2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若胃=工则也的值为（）

b9a

A-TB-\C-HD-1

2.计算tcm450+tcm30°cos30°的值为（）

A.|B.1C.|D.2

3.若反比例函数y=g的图象经过点（1,—2）,则k=（）

A.-2B.2C.|D.

4.下列各种现象属于中心投影的是（）

A.晚上人走在路灯下的影子B.中午用来乘凉的树影

C.上午人走在路上的影子D.阳光下旗杆的影子

5.点P的坐标是（in,几），从-3,-2,0,2,4这五个数中任取一个数作为血的值，再从余下

的四个数中任取一个数作为九的值，则点P（m,7i）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（）

A4B.|C.1D.i

6.如图，点P在AABC的边力C上，要判断△ABPsAACB,添加下列一个条件，不正确的是（）

A.4ABP=zCB.4APB=乙4BC

rAP__AB_nAP__BP_

7.已知菱形ZBCO的对角线AC,8。的长度是方程——13%+36=0的两个实数根，则此菱

形的面积为（）

A.18B.24C.30D.36

8.若4（一3,月）、B（-2,y2）＞C（L、3）三点都在函数y=-:的图象上，则丫1，丫2，丫3的大小关

系是（）

A.yi>y2>y3B.yi<y2<y3C.y2>7i>乃D.<y3<

9.若二次函数y=-/+b%+c的图象的最高点是（一1,一3）,贝昉、c的值分别是（）

A.6=2,c=4B.b——2,c=-4

C.b=2,c=—4D.b=—2,c=4

10.如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正

方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，如此反复下

去，…，那么第11个正方形的对角线长为（）

A.211B,212C.（V2）11D.（V2）12

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.三视图都是圆形的几何体是

12.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方

形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为3cm的正方形力BCD

沿对角线BD方向平移1cm得到正方形AB'C'D',形成一个“方胜”

图案，则点。，B'之间的距离为.

13.如图，是由8个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标

有①、②、③、④的四个小正方体中随机取走一个，所得新几何体

与原几何体主视图相同的概率是—.

14.若y=ax2+bx+c,由下列表格的信息：可知y与”之间的函数关系式是

X-101

ax21

ax2+b%+c83

15.如图所示是一块含30。，60°,90。的直角三角板，直角顶点。位于坐标原点，斜边48垂

直于x轴，顶点a在函数为=?（久＞0）的图象上，顶点B在函数=?（久＞。）的图象上,

^ABO=30°,

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题力卜）

用适当的方法解方程：

(1)久2+10%+16=0；

(2)x2+2x=x+2.

17.（本小题分）

如图，在AABC中，点D是4B上一点，且4D=1,AB=3,2C=遍.

求证：KACD^KABC.

18.（本小题勿〉

万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1）,图2是

侧面示意图，已知自动扶梯2C的坡度（或坡比）i=1：2,4C=6西米，BE是二楼楼顶，EF/

/MN,点8在EF上且在自动扶梯顶端C的正上方，若BC1EF,在自动扶梯底端4处测得B点

仰角为40。，求二楼的层高BC.（精确到0.1米,参考数据：s讥40。=0.64,cos40°«0.77,

tan40°x0,84)

19.(本小题分)

实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点4点B的坐标分别为(1,3),(3,2).

(1)画出△04B绕点B顺时针旋转90。后的△O'4'B'；

(2)点M是。4的中点，在(1)的条件下，M的对应点M'的坐标为.

(3)以点B为位似中心，相似比为2：1,在x轴的上方画出△O'AB'放大后的

20.(本小题分)

已知反比例函数yi=号上的图象与一次函数丫2=<2%+/?的图象交于点4(1,4)和点301,-2).

(1)求丫2的函数关系式；

(2)观察图象，直接写出使得为>为成立的自变量》的取值范围；

(3)如果点C与点2关于久轴对称，求仆4BC的面积.

21.(本小题分)

如图，抛物线y=-产+2x+c与久轴交于4,B两点，它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作

MELy轴于点E,连结BE交MN于点F,已知点4的坐标为(—1,0).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.

(2)求4BNF的面积之比.

22.(本小题分)

如图，在中，41cB=90。，。是边48的中点，过8作BE1CD,交CD的延长线于点

E,AC=30,sinB-求:

(1)线段CD的长.

(2)COSNBDE的值.

23.(本小题分)

我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.

(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯ZB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底

部3米，求灯杆28的高度；

(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆2B前，测得其影长C”为1米，再将木杆沿着BC

方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆的高度.

图1

答案和解析

1.【答案】A

用牛•,厂9，

•••Q=加，

2,

a+b_gb+b_11

~=芍=5'

9U

故选：A.

根据£=|,可得a=|b,代入代数式求解即可.

b99

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

2.【答案】C

解：原式=1+枭亨

1

1+

2-

3

=2,

故选：C.

根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案.

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.解答此题时，

借用了“反比例函数图象上的点的坐标特征”这一知识点.

根据反比例函数图象上的点的坐标特征,将(1,-2)代入反比例函数的解析式y=g然后解关于k的

方程即可.

【解答】

解：•••点(1,一2)在反比例函数y=：的图象上,

.••点P(L-2)满足反比例函数的解析式y=p

ck

一2=I，

解得k=-2.

故选A.

4【答案】A

解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有4选项得到的投影

为中心投影.

故选：A.

根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可.

此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为点还是平行光线.

5.【答案】A

解：画树状图如下:

开始

-2024-3024-3-224-3-204-3-202

共有20种等可能的结果，其中点P(ni,n)在平面直角坐标系中第二象限内的结果有：(-3,2),(-3,4).

(—2,2),(—2,4),共4种，

••・点p(a,m在平面直角坐标系中第二象限内的概率为4

故选：A.

画树状图得出所有等可能的结果数，以及点P(rn,用在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，再

利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

6.【答案】D

解：在AABP和AACB中，Z.BAP=/LCAB,

.•.当N4BP=NC时，满足两组角对应相等，可判断△ABPsAACB,故A正确；

当乙4PB=乙48c时，满足两组角对应相等，可判断△2BP-AAC8,故8正确；

当整=*时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABPs^ACB,故C正确；

当察=震时，其夹角不相等，则不能判断AABPs△力CB,故。不正确；

ADDC

故选：D.

根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可.

本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，

满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似.

7.【答案】A

解：x2-13x+36=0,

(x-9)(x-4)=0,

•••x-9=0或x-4=0,

%i=9,x2=4,

即菱形48CD的对角线AC,BD的长度为9和4,

此菱形的面积=|x9x4=18.

故选：A.

先利用因式分解法解方程得到AC和BD的长，然后根据菱形的面积公式求解.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两

个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,

这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.也考查了菱

形的性质.

8.【答案】C

解：•••4（一3,%）、3（-2,火）、。（1,乃）三点都在函数丫=一；的图象上，

11•,

yi=3'y-2.=2，y-i=-i-

•••y3<yi<y2-

故选：c.

此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.图象上点的坐标适合解析式.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的最值.解答此题时，弄清楚"二次函数y=-%2+bx+c的图象的最高点

坐标（-1,-3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键.

根据二次函数y=-%2+bx+c的二次项系数-1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=

-x2+bx+c的图象的最高点是（-1,-3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答从

c的值.

【解答】

解：••・二次函数丫=一/+以+（:的二次项系数一1<0,

该函数的图象的开口方向向下，

.•.二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点坐标（-1,-3）就是该函数的顶点坐标，

■■■—1=—%,即b=­2；①

—3=Tc-庐,即川+%+12=0；②

-4

由①②解得，6=—2,c——4；

故选3.

10.【答案】C

解：第1个正方形的边长是1,对角线长为近，

第二个正方形的边长为遮，对角线长为（鱼）2=2,

第3个正方形的边长是2,对角线长为2/=（虎尸，

・••第n个正方形的对角线长为（泥产，

故第11个正方形对角线长为(a)11.

故选：C.

第1个正方形的边长是1,对角线长为鱼；第二个正方形的边长为对角线长为(应)2=2,第3

个正方形的对角线长为(鱼产；得出规律，即可得出结果.

本题主要考查了算术平方根，求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决

问题的关键.

n.【答案】球

解：三视图都是圆形的几何体是球.

故答案为：球.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力.

12.【答案】(3a—

解：••・四边形4BCD为边长为3c机的正方形，

BD=V32+32=3V2(cm),

由平移的性质可知，BB'=1cm,

B'D=(3V2-l)cm,

故答案为：(3V2—l)cm.

根据正方形的性质、勾股定理求出BD,根据平移的概念求出BB',计算即可.

本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出BB'是解题的关键.

13.【答案】J

解：共有4种可能，其中拿走①是主视图是相同的，

・•・相同的概率是

故答案为：

根据三视图的定解决问题即可.

本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

14.【答案】y=/-4%+3

a=1

解：依题意，得a—b+c=8

c=3

(2=1

解得b=-4

c=3

•••y与久之间的函数关系式是y=x2—4x+3.

故本题答案为：y=x2-4%+3.

将(1,1)代入y=a/中，得a=l,当％=-1,0时，函数y=a/+6X+。的值分别为8,3；列方

程组求a、b、c的值即可.

本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法.关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，

再求其中的待定系数.一般式：y=ax?+力％+武。。0)；顶点式y=a(%-h)2+匕其中顶点坐

标为(儿女)；交点式y=a(%-%1)(%-%2)，抛物线与久轴两交点为(血,0)，

15.【答案】-3

解：如图，Rt/kAOB中，Z-B=30°,AA0B=90°,

・•.Z.OAC=60°,

AB10C,

/.ACO=90°,

・•.AAOC=30°,

设AC=a,贝1J。/=2a,OC=V3a,

•••A(y/3a,a),

・・・顶点A在函数yi=?(%>0)的图象上，

••・/q=V3a•a=V3a2,

中，OB=20C=2Wa，

BC=-JOB2-OC2=3a,

・•・B(y/3a,—3a)9

•••顶点B在函数%=§(x>0)的图象上，

2

k2=-3aV3a=-3V3a,

故答案为：-3.

设=贝lJOA=2a,OC=&,根据直角三角形30。角的性质和勾股定理分别计算点/和B的

坐标，写出/和B两点的坐标，代入解析式求出七和伍的值，相比即可.

本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30。的性质，熟练掌握直角三角形30。角所对

的直角边是斜边的一半，正确写出“、B两点的坐标是关键.

16.【答案】解：(I)%2+10%+16=0,

(%+8)(%+2)=0,

%+8=0或％+2=0,

所以％1=—8,%2=-2;

(2)%2+2%=%+2,

%(%+2)—(%+2)=0,

(%+2)(%-1)=0,

%+2=0或％—1=0,

所以％1=—2,x2=1.

【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为％+8=0或X+2=0,然后解一次方程即可；

(2)先把方程变形为%(%+2)-(%+2)=0,然后利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

17.【答案】证明：•・・4。=1,AB=3,AC=百，

.ZC_bAD_1

•••诟=IF一看一至'

.AC_AD

••,

ABAC

又•••/.A=/.A,

•••AACD^AABC.

【解析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论.

本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

18.【答案】解：延长BC交MN于点。.

由题意可知：tanNS。=pKBAD=40°,AC=

6*7^米,

•••sinZ.CAD=

CD=ACsin/.CAD=6米，

.••由勾股定理可知:4D=12米，

•,tanzFXD=器

BD=ADtan^BAD«0.842。=10.1米，

BC=BD-CD=10,1-6=4.1米.

答：二楼的层高4.1米.

乙

【解析】延长交MN于点D,由题意可知：tanzCXD=j,BAD=40°,AC=6强米，然后根

据锐角三角函数的定义可求出CD与BD的长度.

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于基

础题型.

19.【答案】

解：(1)如图，△O'A'B'即为所求.

(2)•••点M是04的中点,

.•.点M'是。'4的中点，

•・•。'(1,5),4(4,4),

.•.点”的坐标为(工).

故答案为：(|,|).

(3)如图,△0〃4'B即为所求.

(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)由题意得，点M'是。'4的中点，利用中点坐标公式求解即可.

(3)根据位似的性质作图即可.

本题考查作图-旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键.

20.【答案】解：⑴把4(1,4)代入加=2则4=k,

则k=4,

则反比例函数的解析式是：%=%

・・・点(科-2)在反比例函数为=(的图象上，

—2r=4，

m

.・.m=—2,

把(—2,—2)和(1,4)代入y2=ax+b得:

(—2a+b=—2

la+b=4

解得:

3=2

则一次函数的解析式是：y2=2%+2；

(2)当汽V—2或0V汽<1时，>y2•

(3)•・•点C与点4关于％轴对称，

C(1,—4),

1

S—BC=,x2x4x(2+1)=12.

【解析】(1)把a的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k的值，然后求得交点的坐标，利用待定

系数法求得一次函数的解析式.

(2)根据图象由两交点4、B,当一次函数位于反比例函数图象上时求x的取值范围.

(3)求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得.

本题考查用待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该

从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0.

21.【答案】解：(1)由题意可得：一(一1)2+2x(―1)+c=0,

解得：c=3,

.・.y——X2+2%+3,

y=—x2+2%+3=—(%—l)2+4,

・•・顶点M(l,4)；

(2)•・・/(一1,0),抛物线的对称轴为直线汽=1,

••・点3(3,0),

・•.EM=1,BN=2,

•・•EM//BN,

EMF~ABNF,

.S^EMF_rEM、2_-1

••S"NF~'BN)一(2)一4.

【解析】(1)直接将(-1,0)代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；

(2)利用EM〃BN,贝!UEMF〜△BNF,进而求出△EMF与△BNE的面积之比.

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF^L

BNF是解题关键.

22.【答案】解:(1)•••UCB=90°,AC=30,sinB=等=|,

AD5

AB=50,

•••D为直角三角形2BC斜边上的中点，

CD=：AB=25：

(2)vAB=50,。为AB的中点，

AD=BD—25,

BE1CD,

・•・乙E=90°,

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=V502-302=40，

由勾股定理得：BE2=BD2-DE2=BC2-CE2,

即252-DE2=402-(25+DE}2,

解得：DE=7,

nC厂DE7

；.cos乙BDE=­=—.

DU乙3

【解析】(1)根据s出B=爷=|求出AB=50,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CD