2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册4 .2 指数函数

4.2指数函数

1、指数爆炸和指数衰减...............................................1

2、指数函数的图象和性质............................................5

3、指数函数性质的应用(习题课)......................................11

1、指数爆炸和指数衰减

1.下列函数中，指数函数的个数为()

①丁=/；②且。/1)；③>=1七④y=出一L

A.0个B.1个

C.3个D.4个

解析：选B由指数函数的定义可判定，只有②正确.

[a•2%,

2.已知函数段)=「%八若加(一1))=1,贝UQ=()

12x,x<0,

11

-

-氏

A.42

C.1D.2

解析：选A根据题意可得八一l)=2i=2,

，用(一D)=A2)=G22=1,解得。=；,故选A.

3.若指数函数y=/(x)的图象过点(2,4),则人3)的值为()

A.4B.8

C.16D.1

解析：选B设指数函数的解析式为«x)=tf(a>0,1),又由函数的图象

经过点(2,4),则/=4,解得a=2或a=—2(舍)，即火x)=2"所以火3)=23=

8,故选B.

4.已知人乃=炉+晨％?>0,且a#l),且汽1)=3,则汽0)+汽1)+五2)的值是()

A.14B.13

C.12D.11

解析：选C由火工)=〃+。七得五0)=。。+。0=2.

又加)=3,即a+a~l=3,(a+aTl)2=a2+2+ar2=9,.，.tz2+a-2=7,即

7(2)=7.

因此，人0)+{1)+次2)=2+3+7=12,故选C.

5.(多选)设指数函数八》)=炉他>0,且。/1),则下列等式中正确的是()

A.Hx+y)=/(x)Ky)

f(x)

B-

c.^=»-»

D.>x)=[/(%)]>eQ)

解析：选ABD>+y)=cf+y=(fd1=/%W)-故A中的等式正确；f(x-y)

/f(%)AAi]

xyy-

=a~=(fa~=~：~f(y)-故B中的等式正确；化J=ay=(“⑦，=

1

一。注(出加故C中的等式错误；加》)=。内=(疝)"=|»]"，故D中的等式正确.

6.若函数兀¥)=(4—2a+2)(a+l)x是指数函数，则a=.

fa2—2a+2=l,

解析：由指数函数的定义得{a+1>0,

[a+lWl,

解得tz=1.

答案：1

7.已知函数段)=江+。3>0,且aWl)，其图象经过点(一1，5),(0,4),则

五一2)的值为

_1

a~'+b=5,所以人x)=gy+3,所以五一2)=

解析:由已知得，解得2

、a°+b=4,

”=3.

⑸+3=4+3=7.

答案：7

8.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机

的价格降低;，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为.

解析：5年后价格为8100x(1—j；10年后价格为8100x(1—15年后

价格为8100X(l-£f=2400(元).

答案：2400兀

9.某生态文明小镇2018年底人口为20万人，人均住房面积为8n计划

2022年底人均住房达到10n?,如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%,那

么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米？(精确到1

万平方米)

解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2,

据题意可得20X8+4X=20(1+1%)4.10,所以x=50X1.014—40^12.

所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.

10.已知函数人%)=(<?+。-5)"是指数函数.

(1)求4x)的表达式；

(2)判断R(x)=/(x)—八一x)的奇偶性，并加以证明.

解：(1)由/+a—5=1,a>0,且aWl,

可得a=2或。=一3(舍去)，=2\

(2)F(x)=2x-2"\

I.F(-x)=-F(x),I."力是奇函数.

11.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一

倍.若一个池塘在第30天时刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是

()

A.第15天B.第20天

C.第25天D.第29天

解析：选D因为浮萍覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍，且第30

天时刚好被浮萍盖满，所以可知第29天时刚好覆盖池塘的一半.故选D.

f\\ax

12.已知函数人=,a为常数，且函数的图象过点(一1,2),则a=

,若g(x)=4r—2,且g(x)=«r),则x=.

解析：因为函数的图象过点(一1,2),

所以（1）=2,所以a=l,

所以汽x）=g］：g（x）=/（x）可变形为4=—2=—2=0,

解得2r=2,所以x=-L

答案：1—1

13.已知函数兀V）满足:对任意实数XI<%2,有/（XI）勺（X2）,且兀n+%2）=人制）次冷）,

若写出一个满足这些条件的函数，则这个函数可以写为

解析：时，於1）勺（X2）,

.•优X）为增函数.

'."y（Xl+X2）=人为）7（X2）符合指数函数的性质,

...满足条件的函数可以是丁=/（。>1）.

答案：丁=2飞底数大于1的指数函数即可）

14.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率

为20%,如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%,现

有两种砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次.

请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？

解：设该种树的最初栽植量为。，甲方案在10年后的木材产量为州=a（l+

20%）5（l+10%）5=a（1.2X1.1）5七4.01a

乙方案在10年后的木材产量为

”=2a（1+20%）5=2a-1.25^4.98a.

Va>0,.,.4.98tz>4.01（z,即,2>yi,

...乙方案能获得更多的木材.

「/（I）1/（2）1f（H）

15.已知函数y=/（x），xGR,且-0）=3,；（0）=］，/（］）=］，…，于（〃—i）

=3，〃GN+，求函数y=/（x）的一个解析式.

解：当x增加1时函数值都以g的衰减率衰减,

所以函数人为为指数型函数,

又汽0)=3,所以左=3,

所以人x)=3X，f.

2、指数函数的图象和性质

1.函数40=^^的定义域为()

A.[-1,0)U(0,+°°)B.(-1,+0°)

C.[-1,+8)D.(0,+8)

x+1NO,一1,

解析：选A依题意得＜即<

2"一IWO,&手0.

故函数代劝的定义域为［―1,0)U(0,+8),故选A.

1

2.已知a>0且aWl,则函数尸法的值域为()

A.(0,+°°)B.(-8,1)U(1,+00)

C.(0,1)U(1,+8)D.(1,+8)

解析：选C设片;则y=",其中/W0.,.•/?(),af^a0,即又

1

<7>0,...、>()且yWl,即函数y=ax的值域为(0,1)U(1,+°°),故选C.

3.在同一坐标系中，函数y=ax+a与y=(/的图象大致是()

解析：选B函数y=ax+a的图象经过(一1,0)和(0,a)两点，选项D错误;

在图A中，由指数函数的图象得由的图象得选项

A错误；在图B中，由指数函数丁=〃的图象得由的图象得

选项B正确；在图C中，由指数函数/的图象得0<〃<1,由丁=以+〃的图

象得。>1,选项C错误.故选B.

4.（多选）下列说法正确的是（）

A.函数y=3*与『的图象关于y轴对称

B.函数y=3'与y=||y的图象关于x轴对称

C.函数丁=3、与y=—的图象关于原点对称

D.函数丁=3工与y=-3工的图象关于x轴对称

解析：选ACD易知函数丁=户与=相工的图象关于丁轴对称，且函

数y="与丁=一（/的图象关于x轴对称，所以函数y=a*与y=—g）的图象关

于原点对称，所以B说法错误.

5.（2021•湖南衡阳八中高一月考）设〃，b,c,d均大于0,且均不等于1,y

=〃，y=bx,y=c\y=#在同一坐标系中的图象如图，贝U〃，b,c,d的大小顺

序为（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<c

C.b<a<d<cD.b<a<c<d

解析：选C作出直线x=l,如图所示.

直线x=l与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b),(1,a),(1,d),(1,

c),因此a,b,c,d的大小顺序是6<a<d<c,故选C.

6.已知函数y(x)=(x—a)(x—z?)(其中的图象如图所示，则函数g(x)=a*

+6的图象是()

解析：选C由函数人x)的图象可知，一1V6<O,a>l,则g(x)="+b为

增函数，当x=0时，g(0)=l+b>0,故选C.

7.函数3+3(。>0,且的图象过定点.

解析：因为指数函数y=炉(。>0,且。W1)的图象过定点(0,1),所以在函数

y=a「3+3中，令x—3=0,得x=3,此时y=l+3=4,即函数丁=“「3+3的图

象过定点(3,4).

答案：(3,4)

2%x<0

8.若函数火%)=I。则函数人为的值域是____.

—2x,x>0,

解析:由尤V0,得0V2XV1；'：x>0,：.~x<0,Q<2~X<1,：.~1<~2~

"VO.•.函数於)的值域为(-1,0)U(0,1).

答案：(一1,0)U(0,1)

9.求下列函数的定义域、值域：

1

(l)y=0.3x—1；

⑵尸3行.

解：(1)由x—1W0得无W1,所以函数定义域为{x|xWl}.由士生0得yWl,

JCL

所以函数值域为{y|y>0且yW1}.

(2)由5%—120得所以函数定义域为1卜三%.由正二INO得

所以函数值域为{y|y》l}.

10.已知函数五x)=〃-i(x20)的图象经过点(2,号，其中a>0且aWl.

⑴求。的值；

(2)求函数y=Hx)(x》O)的值域.

解：(1)函数图象经过点(2,；),所以/T=g,则a=g.

(2)由(1)知函数为五x)=[j"l(xN0),由xNO,得x—lN—1.于是0<[；了1

wg)=2,所以函数的值域为(0，2].

11.(2021・广东珠海高一月考)已知函数人乃满足火工+1)的定义域是[0,31),

则人2、)的定义域是()

A.[1,32)B.[-1,30)

C.[0,5)D.(—8,30]

解析：选C：於+1)的定义域是[0,31),即0Wx<31,.,.K.x+l<32,，

兀t)的定义域是[1,32),

...人2工)有意义必须满足2°=1<2V<32=25,.\0<%<5.

12.(多选)下列说法正确的是()

A.函数人x)=；在定义域上是减函数

B.函数加c)=2x—f与x轴有且只有两个交点

C.函数y=2同的最小值是1

D.在同一坐标系中函数丁=2苫与丁=2七的图象关于y轴对称

解析：选CD对于A,五x)=：在定义域上不具有单调性；对1TL

于B,在同一坐标系中，画出y=2*与的图象，有三个交点，\10,

故函数火沙二？*—%2与x轴有三个交点，一个负值，两个正值；对\\JA

于C,因为国三0,所以2因三20=1,所以函数了=2恻的最小值是1,'ol71'i

正确；对于D,在同一坐标系中，函数丁=2工与、=2七的图象关于y轴对称，正

确.故选C、D.

(1、|1一x|

13.若函数+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是

m|l—A-|

解析：作出函数g(x)=[]J

=\(2)'的图象如图所示.

〔2L1,x<l

由图象可知0<g(x)Wl,则m<g(x)+m^1+m,

即m</(x)^l+m,

要使函数+m的图象与x轴有公共点，则J解得一

3[m<0,

1W机＜0.

答案：[—1,0)

14.设兀0=3',g(x)=(j.

(1)在同一平面直角坐标系中作出火x),g(x)的图象；

(2)计算人1)与g(—1),-n)与g(~n),式咽与g(一机)的值，从中你能得到什

么结论？

解：(1)函数於),g(x)的图象如图所示:

(2求1)=31=3,g(T)=

则)=3n,g(-n)=g)=3"；

找m)=3”\g(一咐=0=3m

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等,

即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.

15.设於尸言一，g(x)=^^(其中a>0且aWl).

⑴由5=2+3,请你探究g(5)能否用火2),:3),g(2),g(3)来表示;

(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广.

a5—a5

解：(l)...g(5)=-y—,

/2)g(3)+g(2/3)

cr+a^-c？—cT3cr—cT-tz3+a-3

_-22-+-22-

=^(＜25+tz—o-1—a5a5—a-\-a~]~a~5)

=|(＜75—a-5),

...g(5)=/(3)g(2)+g(3次2).

(2)探究(1)中的等式，可以得g(x+y)=Ax)g(y)+g(x)1/(y)恒成立.

证明：加)g(y)+g(x次y)

cf+a~xay-a~yax—a~xav+tz-y

_-22-+-22-

=；(炉+〉+口厂£一〃、一相厂'+/+＞一。厂'+炉-＞一屋厂＞)

=；(炉+＞—。-厂＞).

,(f+y~a~x~y

'­*g(x+y)=5,

g(x+y)=/U)g(y)+g(切(y)-

3、指数函数性质的应用(习题课)

1.函数人x)=(4§尸在区间［1,2］上的最大值是()

A.坐B.小

C.3D.24

解析：选C因为小>1,所以指数函数火%)=(5)x为增函数，所以当x=2

时，函数取得最大值，且最大值为3.

2.已知。=匹，b=203,c=0.3°-2,则a,b,c三者的大小关系是()

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

解析：选Aa=^/03=0.3°-5.

••7(x)=0.3x在R上单调递减，

.，.0.3°-5<0.3°-2<0.3Ma<c<l.

又5=2。3>2。=1,：.a<c<b,故选A.

3.»=2W,x©R,那么五%）是（）

A.奇函数且在(0,+8)上是增函数

B.偶函数且在(0,+8)上是增函数

C.奇函数且在(0,+8)上是减函数

D.偶函数且在(0,+8)上是减函数

解析：选B由x©R且五一x)=/(x)知人乃是偶函数，当x>0时，五%)=2,是

增函数.

4.指数函数人为二炉色>。，aWl)在R上是减函数，则函数8⑴=侬一？)%3在

R上的单调性为()

A.单调递增

B.在(0,+8)上递减，在(一8,0)上递增

C.单调递减

D.在(0,+8)上递增，在(一8,0)上递减

解析：选C•指数函数1x）="（a>0,a手l）在R上是减函数，

/.O<Q<1,

.•.〃一2<0,

.•送。）=（。一2）式在R上是减函数，故选C.

5.（多选）若於）=3，叶1,则（）

A.於）在［T,1］上单调递增

B.丁=3工+1与y=（1『+l的图象关于y轴对称

C.段）的图象过点（0,1）

D.段）的值域为［1,+8）

解析：选AB汽x）=3'+l在R上单调递增，则A正确；y=3"+l与丁=3七

+1的图象关于y轴对称，则B正确；由五0）=2,得人x）的图象过点（0,2）,则

C错误；由3、>0,可得火为>1,则D错误.故选A、B.

1

6.函数y=3l的单调递减区间是.

解析：设M=：,则y=3",

因为”=一在（一8,0）和（0,+8）上是减函数，

且y=3"在R上是增函数，

1

所以函数y=3x的单调递减区间是（一8,0）和（0,+°°）.

答案：（一8,0）和（0,+°°）

一%+3。，x<0,

7.函数人x）=1r（。>°，且。?1）是R上的减函数，则。的取

值范围是.

解析：由单调性定义，火乃为减函数应满足：

0<tZ<l,1

<、n即WWaVl.

［3a^a0,3

答案：,1）

W+i

8.函数的单调递增区间为；奇偶性为.

解析：设"=一国+1,则,,易知"=一国+1的单调递减区间为[0,+

8),y=&是减函数，

W+1

的单调递增区间为[0,+°°).

门、一|一丫|+1m—M+1

..•五一劝=[/=»,

.•.小)是偶函数.

答案：[0,+8)偶函数

9.已知函数月乃=/(。>0,且aWl)的图象经过点(2,4).

⑴求a的值；

(2)若任+1<0-1,求％的取值范围.

解：(l)V»=av(t?>0,且aWl)的图象经过点(2,4),，/=4,又a>0,且

ci-^-1,・・4=2.

(2)由(1)得a=2,由/》+1<。3厂1,代入。=2,可得22/1<231，由指数函数的

单调性可知2x+l<3x—l,解得x>2,即x的取值范围是(2,+8).

10.设0WxW2,y=4x—g—3・2，+5,试求该函数的最值.

解:令1=2',0WxW2,

则y=22-^1—3-2A+5=^—3r+5.

配方得3)2+3，/G[l,4],

3)2+1,re[1,3]上是减函数；?e[3,4]上是增函数，

,1

/.当/=3时L，^min=2：

,L5

当1=1时，ymax=2-

故函数的最大值为最小值为;.

11.若不等式2f+iwgy2的解集是函数y=2,的定义域，则函数y=2,

的值域是（）

」、「1一

A.g,21B.R,2

c[-4|D.[2,+00）

解析：选B由之得2/+lW2-2x+4,即/+iw—2x+4,解

得一3WxWl,所以函数y=2”的定义域为[—3,1].由于函数丁=2、在R上单调

递增，故当x=-3时取得最小值1，当x=l时取得最大值2,所以函数的值域

O

为2.故选B.

12.（多选）函数'=五%）=炉一a|（a>0且aWl）的图象可能为（）

解析：选BC当时，不妨取a=2,则丁=0-2]的图象如图①，故C

正确.

当0<a<l时，y=|</-a|的大致图象如图②，故B正确.

13.已知函数五%）=6炉（其中a,6为常数，a>0,且aWl）的图象经过A（l,

6),3(2,18)两点.若不等式(|)”十伴(一机20在x©(—8,1］上恒成立，则实

数m的最大值为.

ba=6,〃=3,

解析：由已知可得，2,c解得，c

=18,［b=2,

则不等式仔)+g)—机巳0在x©(—8,Il上恒成立，设且(%)=住)+(；)—

m,

显然函数g(%)=0+(；)—加在(一8,1］上单调递减，

217

•••«?W^<g(l)=3+2—m=6—m,

77

故4一加20,即

、7

...实数m的最大值为1

o

答案：I

14.已知函数人x)=2「.

3

(1)求人0)—2，X或X2<的值；

(2)若函数/z(x)=/(x)+g(x),且/z(x),g(x)满足下列条件：

①"(X)为偶函数；

②h(x)》2且mxGR使得A(x)=2；

③g(x)>0且g(x)恒过(0,1)点.

写出一个符合题意的函数g(x),并说明理由.