《换底公式》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

第四章对数运算与对数函数

4.2.2换底公式

♦教学目标

1.通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算.

2.运用对数运算性质解决有关问题.

♦教学重难点

重点：对数运算的性质与换底公式的应用.

难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值.

♦教学过程

一、新课导入

有些计算器上只有常用对数键“LOG”（即“1g”）和自然对数键“LN"（即“In”）.对一般的底

数a>l,且a羊1和b>0,要计算logab,必须将它转换成常用对数或自然对数.如何转换呢？

LNI^LOG-

自

常

然

用

对

对

数

数

键

键

二、新知探究

问题1：用计算器求logz5的值.

操作步骤：设log25=x,则2*=5,

在2%=5的两边取常用对数，得％lg2=lg5,所以％=翳

这样就可以用计算器中的常用对数键“LOG”算出log25的值：

1g5

log52.32192809489.

21g2

因为计算器显示的数位是有限的，所以得到的结果一般是近似值.

同理可得x=空.

这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出log25的值.

问题2：通过操作计算器的过程，你能总结出什么规律？

答案：一般地，若a>0,b>0,c>0,且c1,则

log5

logab

logca

这个结论称为对数的换底公式.

总结：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；

(2)换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、

计算及证明；

(3)常见的有：logab=氏或logab=器・

(4)常用结论：

①logab-log/,a=l(a>0且a*1,b>0且b*1).

②logabTogbcTogcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a#l,b#1,cH1).

n

@logamb—^logab(。>0且。*1,b>0).

问题3：你能用其他方法证明对数的换底公式吗？

证明：可令m=logab，n=logca,

贝Ua7n=b,cn=a,

贝！］a="Vb=cn,b=cnm,

则nm=logcb=logab-logca,

所以此5=黯・

三、应用举例

例1计算：(1)log2781；(2)log1625-log58；

(3)logab-logba(a>0,b>0,且Q。1,b丰1).

解：根据对数的换底公式，得

(1)log81=^°g381=-；

6227

log3273

(2)喝625.晦8=瞥.譬=等.警=。；

85lgl6lg541g2lg52

/一、iiiInbIna4

(3)logah-log,a=—•—=1.

例2计算：(1)log4+log23-log0o51；(2)(log32+log23)-方一图言

yb>ogz3I°g3N

解：根据对数的换底公式，得

（1）log4V+l°g23-logo.55=+log23-=log21+10g23-log25

=log2（IX3+5

=log21=0

⑵(晦2+晦3)。窿一器1=(肾断T.黑点+岩

曙。信)山-喘『-曙)1

总结：在对数运算中，要特别注意观察对数的特点，若是同底数对数的加减运算，通常运用对

数的运算性质，先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算，然后再进行对数运算；若不是

同底数对数，则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算.

例3⑴已知3g189=a,18b=5,试用a,b表示log3645.

(2)设3a=4b=36,求2+”的值.

ab

解：⑴由18b=5,Wlogl85=6.

又10。9=Q则10。45=logi845=Iogi8(5x9)=Iogi85+logi89=Iogi85+logi89=Iogi85+logi89二

218'、836log1836log18(18x2)l+log182l+log18y2-log189

a+b

2^a,

b

(2)由3。=4=36,得a=log336,b-log436,

由换底公式得：=log363,3=log364,

2I

2131041036

B=°g36+§36=§36=L

总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路：

①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；

②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值.

(2)指数式的连等式求值方法：

第一步：可令连等式等于％(Q0),然后将指数式用对数式表示；

第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数；

第三步：运用对数的运算性质化简求值.

四、课堂练习

1.计算：⑴log98-log3227；(2)log2-log3-log51；

(3)210gl83+(4)log48-logi3-logV54.

2.分别计算下列各式，你能得出什么结论？

(1)log25-log516；(2)log36-log69-log94；(3)log^7-log71-logi5-log5V2.

3.求证：log264=31og864.

4.设Q>0,b>0,aHO且QHl,b手1,利用对数的换底公式证明:

(1)logaab=(2)loga。/=£logab.

5.设a,b是正数,且4=b。，b=3a,求a的值.

参考答案：1.(1)Iog98・log3227=产•警亘=等/•等甘=2

898"log29log33221og23510g3210

(2)log—■log—,log-=(-31og5).(-：10gz2)--(-log23)_

622633655622

125323log23log25

g9

(3)21og183+嚣=210g183+翳=210gl83+log182=log18(9x2)=1；

(4)log48-logi3-logV24=|^1-^log33-flog22=|+1-4=-2.

2.(1)log25-log516=log25-^^=4；

1°g25

(2))log36-log69-log94=log36-=log34；

iog3oiog3y

log2g2‘

(3)lo5g7夜27,log7--logi5,log5V2=^_,•】：=1；

6735_55|og2V2log27log21log25

通过观察得出结论：10gab・10gb<=10gaC.

3.原式左边=log264=6,右边=3logg64=3x2=6,所以原式成立.

4.(1)logaab=产.ab=------;

3alogbaalogba

(2)唳心朋=X=『=4ogab.

aou

Iogaaalogaaa

ba

5.因为a>0,b>0,a=