用时，应根据问题的实际情况，选用合适的贴近度。二、模式识别的间接方法——择近原则在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域上的模糊集，用模式识别的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是上的模糊集，这类问题也可以用下面的择近原则来识别判决。择近原则：已知个标准类型、、…、，为待识别的对象，上的贴近度，若则认为与最贴近，判定属于一类。例5岩石类型识别岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（）、差（）、较好（）、好（）、很好（）。它们都是上的模糊集，其隶属函数如下（图2-1）11 0200400600900110018002000图2-1今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为上的模糊集，隶属函数为（图2-3）。图2-3试问岩体应属于哪一类。计算与的格贴近度，得：按择近原则，应属于类，即属于“较好”类（类）的岩石。例6小麦亲本识别在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：：早熟型，：矮杆型，：大粒型，：高肥丰产型，：中肥丰产型。判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征：：抽穗期，：株高，：有效穗数，：主穗粒数，：百粒重。第种类型亲本的第个特征，是模糊集，这些模糊集除（早熟型的抽穗期）与（矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数展开，取前两项作它的近似值，则有于是的隶属函数可表示为：而，的隶属函数取为偏小值型：为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每类型选出个新本为样本，分别计算各样本的第个特征的均值及方差，取以上参数值见下表（2-1）表2-1亲亲本参数性状早熟矮杆大粒高肥丰产中肥丰产抽穗期-6.71.15.59.61.05.811.91.25.211.30.95.18.91.2株高67.187.750.0-70.072.467.990.952.267.981.235.976.584.657.5有效穗数9.111.218.18.318.210.89.413.215.69.813.211.37.213.25.8主穗粒数40.255.092.037.552.580.744.254.521.241.251.013.337.648.393.9百粒重3.04.40.32.43.40.34.06.00.33.64.20.33.34.00.2现有一待识对象，它的第个特征是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表示为：。式中参数值见表（2-2）表2-2特特性参数抽穗期株高有效穗数主穗粒数百粒重8.585.66.236.23.431.541.9700.28计算识别对象的第个特征与第种标准类型对应特征的格贴近度并定义第种标准类型与识别对象的贴近度为：（即：中的最小值）计算结果列于表（2-3）表2-3早熟（）矮杆（）大粒（）高肥（）中肥（）(，)0.501.001.001.001.00(，)1.000.001.000.760.99(，)1.000.880.770.640.96(，)0.230.980.890.830.98(，)1.001.000.981.001.00(，)0.230.000.770.640.96表（2-3）的最后一行为与各标准类型的贴近度。由于与A5的贴近度最高（0.96），故判定识别对象为代表的类型，即为中肥丰产类型的亲本。例7遥感土地复盖类型分类遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，例如，“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。美国爱达荷大学R.C.Heller教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位（即标准类型）时，空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：：公路，：村庄农田，：红松为主的针叶林，：阔、针混交林，：白桦林。对于多波段遥感技术，假设采用个波段，则每一地物对应一个维数据向量。1975年1月22日美国发射LandSat-2，提供了MSS-4，5，6，7这四个波段的数据，故有。取论域其中分别为象元对应于MSS-4，5，6，7各波段的光谱强度。于是五种标准类型可表为上的模糊集。由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第个标准类型的（+3）波段光谱强度的隶属函数为：定义第种标准类型为：（即中的最小值）因而其中为若干个第种类型第（+3）个波段光谱强度的均值，为方差，东北凉水林场的这些参数值见表（2-4）表2-4标准类型MSS-4MSS