垂直平分线的性质

关于垂直平分线的性质

什么叫线段的垂直平线？线段垂直平分线的定义:经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。垂直平分线，简称“中垂线”。复习回顾第2页,共23页，2024年2月25日，星期天ABCDo∟∵CD是AB的垂直平分线（中垂线）∴OA=OB；CD⊥AB第3页,共23页，2024年2月25日，星期天

怎样作出线段的垂直平分线？（1）折纸法（2）过中点画垂线法（3）尺规作法探究新知第4页,共23页，2024年2月25日，星期天作法：1、分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F。

2、过点E、F作直线。 则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11）－１２ABEF图16-11尺规作法第5页,共23页，2024年2月25日，星期天1、为什么以“大于1/2AB长”为半径？２、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明

思考第6页,共23页，2024年2月25日，星期天O∟第7页,共23页，2024年2月25日，星期天ABPA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PMNC画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？归纳：由此你能得到什么规律？操作第8页,共23页，2024年2月25日，星期天命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。ABPMNCPA=PB

直线MN⊥AB,垂足为C,

且AC=CB.已知：如图，点P在MN上.求证：证明：∵MN⊥AB垂足为C

∴∠PCA=∠PCB

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB第9页,共23页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。符号语言,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).ABPMN文字语言：C∟第10页,共23页，2024年2月25日，星期天例题、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD＝10，则AD=

。2)若∠A＝50°，则∠ABD＝

。3)若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=

。学以致用第11页,共23页，2024年2月25日，星期天

高速公路AB

在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?L实际问题1实战演练第12页,共23页，2024年2月25日，星期天针对性训练1、如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD=__________cm；若PA=10cm，则PB=__________cm.1题图第13页,共23页，2024年2月25日，星期天2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A、1组B、2组C、3组D、4组针对性训练12第14页,共23页，2024年2月25日，星期天3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________。针对性训练第15页,共23页，2024年2月25日，星期天如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？图1作业：第16页,共23页，2024年2月25日，星期天已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分线OA=OC。求证：点O在BC的垂直平分线上。例题扩展ABCON证明：连结OB。

∵

ON是AB的垂直平分线（已知）

∴

OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵

OA=OC（已知）

∴

OB=OC（等量代换）

∴点O在BC的垂直平分线上。

（到线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）第17页,共23页，2024年2月25日，星期天

线段的垂直平分线已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：点P在AC的垂直平分线上;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：∵PA=PC∴点P在AC的垂直平分线上第18页,共23页，2024年2月25日，星期天例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90度，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B的度数。AEDBC第19页,共23页，2024年2月25日，星期天试一试已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB的垂直平线MN交AC于点D,BC=8厘米,

ΔBDC的周长20厘米.求:AB的长.ABCDMN已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.求证:点C在AD的垂直平分线上.ABCD8第20页,共23页，2024年2月25日，星期天已知：如图，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。做一做解:∵DE是AB的垂直平分线∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）∵△BCE周长=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周长-(CE+EB)=△BCE周长-AC=10cm第21页,共23页，2024年2月25日，星期天解:做一做已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求△PCD的周长。∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上，∴CA=CP(线段垂直平分线上的