【状元桥】2017年高考数学(理)一轮总复习课件选修4-5不等式选讲

选修4-5不等式选讲4－5.1含有绝对值的不等式最新考纲1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．

2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．1．绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，那么|a＋b|≤________，当且仅当________时，等号成立．定理2如果a，b，c是实数，那么____________________，当且仅当____________时，等号成立．【思考探究】绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？|a|＋|b|ab≥0

|a－c|≤|a－b|＋|b－c|

(a－b)(b－c)≥0提示：当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．－c≤ax＋b≤c

ax＋b≥c或ax＋b≤－c探究点一绝对值三角不等式定理α、β是实数，给出以下四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|>2，|β|>2；④|α＋β|>3.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________.解析：①|α＋β|＝|α|＋|β|那么α与β同号或至少有一个为0，故②成立；再由③得|α＋β|＝|α|＋|β|>4>3，故④成立．∴①③⇒②④答案：①③⇒②④总结反思：(1)该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，这两个结论在解题时经常用到，应熟练掌握．探究点二绝对值不等式的解法设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)假设a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．总结反思：解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式，其一般步骤如下．(1)令每个绝对值符号里面的因式等于零，求出相应的零点；(2)把上述零点由小到大排序，它们把实数轴分为假设干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，组成假设干个不等式，解这些不等式，求出相应的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．探究点三绝对值不等式的证明总结反思：含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立那么特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【变式训练】3.设f(x)＝x2－x＋43，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|.∵|x－a|<1，∴|x|－|a|≤|x－a|<1.∴|x|<|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1<2(|a|＋1)．1．熟练掌握绝对值不等式的根本解法．2．充分利用绝对值的几何意义处理绝对值不等式，更直观、简捷．3．注意绝对值三角不等式的运用.绝对值不等式的应用思维提升：研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．【跟踪体验】(2015·唐山市第一次模拟)函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.假设当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解析：f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．[友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标4－5.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课时作业4-5.14－5.2几个重要不等式的证明及其应用最新考纲了解证明不等式的根本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．a－b>0

只要

充分条件

相反

放大或缩小探究点一用根本不等式求最值总结反思：利用根本不等式求最值，实质上就是利用根本不等式进行放缩，在放缩过程中要注意两点，一是要注意“放”或“缩”的结果是否为常数，二是要注意“放”或“缩”的过程中等号成立的条件是否满足．探究点二不等式证明总结反思：(1)比较法：比较法是证明不等式的最根本、最重要方法之一，可分为差值比较(作差法)和商值(作商法)比较．(2)综合法：从不等式的性质和有关定理、成立的不等式出发经过逻辑推理，最后到达要证明的结论．(3)分析法：从待证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至找到一个明显成立的结论．分析法要注意表达的形式:“要证A，只需证B”，这里B是A成立的充分条件．分析法和综合法是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，综合法便于表达，因而在解题中经常结合使用．∴原不等式成立．1．证明不等式除了比较法、综合法、分析法，还可运用反证法、放缩法、数学归纳法等．证明不等式时既可探索新的方法，也可一题多证开阔思路．2．运用柯西不等式的关键是巧妙地构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化.柯西不等式的应用定义在R上的函