几何概型基本特征

几何概型的基本特征:(1)无限性:试验包含无穷多个基本事件;(2)等可能性:各基本事件在一次试验中发生的可能性相同.几何概型概率计算公式:P(A)=q:试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积);p:构成事件A的区域长度(面积或体积).选择维度的基本方法:①看取值区域--在线上取值、在面内取值、在体内取值时分别选择长度比、面积比、体积比.②看设参个数--设一个参数时选择长度比,设两个参数时选择面积比.不涉及设三个参数的情况.合作探究△ABC为Rt△,∠A=900,∠B=300,D是BC的中点.问题1在斜边BC上随机取一点M,作射线AM,

则射线AM落在∠CAD内的概率是

.问题2过点A随机作射线交BC于点M,则射线AM落在∠CAD内的概率是

.①问题1中,如何保证取点M的随机性?

问题2中,如何保证作射线的随机性?

解决方案在问题1中,使得点M在斜边

BC上匀速运动,随机停止点M的运动,在点M的停止位置作射线AM,

则可保证取点M的随机性.

在问题2中,使得射线AM匀速地从AC顺时针旋转到AB,随机停止射线AM的转动,在停止的位置作出的射线即可保证随机性.ABCDABCDMM②记“射线AM落在∠CAD内”为事件A.问题1,2中,事件A发生的概率由什么因素决定?

结论:问题1中,事件A发生的概率由点

M通过线段CD的时间与点M通过线段CB的时间之比确定.

问题2中,事件A发生的概率由射线AM通过∠CDA的时间与射线AM

通过∠CAB的时间之比确定.③问题1中的运动背景是怎样的?

问题2中的运动背景是怎样的?

结论:问题1的运动背景是匀速直线运动.

问题2的运动背景是匀速圆周运动.④匀速直线运动和匀速圆周运动的方程是怎样的?s=vt,请给出s,v,t的意义ABCDABCDMMθ=ωt.请给出θ,ω,t的意义⑤事件A的概率可化为怎样的比?

答案:问题1化为长度比-,问题2化为角度比-

.解:(问题1)设BC=2,CM=x,则0≤x≤2,

数轴上点x形成的区域为线段OE.

记“射线AM落在∠CAD内”为事件A,

事件A发生时有0≤x≤1,数轴上点M形成的区域为线段OF,所以

P(A)==

.(问题2)设∠CAM=x0,则0≤x≤90,

数轴上点x形成的区域为线段OG.

记“射线AM落在∠CAD内”为事件A,

点事件A发生时有0≤x≤60,数轴上M形成的区域为线段OH,所以P(A)===

.2OE1Fx90OG60HxCABM1.三角形ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,M∈AB,求AM<AC的概率.解:设AC=1,AM=x,则

x形成的区域为线段DE.

记事件A为“AM<AC”,则事件A发生时有

0≤x<1,∴P(A)=0xDEF1=CABM数轴上点0≤x≤,D数轴上点x形成的区域为线段DF,2.三角形ABC是等腰直角三角形,∠C是直角,过点C作射线交AB于点M.求AM<AC的概率.解:设∠ACM=x0,则0≤x≤90,数轴上点

x形成的区域为线段DE.

记事件A为“AM<AC”,则事件A发生时有的区域为线段DF.∴P(A)=0xDE90F67.5CABMCABMD=0≤x<67.5,数轴上点x形成问题3有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果硬币不会完全落在圆外,试求硬币完全落入圆内的概率.探究问题记硬币圆心为M,点M到点O的距离为x,只要我们知道x的值,就可以知道事件A是否发生,则该问题为几何概型中的一维度比,这样的结论是否正确?答案:给定一个x的值时,点M的位置有无数多个即一个x

的值对应无数个基本事件,

所以,这样引进参数是不正确的.说明记“硬币完全落入圆内”为事件A.O问题3有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果硬币不会完全落在圆外,试求硬币完全落入圆内的概率.①硬币覆盖的范围是求概率时,应选择面积比.②用硬币圆心的位置来描述

试验及事件A.③对于试验,硬币圆心覆盖的范围是

为6的圆.

圆心覆盖的范围是

心,半径为4的圆.说明记“硬币完全落入圆内”为事件A.456O一个面,以点O为圆心,半径以O为圆对于事件A,硬币问题3有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果硬币不会完全落在圆外,试求硬币完全落入圆内的概率.解:记硬币的圆心为N,则点N覆盖的区域为以O为圆心,半径为6

的圆及其内部.

记“硬币完全落入圆内”为事件A,则事件A发生时,点

N覆盖的区域为以O为圆心,

半径为4的圆,所以

P(A)=

=

.456O3.两平行线的距离为4,小圆板的半径为1,将小圆板掷向两平行线,如果能够保证小圆板不会全部落在两平行线之外,求小圆板全部落在两平行线之间的概率.①硬币覆盖的范围是求概率时,应选择面积比.②用硬币圆心的位置来描述

试验及事件A.③对于试验,硬币圆心覆盖的范围是对于事件A,硬币圆心覆盖的范围是说明记“硬币完全落入圆内”为事件A.MABCDEFGH一个面,如图所示的矩形ABCD.N如图所示的矩形EFGH.3.两平行线的距离为4,小圆板的半径为1,将小圆板掷向两平行线,如果能够保证小圆板不会全部落在两平行线之外,求小圆板全部落在两平行线之间的概率.解:如图,设小圆板圆心为N,⊙M与⊙N半径相等,⊙M与直线l相切.

设两平行线的长度为m.

则点N

的覆盖区域为矩形ABCD及其内部,其中AB=6,AD=m-2.

记“小圆板落在两平行线之间”为事件A,事件A发生时点N的覆盖区域为矩形EFGH的内部,其中

EF=2,EH=m-2.所以P(A)===

.MABCDEFGHN4.平面上画了一些彼此相距2a

的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,

硬币的中心最远可达到两侧的平行线,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解:假设这些平行线有n(n∈N,n≥2)条,记硬币的圆心为N,则点N覆盖的区域为矩形ABCD,记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A,事件A发生时,点N覆盖的区域如图阴影所示.根据题意可知

EF=2a-2r,AB=(n-1)·2a.设平行线的长度为m,则…

…

…

…

l1l2lnBCDEFGHA4.平面上画了一些彼此相距2a

的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,

硬币的中心最远可达到两侧的平行线,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解:假设这些平行线有n(n∈N,n≥2)条,记硬币的圆心为N,则点N覆盖的区域为矩形ABCD,记“