2018-2019学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一

个是正确的）

2.（3分）下列所给各点中，反比例函数y=&的图象经过的是（）

A.(-2,4)B.(-1,-8)C.(-4,2)D.(3,5)

3.（3分）某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆

的影长为12米，则该旗杆的高度是（）

A.10米B.12米C.14.4米D.15米

4.（3分）已知尤=1是一元二次方程/+加・2=0的一个解，则机的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（3分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为1：3,则两三角形的面积比为（）

A.2：3B.1：3C.1：9D.1：73

6.（3分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同,

分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）

A.LB.1C.LD.工

3456

7.（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点

34

8.(3分)如图，lA//h//lv直线a，6与11、b、七分别相交于A、B、C和点。、E、F,

若空_=2,DE=6,则EF的长是()

9.(3分)已知关于x的方程a?+2x-2=0有实数根，则实数。的取值范围是()

A.心_工B.a^-1-C.心-1且*0D.a>-L且aWO

2222

10.(3分)某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,

设平均每次增长的百分数为x,那么尤应满足的方程是()

Ax=40%+10%_

,2-

B.100(1+40%)(1+10%)=(1+无)2

C.(1+40%)(1+10%)=(l+.r)2

D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2

11.(3分)如图是二次函数y="2+bx+c(aWO)的图象，根据图象信息，下列结论错误的

是()

A.abc<0B.2«+/?=0C.4a-2b+c>0D.9G+3Z?+C=0

12.(3分)如图，A、C是反比例函数y=±-(%>0)图象上的两点，B、。是反比例函数

x

y=—(x>0)图象上的两点，已知A8〃C0〃y轴，直线A3、分别交了轴于E、F,

x

根据图中信息，下列结论正确的有()

①②2一今<4噜端

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）二次函数y=/-4x+4的顶点坐标是.

14.（3分）如图，O是坐标原点，菱形0ABe的顶点A的坐标为（3,4）,顶点C在x轴

的正半轴上，则NA0C的角平分线所在直线的函数关系式为.

15.（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼。E,在小楼的顶端

D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B,C,E

在同一水平直线上）.已知A8=40m,DE=10m,则障碍物B,C两点间的距离为

m.（结果保留根号）

□

□

□

□

□

□

□

□

16.（3分）如图，点E是矩形A8CQ的一边的中点，BfUCE于F,连接AF；若A8

=4,AD=6,则sin/A户E=

B

三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8

分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）

17.（5分）计算：tan45°-tan%。。+sin30°-J5cos30°.

18.（6分）解方程：2（x-3）2=尤-3.

19.（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现

把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏.游戏规则如下：

连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如

果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏

胜出，否则，游戏失败.问：

（1）若已知小明第一次摸出的数字是4,第二次摸出的数字是2,在这种情况下，小明

继续游戏，可以获胜的概率为.

（2）若已知小明第一次摸出的数字是3,求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的

概率（要求列表或用树状图求）

0000

20.（8分）如图，E、歹是正方形ABC。对角线AC上的两点，且连接8£、

DE、BF、DF.

（1）求证：四边形8瓦不是菱形:

（2）求tan/AFZ）的值.

21.（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价元

/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系.

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每

天获得的利润最大？最大利润是多少？

22.（9分）如图，点尸是反比例函数y=-迈（尤＜0）图象上的一动点，出，无轴于点A,

X

在直线y=A/不上截取。2=小（点2在第一象限），点C的坐标为（-2,2/牛，连接

AC、BC、OC.

（1）填空：0C=，/BOC=；

（2）求证：△AOCs/iCOB；

（3）随着点P的运动，/ACB的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变,

则求出它的大小.

23.（9分）如图，抛物线交无轴于A、8两点（点A在点B的左边），交y轴于点C,直线

y=-马+3经过点C与x轴交于点。，抛物线的顶点坐标为（2,4）.

4

（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；

（2）求点8到直线CD的距离；

（3）若点尸是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使

ZPDC=45°?请你求出此时的P点坐标.

2018-2019学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）如图，墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】直接利用俯视图即从物体的上面往下看，进而得出视图.

【解答】解：墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形，则它的俯视图是:

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，注意观察角度是解题关键.

2.（3分）下列所给各点中，反比例函数y=&的图象经过的是（）

x

A.（-2,4）B.（-1,-8）C.（-4,2）D.（3,5）

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.

【解答】解：V-2X4=-8,-4X2=-8,3X5=15,-IX（-8）=8,

.•.点（-1,-8）在反比例函数■的图象经上.

X

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k（k为常数，k

x

WO）的图象是双曲线，图象上的点（了,y）的横纵坐标的积是定值公即冲="

3.（3分）某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆

的影长为12米，则该旗杆的高度是（）

A.10米B.12米C.14.4米D.15米

【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.

【解答】解：：同一时刻物高与影长成正比例.

.M.8：1.5=旗杆的高度：12

旗杆的高度为14.4米

故选：C.

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出

方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想.

4.（3分）已知x=l是一元二次方程2=0的一个解，则根的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】把x=l代入方程无2+7加-2=0得到关于m的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：把x=l代入方程-2=0得：

1+m-2=0,

解得：m=l,

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键.

5.（3分）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为1：3,则两三角形的面积比为（）

A.2：3B.1：3C.1：9D.1：73

【考点】S7：相似三角形的性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答.

【解答】解：•••相似三角形对应高的比等于相似比，

，两三角形的相似比为1：3,

两三角形的面积比为1：9.

故选：C.

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比.

6.（3分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同,

分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（）

A.1B.1C.LD.L

3456

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】先求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式

计算即可.

【解答】解：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，

白白；其中红红的有2种，

所以同时摸到红球的概率是2=1.

63

故选：A.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点

34

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】在直角三角形AC。中，根据正切的意义可求解.

CD3

故选：B.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义.将角转化到直角三角形中是解答的关键.

8.（3分）如图，/1〃/2〃屈直线a，b与11、h、七分别相交于A、B、C和点。、E、F,

A.9B.10C.2D.15

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据平行线分线段成比例可得胆=理，代入计算即可解答.

ACDF

【解答】解：

•AB-DEpn2一6

ACDF5DF

解得：DF=15,

：.EF^15-6=9.

故选：A.

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是

解题的关键.

9.（3分）已知关于x的方程a/+2x-2=0有实数根，则实数。的取值范围是（）

A.-—B.aW-LC.”2-上且4/0D.a>-__S.a^O

2222

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】当时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得△=22-4OX(-2)

=4(1+2。)20,然后解不等式；当a=0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案

即可.

【解答】解：当时，是一元二次方程，

•••原方程有实数根，

.•.△=22-4aX(-2)=4(l+2a)20,

--；

2

当〃=0时，2x-2=0是一元一次方程，有实数根.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程a?+bx+c=O(a#0,a,b,c为常数)的根的判别式

A=b2-4ac.当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数

根；当△<(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.进行分类讨论是解题的

关键.

10.(3分)某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,

设平均每次增长的百分数为x,那么x应满足的方程是()

Ar=40%+10%

,2-

B.100(1+40%)(1+10%)=(1+无)2

C.(1+40%)(1+10%)=(1+x)2

D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2

【考点】1G：有理数的混合运算；AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】设平均每次增长的百分数为x,根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%,

第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100

元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后

即可得到答案.

【解答】解：设平均每次增长的百分数为尤，

:某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,

，商品现在的价格为：100(1+40%)(1+10%),

.某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为尤，

商品现在的价格为：100(1+龙)2,

：.100(1+40%)(1+10%)=100(1+无)2,

整理得：(1+40%)(1+10%)=(1+x)2,

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等

量关系，列出一元二次方程是解题的关键.

11.(3分)如图是二次函数>="2+法+。QW0)的图象，根据图象信息，下列结论错误的

A.abc<0B.2a+b=0C.4a-2b+c>0D.9a+3b+c=0

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【解答】解：(A)由图象可知：a<0,c>Q,

对称轴x=_L>0,

2a

：.b>0,

abc<0,故A正确；

(B)由对称轴可知：—L=l,

2a

.•.2〃+b=0,故正确；

(C)当％=-2时，y<0,

••・4〃-20+cV0,故C错误；

(D)(-1,0)与(3,0)关于直线x=l对称，

・・・9〃+3b+c=0,故。正确；

故选：C.

【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中

等题型.

12.（3分）如图，A、C是反比例函数＞=红（尤＞0）图象上的两点，B、。是反比例函数

X

＞=丝（尤＞0）图象上的两点，已知AB〃C£）〃y轴，直线A3、CD分别交x轴于£、F,

x

根据图中信息，下列结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】532：函数及其图像.

【分析】设EQ,0）,F（6,0）,由A、B、C纵横坐标积等于4可确定a,b的数量关

系，从而说明各个结论的正误.

【解答】解：设£（a,0）,F（b,0）,则3。=6=心，-4a=-DF，b=kz，

：.DF=1,上=_二故①②正确；

3k24

1+-^-

••CD=CF+DF二，J

・-=7亏

...③正确；

..AE^_CF_1__3

'EB^4'DF^T^

~3

...④正确，

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，理解运用人的几何意义是解答此题的关键.

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）二次函数-4.r+4的顶点坐标是（2,0）

【考点】H3：二次函数的性质.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题.

【解答】解：'.'y—x2-4x+4=（x-2）2,

.,•抛物线的顶点坐标为（2,0）.

故答案为（2,0）.

【点评】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，对称轴方程

和二次函数的增减性.

14.（3分）如图，O是坐标原点，菱形。4BC的顶点A的坐标为（3,4）,顶点C在无轴

的正半轴上，则/AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=L工.

【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；L8：菱形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】延长A4交y轴于则BD±y^,依据点A的坐标为（3,4）,即可得出B（8,

4）,再根据/AOC的角平分线所在直线经过点8,即可得到函数关系式.

【解答】解：如图所示，延长A4交y轴于则mL轴，

:点A的坐标为（3,4）,

.,.AD=3fOD=4f

：.AO=AB=5f

・・・5。=3+5=8,

：.B（8,4）,

设NAOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx,

・・,菱形048。中，NAOC的角平分线所在直线经过点'

，4=8怎即k=—,

2

・・・ZAOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=L,

2

【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得

出B点坐标是解题关键.

15.（3分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼。E,在小楼的顶端

D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B,C,E

在同一水平直线上）.已知AB=40机，DE=10m,则障碍物8,C两点间的距离为（30

-10Vj）m.（结果保留根号）

□

□

□

□

□

□

□

□

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】过点。作DF1AB于点F,过点C作CHLDF于点H,则DE=BF=CH=10m,

根据直角三角形的性质得出DF的长，在RtZkCAE中，利用锐角三角函数的定义得出CE

的长，根据CE即可得出结论.

【解答】解：过点D作DFLAB于点F,过点C作CHA.DF于点H.

A

在RtZXA。尸中，AF=AB-BF=30m,NA。/=45°,

：.DF=AF=30m.

在RtZkCDE中，DE=10m,ZDCE=30°,

：.CE=DE=A£_=IO7S(m),

tan300V3_、

3

：.BC=BE-CE=(30-10-73)m.

答：障碍物8,C两点间的距离为(30-10«)m.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构

造出直角三角形是解答此题的关键.

16.(3分)如图，点£是矩形ABC。的一边的中点，BFLCE于F,连接AF；若AB

=4,AD=6,贝Isin/AFE=刍.

一5一

【考点】LB：矩形的性质；T7：解直角三角形.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形；

55E：解直角三角形及其应用.

【分析】延长CE交54的延长线于点G,由题意可证可得AG=CD=

4,根据直角三角形的性质可得由勾股定理可求CG=10,即可求sinN

AEE的值.

【解答】解：延长CE交3A的延长线于点G,

・・•四边形A5CD是矩形，

J.AB//CD,AB=CD=4,AD=BC=6f

：.ZG=ZGCD,SLAE=DEA,ZAEG=ZDEC

：.AAGE^ADCE(A4S)

：.AG=CD=4,

：.AG=ABf_aBFLGF,

：.AF=AG=AB=4

：.ZAFE=ZAGF,

,：BG=AG^-AB=8,BC=6

•••GC=V^?no

sinNAFE=sinNAGF=区=旦

GC5

故答案为：2

5

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角

三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8

分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）

17.（5分）计算：tan45°-tan260°+sin30°-J5cos30°.

【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】11：计算题.

【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可

【解答】解：原式=1-2+1-73-^

=i-3+上-A

22

=-3

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键.

18.（6分）解方程：2（无-3）2=x-3.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题.

【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程移项得：2（x-3）2-（x-3）=0,

分解因式得：（x-3）（2x-7）=0,

可得尤-3=0或2元-7=0,

解得：xi—3,X2—3.5.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题

的关键.

19.（7分）如图，四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片，它们的背面完全相同，现

把它们洗匀，背面朝上放置后，开始游戏.游戏规则如下：

连摸三次，每次随机摸出一张卡片，并翻开记下卡片上的数字，每次摸出后不放回，如

果第三次摸出的卡片上的数字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间，则游戏

胜出，否则，游戏失败.问：

（1）若已知小明第一次摸出的数字是4,第二次摸出的数字是2,在这种情况下，小明

继续游戏，可以获胜的概率为1.

—2—

（2）若已知小明第一次摸出的数字是3,求在这种情况下，小明继续游戏，可以获胜的

概率（要求列表或用树状图求）

0000

【考点】X3：概率的意义；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）依据第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3,其中摸到3能获胜，即可得

到小明继续游戏可以获胜的概率；

(2)依据小明第一次摸出的数字是3,画出树状图，即可得到6种等可能的情况，其中

第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况，进而得出小明获胜的概率.

【解答】解：(1)小明第一次摸出的数字是4,第二次摸出的数字是2,在这种情况下，

小明继续游戏，第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3,其中摸到3能获胜，

可以获胜的概率为上，

2

故答案为：1；

2

(2)画树状图如下:

所有可能出现的结果

(3,1,2)

(3,1,4)

(3,2,1)

(3,2,4)

(3,4,1)

(3,4,2)

共有6种等可能的情况，其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况：(3,1,

2),

则P(小明能获胜)=1.

6

【点评】此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用，当有两个元素时，

可用树形图列举，也可以列表列举.利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键.

20.(8分)如图，E、P是正方形ABC。对角线AC上的两点，且连接BE、

DE、BF、DF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形：

(2)求tan/AfD的值.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质；LE：正方形的性质;

T7：解直角三角形.

【专题】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）连接3。交AC于点。，根据正方形的性质得到OA=OC,OB=OD,AC

LBD,证明0E=。凡得到四边形8EZ小是平行四边形，根据菱形的判定定理证明；

（2）根据正方形的性质得到0D=30R根据正切的定义计算，得到答案.

【解答】（1）证明：连接BD交AC于点。，

•..四边形ABC。是正方形，

：.OA=OC,OB=OD,SLACLBD,

'：AE^CF,

：.OA-AE^OC-CF,即OE=OF,

又,：OB=OD,

四边形BEQP是平行四边形，

XVAC±BD,

平行四边形3即尸是菱形；

（2）解：'：EF^20F,EF=CF,

：.CF=2OF,

：.OC=3OF,XOD=OC,

：.0D=30F,

在正方形ABCD中，AC±BD,

：.ZDOF=90°,

在RtZV）O尸中，tanNAF£）=毁=3.

OF

【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、正切的定义，掌握正方形的四条边

相等、四个角相等是解题的关键.

21.（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元

/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每

天获得的利润最大？最大利润是多少？

【分析】(1)先利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W,即W=(x-90)(-x+170),然后根

据二次函数的性质解决问题.

【解答】解：(1)设y与x之间的函数关系式为>=依+6,

根据题意得「20k+b=50,解得(k=-l,

ll40k+b=30lb=170

与尤之间的函数关系式为y=-x+170；

(2)W=(x-90)(-x+170)

2

=-x+260x-1530,

•・,W=-X2+260X-1530=-(x-130)2+1600,

而a--l<0,

当尤=130时，W有最大值1600.

答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元.

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=没件

的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，

一定要注意自变量x的取值范围.

22.(9分)如图，点尸是反比例函数y=-工殳(x<0)图象上的一动点，朋_Lx轴于点A,

x

在直线y=心上截取0B=B4(点B在第一象限)，点C的坐标为(-2,2«),连接

AC、BC、OC.

(1)填空：0C=4,ZBOC=60°；

(2)求证：△AOCs/XcOB；

(3)随着点尸的运动，NAC2的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变,

则求出它的大小.

【考点】GB：反比例函数综合题.

【专题】537：函数的综合应用.

【分析】(1)过点C作CE±x轴于点E,过点B作BFLx轴于点F,由点C的坐标可得

出OE,CE的长度，进而可求出OC的长度及/AOC的度数，由直线OB的解析式可得

出/BOB的度数，再利用/BOC=180°-NAOC-/BOF即可求出/BOC的度数；

(2)由(1)可知/AOC=/BOC,由点尸是反比例函数y=-弛(x<0)图象上的一

X

动点，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出B4・OA=16,结合OB=PAROC=4f

可得出处=里，结合NAOC=ZBOC即可证出△AOCs△COB；

0COB

(3)由△AOCS/^COB利用相似三角形的性质可得出NCAO=/BC。，在△AOC中，

利用三角形内角和定理可求出NCAO+/OCA=120°,进而可得出N2CO+NOC4=

120°,BPZACB=120°.

【解答】(1)解：过点C作轴于点E,过点8作BFLx轴于点R如图所示.

•..点C的坐标为(-2,2丘)，

：.OE=2,CE=2痣

.*.OC=^OE2+CE2=4,

tanNAOC=_2?_=

0E

/.ZAOC=60°.

,/直线OB的解析式为y=历，

ZBOF=6Q°,

...NBOC=180°-ZAOC-ZBOF=60°.

故答案为：4；60°.

(2)证明：VZAOC=60°,ZBOC=60°,

/AOC=ZBOC.

:点尸是反比例函数y=--(x<0)图象上的一动点,

x

：.PA-OA^16.

'JPA^OB,

，。比04=16=0(?,

即处=里，

OC0B

...AAOC^ACOB.

(3)解：/ACB的大小不会发生变化，理由如下：

△AOCsMOB,

J.ZCAO^ZBCO.

在△AOC中，ZAOC=6Q°,

：.ZCAO+ZOCA=120°,

：.ZBC0+Z0CA^12Q°,

BPZACB=120".

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、

相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理及

角的计算，找出OC的长及/30C的度数；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征、

OC=4及OB=PA,找出毁=匹；（3）利用相似三角形的性质及三角形内角和定理，

OC0B

找出/8CO+/OCA=120°.

23.（9分）如图，抛物线交x轴于A、8两点（点A在点8的左边），交y轴于点C,直线

y=-当+3经过点C与x轴交于点。，抛物线的顶点坐标为（2,4）.

4

（1）请你直接写出的长及抛物线的函数关系式;

(2)求点B到直线CO的距离；

(3)若点尸是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使

ZPDC=45°?请你求出此时的尸点坐标.

【专题】16：压轴题.

【分析】(1)求出点C,。的坐标，再用勾股定理求得CD的长；设抛物线为y=a(x-

2)2+4,将点C坐标代入求得m即可得出抛物线的函数表达式；

(2)过点B直线CD的垂线，垂足为H,在RSDH中，利用锐角三角函数即可求得

点B到直线CD的距离；

(3)把点C(0,3)向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E(3,7),可得△

OCD义AFEC,则为等腰直角三角形，且NEDC—45°,所以直线与抛物线

的交点即为所求的点P.

【解答】解：(1),/尸_1_x+3，

：.C(0,3),D(4,0),

VZCOD=90°,

CD=y]32+42=5-

设抛物线为y=a(x-2)2+4,将点C(0,3)代入抛物线，

得3=4<7+4,

-1

a='

,抛物线的函数关系式为产)2+4；

(2)解：过点8作BH_LCD于H,

由)2+4=0,

可得12,、2=6,

・,•点5的坐标为(6,0),

V0C=3,00=4,CD=5,

「・O8=6,从而BD=2,

在RtADHB中，

'：BH=BD-sinZBDH=孙sin/CD。=2X2上，

5-5

.•.点8到直线C£»的距离为g.

5

(3)把点C(0,3)向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E(3,7),

VCF=O£)=4,EF=0C=3,ZCFE=ZDOC=90°,

:.△OCD会AFEC,

；*NFCE=N0DC,EC=DC,

：.Z£CD=180°-CZFCE+ZOCD)=180°-(NODC+/OCD)=180°-90°=

90°,

...△DEC为等腰直角三角形，且/EDC=45°,

因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P.

由E(3,7),D(4,0),可得直线ED的解析式为：y=-7尤+28,

'y=-7x+28

由《19

y=—(x-2)+4

得］x=16一圣而(另一组解不合题意，已舍去.)

尸14俗-84

所以，此时尸点坐标为(16-2每，14739-84).

【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力

考点卡片

1.有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

2.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这X1，X2是一元二次方程ax+bx+c

=0QW0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

22

axi+bxi+c=0(aWO),ax2~+bx2^~c=0(aWO).

4.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

5.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△="-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程4X2+6X+C=0(aWO)的根与-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

6.由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找

出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，

即列出一元二次方程.

7.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=fcv+6；

(2)将自变量尤的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数>=区+"则需要两组无，y的值.

8.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数无（左为常数，左W0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值%,即孙=%；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在尤图象中任取■点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值因.

9.反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了

学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了

反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点

一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图

象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决问

题的一种好方法.

10.二次函数的性质

二次函数y=Q，+bx+c（〃70）的顶点坐标是（-上二，）,对称轴直线兀=-上

2a4a2a

二次函数（〃#0）的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线>=〃，+加计。（〃wo）的开口向上，xV-上-时，y随％的增大而减小;

2a