2020-2021学年大庆中学高一年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年大庆中学高一上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合力={1,2},B={2,4},则4UB=()

A.{2}B.{1,2,2,4}C.{1,2,4}D.0

2,下列函数中，在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.y=-x2+2xB-y=x3

c.p=2-”+1D.y=log2x

08

3.已知函数/(%)在R上是减函数，且a=/(logslO),b=/(log39.1),c=/(2),则a,b,c的

大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

4,若函数/(%)=logal%-b|在(-8,0)上是增函数，则a,b的值可能是()

A.a=2,b=2B.a=I，=|

C.a=2,b=—2D.a=2,b=—

5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的

“高斯函数”为：设第ER,用[用表示不超过久的最大整数，则y=[%]称为高斯函数，例如：

[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数/0)=三一号函数0(%)=[/(%)],则下列命题中真命题的

个数是()

①9(%)图象关于i=0对称，②/(%)是奇函数，③/(%)在R上是增函数，④g(%)的值域是

A.1B.2C.3D.4

+2%<1

2'，设a€R,若关于x的不等式/⑶2|；+a|在R上恒成立，则a的

XI一■X-L.

x

取值范围是()

A.[-2,2]B.[-273,2]C.[-2,2^3]D.[―2百,2次]

7.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=号对称，则实数a的值为()

A.-V3B.-qC.V2D.四

32

8.一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为()

A27rn兀"兀c

A-yB-4C.-D.n

9.若函数/（©=2s讥（3x）在区间【Y，勺上存在最小值为-2,则非零实数3的取值范围是（）

A.（-00,-2]B.[6,+oo）

C.（-00,-2]u[p+°°）D.（-8,一勺u[6,+8）

10.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin^A,那么△ABC一定是

A.锐角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

11.将y=s讥2%的图象向左平移子个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为（）

A.y=sin(2x+g)B.V=sin(2x--)

o6

C.y=Sin（2x+g）D.y=sin（2x-柒

12.函数f（x）=久一2+|"久|在定义域内的零点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数/。）=与零的定义域是（用区间表示）.

14.平面向量落另满足力=（1,1）,\b\=2.且加J_位一号及，则向量五与B的夹角为.

O^rr

15.如图，在AABC中，BC=2,AB=^6,^ACB=―,点E在边AB上，MzXCF=ABCE,将射

线CB绕着C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D,使得CD=W-1，连接。E,则ACDE

的面积为.

16.函数y=sin©%+W)的周期为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合后={X\X=…,％n)，/WN*,i=1,2,•••,n](n>2).对于A=Qalfa2,...,an),B=

9

(瓦,一，,,,，g)ETn,定乂；AB=(瓦—G],b?—g，…，"n—^n)入(。1，。2,,,,，—n)=

…,WR);Z与B之间的距离为d(4B)=Yd=iI小一瓦I,

(I)当71=5时，设4=(1,2,1,2,。5)，B=(2,4,2,1,3).若d(4B)=7,求

(口)证明：若4B,CETn,且m2>0,使四=2就，则d(A,B)+d(8,C)=dQ4,C);

(HI)记/=(1,1,...」)€说,若a,BETn,且d(/,A)=d(/,B)=p,求d(4B)的最大值.

18.已知全集U=R,若集合力={%|-2<%<4},B={x\x—m<0].

(1)若m=3,求力C(CuB)；

(2)若ACB=4,求实数小的取值范围.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角a和钝角0的终边分别与单位圆交于4B两点,且点4的

横坐标是支点8的纵坐标是

/T、、igSin(7r—6)+cos(7r+N)q「/+

(I)计算$m弓一幻+8$吟+.)的值;

(U)若芯=2同则求点C的坐标.

20.已知南为第三象限角

［蜘岷-勰,_腋》曷麻《一,侬一礴

(1)化简煲碱(2)若瞬哪第-,求知f礴的值.

21.已知函数/O)=&sin(x-£),刀eR

⑴求函数/(x)的最小正周期和值域；

(2)设S为实常数，若在开区间(0,兀)内/(*)=zn有且只有1个实数根，求小的取值范围.

22.设/(x)是定义在［a,加上的函数，用分点T：a=x0<x1<<xt<-xn=6将区间［a,b］

任意划分成几个小区间，如果存在一个常数M>0,使得和(阳)—<M(i=

1,2，…,n)恒成立，则称/(©为［a,6］上的有界变差函数.

(1)函数/(x)=/在［0,1］上是否为有界变差函数？请说明理由；

(2)设函数/(尤)是［a,句上的单调递减函数，证明："X)为［a,6］上的有界变差函数；

(3)若定义在［a,0上的函数f(x)满足:存在常数匕使得对于任意的与、冷e阿加时，，(久1)-/(冷)14

k-%—也1・证明：/(一为［a,句上的有界变差函数.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

解：•••4={1,2},B={2,4},

•••XUB={1,2,4}.

故选：C.

2.答案：C

解析：本题主要考查了函数的单调性与单调区间。

A、p=_工？+2工开口向下，对称轴为：x=l,即该函数在［1,+8)上单调递减，故不满足题意；

B、7二工3在R上单调递增，故不满足题意；

c、y=2-”+1在R上单调递减，即满足在(0,+8)上是减函数；

。、y=log?x在(。,+8)上单调递增，不满足题意；

故选：Co

3.答案：A

08

解析:解：根据题意，函数/(%)在R上是减函数，且a=/Qog310),b=/(log39.1),c=/(2),

10-8

又由logslO>log39.1>log39=2=2>2,

则有a<b<c；

故选：A.

根据题意，由对数函数和指数函数的性质可得Iog310>log39.1>log39=2=2i>20・8,结合函数

的单调性分析可得答案.

本题考查函数的单调性以及应用，关键是掌握函数单调性的定义.

4.答案：B

解析：解：令t=|x-b|,该函数在(-8,6)上为减函数，

要使函数/(%)=loga|x-b|在(一8,0)上是增函数，

则外层函数y=log/是定义域内的减函数，贝1]0<a<1,

由t=|x—b|在(一8,0)上恒大于0,则b20,

a,6的值可能是a=],£>=|.

故选：B.

令t=|x—b|,该函数在(一8,6)上为减函数，要使函数/(x)=logalx-b|在(一8,0)上是增函数，可

得0<a<l,再由椭圆可得620,则答案可求.

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定

函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据

是“同增异减”，是中档题.

5.答案：B

解析：解：根据题意知，〃久)=二—：=：—2.

l+ex22l+ex

g⑴==[£一刍=o,。(一i)=V(T)]=[a一刍=t，

•••g(i)Kg(T)，g(i)力一g(T)，

・•・函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，①错误；

,・"(一久)=£三一3=看一号=一/0)，•••/'CO是奇函数，②正确；

由复合函数的单调性知=巳-5万在R上是增函数，③正确；

11

g。)=[/(x)]=[-1,0},④错误.

故选：B.

利用特殊值判断函数的奇偶性，判断①；奇偶性的定义判断②；复合函数的单调性判断③；求出值

域判断④即可.

本题考查命题的真假的判断，函数的奇偶性以及函数的对称性，函数的值域的求法，是函数的性质

的应用与基本知识的考查.

6.答案：A

解析：

根据题意，作出函数f(x)的图象，令g(x)=E+a|,分析g(x)

的图象特点，将不等式/(%)>弓+研在R上恒成立转化为函

数/(%)的图象在g(x)上的上方或相交的问题，分析可得

f(0)2g(0)，即2>|a|,解可得a的取值范围，即可得答案.

本题考查分段函数的应用，关键是作出函数/(©的图象，将

函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系.

解：根据题意，函数/'(久)=1,2\.的图象如图：

令g(x)=Ij+a|，其图象与无轴相交与点(-2a,o),

在区间(-8,-2a)上为减函数，在(-2a,+8)为增函数,

若不等式/。)>||+a|在R上恒成立，则函数/(%)的图象在

g(x)上的上方或相交，

则必有/(0)2g(0),

即2>|a|,

解可得一2<a<2,

故选：A.

7.答案：B

解析：

考查三角函数辅助角公式的应用，以及正弦函数的图像与性质，注意函数的对称轴就是函数取得最

值，考查计算能力.

利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=与，函数取得最值，求出a的值

即可.

解：y=sinx+acosjc=VTF涯sin(x+,),在对称轴处取得最大值或最小值，

sin—+acos—=+V1+a2,

33—

即—但+1a=+/m7,解得a=—四；

22—3

故选艮

8.答案：A

解析：解：设母线长为R,底面半径为丁，

•••底面周长=2nr,底面面积=nr2,侧面面积=沙=冗rR,

•・,侧面积是底面积的3倍，

・•・3兀厂2=RTR,R=3r,9=-=—.

R3

故选：A.

设出圆锥的母线与底面半径，利用已知条件列出方程求解即可.

本题考查圆锥的展开图，扇形和圆锥的相关计算，考查空间想象能力以及计算能力.

9.答案:C

解析：解：:函数/(久)=2s讥3X在区间上的最小值是-2,

又y=2sincox(xG7?)G[—2,2]

当％e[-3m上有最小值为-2时，有：

①当3>0时，即一<3%<^3,

由题意得一窕三一方，解得32|;

②当3<0时，W3%〈~^a),

由题意知33<—解得3<—2,

综上，符合条件的实数3的取值范围为：(-8,-2]U[|,+8).

故选：C.

首先，分两种情形进行讨论：3>0和3<0,然后，分别求解即可.

本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题，考查二角函数基本知识的掌握程度，属中档题.

10.答案:c

解析：解：在△ZBC中，tanAsin2B=tanBsin2A,

化简得：“里•2sinBcosB=巴里-2sinAcosA,

cosAcosB

整理得：cos2^=cos2>l,BP|(1+cos2B)=|(1+cos2A),

化简得：cos2A=coslB,

•••2a=2B,即4=B,

则△ABC为等腰三角形，

故选：c.

利用同角三角函数间基本关系切化弦，以及二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的余

弦公式变形得到cos2A=cos2B,进而得到4=B,即可确定出三角形为等腰三角形.

此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握公式是

解本题的关键.

11.答案：C

解析：解：将y=s讥2久的图象向左平移质个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为y=

sin2(x+£)=sin(2x+1),

故选C.

将y=s讥2久的图象向左平移g个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为y=s出2(x+勺,

6o

由此得出结论.

本题主要考查y=AsinQcox+。)的图象变换，属于基础题.

12.答案：C

解析：解：函数/'(X)=x-2+|仇光|在定义域内零点的个数

就是方程2-%=|济久|的解的个数，也就是函数y=2-x与

y=|"x|图象交点个数，

在同一坐标系中画出：两个函数的图象如图：

可知两个函数有两个交点，原函数的零点有两个.

故选：C.

函数的零点个数，转化为两个函数的图象的交点个数利用数

形结合求解即可.

本题考查函数的零点个数的判断，数形结合的应用，考查计算能力.

13.答案:(—3,0)

解析：

本题考查函数的定义域，涉及指数对数函数及其性质，属基础题，根据函数“X)的解析式，结合指

数对数函数的定义域和性质，求出使解析式有意义的自变量x的取值范围即可.

解：••・函数”久)=3霉

%+3>0

1-2X>0'

解得一3<x<0,

・・•/。）的定义域是（一3,0）.

故答案为（-3,0）.

14.答案：3

解析：解：根据题意，设向量五与石的夹角为。，

a=（1,1）,则|初=V2,

若石10-/），则隹位一转）=N.9—/2=2/cos。一2=0,

解可得cos。=—,

2

又由0<6<71,则。=

故答案为：

根据题意，设向量云与石的夹角为0,求出五的模，由另1Q-尹），可得点位一物）=小另一物2=

2/cos。-2=0,解可得cos。的值，结合8的范围，分析可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

15.答案：3百一5

解析：

本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化思想，属于中档题.

由已知利用余弦定理可求4C的值，由正弦定理可求sin/BAC的值，利用正弦定理求得CE的值，可求

NECD为直角，根据三角形的面积公式即可求解.

解：由AB?=4。2+8。2-2&C-BCCOSN4CB,

得+22。—2=0,解得AC=V3-1.

ZB

因为BC

sinz.BACsinz.ACB

所以sin®C*,皿C*

D

所以sinZ_4EC=sin(Z71CE+乙BAC)

71、V6+V2

=si.n(,n-+,-)=-----

、34y4

I八I/J-,

sinz.BACsinz.AEC

所以CE=，髻=4-2V3.

4

因为NEC。=乙BCE+乙BCD=

所以SADCE=|C£-CD=3A/3-5.

故答案为38-5.

16.答案:4兀

解析：解：函数y=sinG%+?)的周期为竽=4兀，

故答案为：47r.

由条件利用利用函数y=Asin(cox+⑴)的周期为詈，得出结论.

本题主要考查函数y=4si7i(3久+卬)的周期性，利用了函数y=+")的周期为巴，属于基

CO

础题.

17.答案：(I)解：4=(1212-5)，3=(2,421,3).

由d(4B)=%1|%-加|=7,

得d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+\a^—3|=5+|@5-3|=7.

|。5—3|=2,

解得：a3=1或的=5；

(II)证明：设/=QL…>a?i)，B=(瓦,…，bn),C=(q,C2,...,cn)GTn

•••AB=ABC,

•••AB=(瓦—altb2—a2,''',bn—an)=A(ct—瓦，c2—b2,...,cn—bn),

•・・+d(B,C)=毙11%—加I+EH】I1一q|,d(4C)=%|七-Q|,

d(4B)+d(B,C)=d(4C)；

(皿)角牛：,*,I—(1,1,…,1),A—…a?i)9B=(bi，b?,,bfi)9

由d(/,A)==P,

得%—11+|。2-1|+1。3—1|+…+|%i—1|=P，

|瓦一1|+|b2-l|+四一1|+…+\bn-1\=P.

_

•••d(A,B)=1%-瓦I+b2\+\a3-b3\4----卜\an-bn\

=1(%-1)一(瓦-1)1+1(@2-1)一电-1)1+1(@3-1)一«.1)1+…+15-1)一(4-1)|

a

W|。1-1|+I瓦-1|+|。2-1|+电—1|+…+\n-1|+|bn-1|=2P.

■­.d(4B)的最大值为2P.

解析：试题分析：(I)直接利用新定义运算,结合d(4B)=7,把式=(1,2,1,2,a5),B=(2,4,2,1,3)代

入4与B之间的距离d(4B)=£之1|七一仇即可求解a5的值；

(□)利用新定义，结合荏=2就，即可怎么d(4B)+d(B,C)=d(4C)；

(HI)由=d(l,B)=P,得到—1|+|<22-1|+|。3—1|+…+(n—1|=P，I瓦—1|+1。2—

---a

1|+|Z?3~l|++|bn-1|=P.然后把d(4B)=-瓦|+|a2一1+l3—1+…+|nn~bn\)

利用绝对值不等式放缩得答案.

18.答案：解：(1)当巾=3时，B={x|x<3},

所以18={利久23},

又集合4={%|-2<%<4],

故An(CuB)={x[3<x<4].

(2)4ClB=A,得，AQB,

故实数ni的取值范围是m>4.

解析：(1)由集合B求出QB,再求出集合4与集合B的补集的交集即可；

(2)由集合4是集合8的子集，求出小的取值范围.

本题考查集合的交并补运算，以及由集合间的关系求参数的问题，属于基础题.

19.答案：(I)根据三角函数的定义得，

cosa=-,sinp=|.

a的终边在第一象限，；.sina-1.

•••B的终边在第二象限，COS0=-等•

sin(7T-/?)+cos(7r+/?)sinp-cosp、彳

41

sin(^.a)+cos(|+a)=cosa_sina=--2V6.

(H)X(|,5(―»设C(x,y).

则2话=(年J前=Q—|,y—)

解析：（I）根据三角函数的定义可求cosa,sin，,结合a、夕的终边位置可求sizia,cos，，代入即可

求得。

（II）分别求得4B点坐标，表示出向量48和AC,根据羽=2历即可求得C点坐标。

20.答案：（1）一奥相福（2）纪?

解析：试题分析：（/）.翼喻=-虱壁懿（2）孥

蝴喊口-T®2M三1带畿圈刎j冢_礴：

⑴弱碱=-------逡----&-----------

他3喊-舷一成姆碱一雄一棒

即奠籥》的值为止（10分）

考点：诱导公式和同角关系式

点评：熟练的运用三角函数中诱导公式以及同角的关系式来求解和化简，易错点就是诱导公式的符

号的确定，属于基础题。

yf

21.答案：解：（1）对于函数/（x）=&sin（x—J久6R,它一

的周期为2兀，值域为［-/,迎］.

(2)•••在开区间(0,兀)内f(x)=小有且只有1个实数根，故在开区间(0,兀)内，

y=的图象和直线y=m有且只有1个交点.

由久_：6(—午)，可得sin(x—彳)€*1］,V2sin(x-^)e(―\/2,V2］,

结合图象可得爪=&,或一立爪<五.

22

解析：