人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版)-东直门仉长娜

PAGEPAGE1平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________向量的模长：________________________________________________________零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________平面向量的基本运算：一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．三角形法则：位移叫做位移与位移的和，记作____________________图7图7－7ACBaba+bab2、平行四边形法则：如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得图7－9图7－9ADCB＋=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．设a，b，则．即=（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．aAaAa-bBbO图7－13一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为（7．3）若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有（7．4）一般地，有0a=0,0=0．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a,b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题有________．(填序号)例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．ADCBADCB图7－5O（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量．练习：1．如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．FAFADBEC（练习题1．1．1第2题图）第1题图EFABCDO（图1－8）第2题图2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与相等的向量；（2）的负向量；（3）与题型2向量的线性表示例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．*例4用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小． 练习：如图，已知a，b，求a＋b．（图1－15）bb（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（1）a＋b=_____________,（2）b＋c=_____________,（3）a＋b＋c=_____________．3．计算：（1）＋＋；（2）＋＋．例5已知如图7－14（1）所示向量a、b，请画出向量a－b．BbBbOaAba（1）（2）图7－14练习：1．填空：（1）=_______________，（2）=______________，（3）=______________．2．如图，在平行四边形ABCD中，设=a,=b，试用a,b表示向量、、．例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a，＝b，试用a,b表示向量、．练习：1．计算：（1）3（a−2b）－2（2a＋b）；（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）．2．设a,b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．例7平行四边形OADB的对角线交点为C，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))、eq\o(ON,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).练习：练习：在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).题型3共线向量例8设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．题型4向量共线的应用例4如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．练习：如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝eq\f(1,3)AC；在AB上取一点M，使得AM＝eq\f(1,3)AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN；在CM的延长线上取点Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤2．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是()A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同4．已知下列各式：①eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)).其中结果为零向量的个数为()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题5．等腰梯形ABCD两腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))的关系是________．6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.三、解答题7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a，=b，试用a、b表示和，则=________，=______.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A．一条线段 B．一段圆弧C．两个孤立的点 D．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A．同一个圆上 B．同一个点上C．同一条直线上 D．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④共线向量一定在同一直线上．其中，正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．35．下列说法错误的是()A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C．只有零向量的模等于0D．零向量没有方向6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OA,\s\up6(→))是()A．有相同起点的相等向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量9．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则()A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不对10．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是()A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠012．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD一定是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四边形二、填空题12．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量为________．16．根据右图填空：b＋c＝________；a＋d＝________；b＋c＋d＝________；f＋e＝________；e＋g＝________.三、解答题17．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝120m，求eq\o(AC,\s\up6(→))的方向和A、B的距离．18．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40eq\r(3)N，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b.其中正确的是()A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是()A．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)B．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4个(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)C．eq\o(BD,\s\up6(→))的长度恰为eq\o(DA,\s\up6(→))长度的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线4．四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．梯形C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示()A．向东南航行eq\r(2)km B．向东南航行2kmC．向东北航行eq\r(2)km D．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，则下列各式中不成立的是()A．a＋b＝c B．a＋d＝bC．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|3．已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于()A．0 B．3C．eq\r(2) D．2eq\r(2)4．下列命题中正确的个数为()①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．A．0 B．1C．2 D．3二、填空题5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________．6．已知A、B、C是不共