专题16-复数的三角表示(解析版)

专题16复数的三角表示一、单选题1．下列各角不是复数的辐角的是A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册逆袭之路第七章【答案】C【分析】根据复数的模和辐角的含义求出模及辐角主值，从而得出结论．【解析】因为，，，所以辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，．所以当时，；当时，；当时，；故选C．【名师点睛】本题主要考查复数及其三角形式，计算出复数的模和辐角主值，是解答的关键，属于基础题．2．复数的辐角主值是A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册逆袭之路第七章【答案】D【分析】先求出复数的模，再根据辐角的含义求值．【解析】因为，，，所以辐角主值，故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的三角形式，属于基础题．3．复数的辐角主值是A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】B【分析】根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得．【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是．故选B．【名师点睛】本题考查辐角主值的求解，属基础题．4．将复数化成代数形式，正确的是A．4 B．-4C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，化简即可．【解析】，故选D．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可．5．A．1 B．-1C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】C【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可．【解析】，故选C．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题．6．A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可．【解析】，故选D．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题．7．A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】C【分析】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可．【解析】，故选C．【名师点睛】本题考查三角形式的除法法则，属基础题．8．A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】B【分析】先将2化为三角形式，再用除法法则计算即可．【解析】．故选B．【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将实数转化为三角形式的细节．9．已知复数满足，则的最大值为A． B．C． D．6【试题来源】2019届山东师范大学附属中学高考考前模拟（理）【答案】B【分析】设，，利用复数几何意义计算．【解析】设，由已知，，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故．故选B．【名师点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决．10．在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为A． B．C． D．【试题来源】西南名校联盟2020届333高考备考诊断性联考卷（二）（文）【答案】A【分析】设，根据三角函数的定义可求得、的值，进而可得出复数的值．【解析】设，由题意知，，，所以，故选A．【名师点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题．11．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”．若复数，则．A． B．1C． D．【试题来源】河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试（文）【答案】C【分析】先利用欧拉公式求出，然后再求其模【解析】由题意得，，所以，故选C.【名师点睛】此题考查了复数的三角形式及其运算，考查了复数的模，属于基础题．12．复数（i为虚数单位）的三角形式为A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册过关斩将第七章【答案】D【分析】复数的三角形式是，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合故选择．【解析】依题意得，复数对应的点在第四象限，且，因此，，结合选项知D正确，故选D．【名师点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．13．若复数（i为虚数单位），则为A． B．120°C．240° D．210°【试题来源】人教A版（2019）必修第二册过关斩将第七章【答案】C【分析】由求出对应值，即可求出答案．【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以．故选C．14．已知i为虚数单位，，，则A． B．C． D．【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可．【解析】，．故选D．【名师点睛】本题主要考查复数三角形式乘法运算法则，属于基础题．15．复数的三角形式是A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】A【分析】根据复数的三角形公式求解或利用定义直接求解即可．【解析】解法一：设复数的三角形式为，则，，可取，从而复数的三角形式为．解法二：，故选A【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式，属于基础题．16．复数的辐角主值为A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】D【分析】化简利用诱导公式化成标准形式再判断即可．【解析】，故复数z的辐角主值为．故选D【名师点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析，属于基础题．17．A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】C【分析】根据复数的基本运算求解即可．【解析】原式=．故选C．18．复数是方程的一个根，那么的值等于A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】B【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可．【解析】由题意得，，故选B.【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式的运算，属于基础题．19．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A．2i B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可．【解析】复数的三角形式是，向量对应的复数故选B【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算，属于基础题．20．A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】C【分析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出再整理为的形式．【解析】．故选C.【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题．21．A．3 B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】B【分析】先将和转化为代数形式，再求解．【解析】．故选B【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题．22．A． B．C． D．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】C【分析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可．【解析】．故选C．【名师点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题．23．已知，则A． B．C． D．【试题来源】天津市红桥区2019-2020学年第二学期高一期中考试【答案】D【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案．【解析】．故选．【名师点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题．24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的编号是A．①②③ B．②④C．①② D．①③【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A版2019）【答案】A【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项．【解析】因为，故，故①正确．，所以，，故③正确，④错误．而．故②正确，故选A．【名师点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．25．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是A．， B．C． D．【试题来源】辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】B【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值．【解析】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为．故选B．【名师点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题．26．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝A．1 B．0C．－1 D．1＋i【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【解析】由题意可知＝，故选C.27．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】D【分析】根据复数的三角形式求解即可．【解析】，-i的立方根为（其中），当时，得；当时，得；当时，得，故选D．28．已知复数满足，则的最大值为A． B．C． D．【试题来源】山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期中考试A【答案】C【分析】设，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值．【解析】由可设：，，（其中），当时，．故选．【名师点睛】本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题．29．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到．则的值为A． B．C． D．【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷【答案】C【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解．【解析】，，，所以复数在第二象限，设幅角为，，，故选C【名师点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键．二、多选题1．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【试题来源】山东省济南市2020年7月高一年级学情检测（期末）【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误．【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误．故选AC．【名师点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题．三、填空题1．复数的模是__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】3【分析】根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模．【解析】复数是三角形式，故的模是3．故答案为3．【名师点睛】本题考查由复数的三角形式，写出模的大小，属基础题．2．__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】将化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可．【解析】，故答案为．【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将纯虚数转化为三角形式的细节．3．复数化成三角形式为__________．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】【分析】利用复数的几何意义分析即可．【解析】如图，，，，故答案为．4．__________（用代数形式表示）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】【分析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出再整理为的形式．【解析】．故答案为．【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题．5．__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】【分析】先将6转化三角形式，再用复数的除法求解．【解析】．故答案为．【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题．6．复数的代数形式是__________．【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】【分析】根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算．【解析】．故答案为．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的化简，属基础计算题．7．__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】将代数形式的复数化为三角形式，再用乘法法则，即可求解．【解析】．故答案为．【名师点睛】本题考查复数的乘法，涉及代数形式和三角形式的相互转化，属基础题．8．__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】先将不是标准三角形式的复数化为标准形式，然后再用乘法法则计算，即可求得．【解析】．故答案为．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，注意将非标准三角形式化简为标准三角形式．9．__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算．【解析】=，故答案为．【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式．10．复数，则__________．【试题来源】辽宁省大连市普兰店区第一中学2019-2020学年高一5月线上教学质量检测【答案】【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可．【解析】，复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为．【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属于基础题．11．复数是方程的一个根，那么的值等于__________．【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】【分析】由题意转化条件得，再由复数三角形式的乘方法则即可得解．【解析】因为复数是方程的一个根，所以．故答案为．【名师点睛】本题考查了复数三角形式乘方法则的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．12．一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理．结合以上定理计算：__________．（结果表示为，的形式）【试题来源】江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二下学期期中【答案】【分析】根据棣莫弗定理计算即可．【解析】．故答案为．13．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第__________象限．【试题来源】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文）六模试题【答案】三【分析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为．判断点所在的象限，即得答案．【解析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为．点在第三象限，即表示的复数在复平面中位于第三象限．故答案为三．14．已知i为虚数单位，计算：__________．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】【分析】先把转化为，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案．【解析】原式．故答案为．【名师点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题．15．复数的辐角主值为__________．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可．【解析】因为，所以所以，所以复数z的辐角主值为．故答案为.【名师点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析，属于基础题．16．若复数满足，则的代数形式是__________．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】【分析】先写出的三角形式，再进行化简整理即可．【解析】设，则，所以，所以，解得．故答案为．17．已知复数满足，则的最大值是__________．【试题来源】河南省三门峡市外国语高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试【答案】【分析】设，则化简可得；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．【解析】设．则．，．当时，，所以，的最大值是；当时，，所以，的最大值是；当时，，所以，，．综上，的最大值是．故答案为．【名师点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．18．设为复数，且，当取得最小值时，则此时复数__________．【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（三）【答案】【分析】设复数的辐角为，将用表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得与的值，即可得复数．【解析】设复数的辐角为，所以，，所以，故答案为【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题．四、双空题1．欧拉公式(为虚数单位)是有瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对表示的复数，则等于_________；等于_________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】1【解析】由欧拉公式，可得，所以，，故答案为1；．【名师点睛】本题考查复数的模的计算和复数的除法运算，属于中档题．2．欧拉公式（i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．请计算：__________；猜想：__________（填“是”或“不是”）虚数．【试题来源】浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷【答案】不是【分析】由欧拉公式（i为虚数单位）直接计算即可【解析】由欧拉公式可知，，因为，所以为实数，不是虚数，故答案为；不是五、解答题1．求证：（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册逆袭之路第七章2【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证；【解析】证明：（1）左边右边，所以原等式成立．（2）左边，所以原等式成立．【名师点睛】本题考查复数三角形式的乘法运算，证明复数等式，属于基础题．2．把下列复数的代数形式化成三角形式．（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】（1）（2）【分析】（1）先根据模公式求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式．（2）先根据模公式求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式．【解析】（1）．因为与对应的点在第四象限，所以，所以．（2）．因为与对应的点在第四象限，所以，所以．【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题．3．把下列复数的三角形式化成代数形式．（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】（1）（2）【分析】（1）分别求出再整理为的形式．（2）分别求出再整理为的形式．【解析】（1）．（2）．【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题．4．莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家．岁时入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家．其中之一就是他发现并证明欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系．若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数单位；以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：（1）试将复数写成（、，是虚数单位）的形式；（2）试求复数的模．【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据欧拉公式可将复数表示为一般形式；（2）根据欧拉公式将复数表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模．【解析】（1）根据欧拉公式可得；（2）由题意可知，因此，．【名师点睛】本题考查复数的三角表示，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题．5．化简：（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册逆袭之路第七章2【答案】（1）（2）【分析】将复数化为三角形式，按照复数三角形式的除法法则，即可求解．【解析】（1）原式．（2）原式【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，属于基础题．6．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若，求的值．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册过关斩将第七章复数本章达标检测【答案】（1）第二象限，理由见解析；（2）．【分析】（1）根据复数的欧拉公式将复数表示为一般形式，判断实部与虚部的符号，即可判断出该复数在复平面内对应的点所在的象限；（2）由题意可知，复数为负实数，由此可得出，利用同角三角函数的平方关系即可求出的值．【解析】（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下：在复平面内对应的点的坐标为，由于，因此，，点在第二象限，故复数在复平面内对应的点位于第二象限；（2），为负实数（虚数无法比较大小），解得．【名师点睛】本题考查复数的新定义“欧拉公式”，解题时要结合“欧拉公式”将复数化为一般形式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转30°，所得向量对应的复数为，求复数（用代数形式表示）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】【分析】把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转30°得到，再利用复数的除法求解．【解析】由题意得．【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题．8．复数的代数形式与三角形式互化：（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】（1）．（2）【分析】（1）先求得模长，以及辐角主值，再写出三角形式即可；（2）将三角形式的复数进行化简整理即可．【解析】（1），所以．（2）所以=．【名师点睛】本题考查复数的三角形式与代数形式之间的转化，属基础题．9．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．（1）；（2）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】（1）不是，（2）不是，．【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可．【解析】（1）不是．（2）不是．．【名师点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式．10．已知复数的模为2，实部为，求复数的代数形式和三角形式．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】或；或．【分析】根据模长的求解，即可得到复数的虚部，再写出代数形式，然后化为三角形式．【解析】先求代数形式，再求三角形式．由题，可设．因为，所以，解得，所以或．化为三角形式，得或．【名师点睛】本题考查复数的三角形式和代数形式，属基础题．11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可．【解析】与所得向量对应的复数为=．12．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）．【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可．【解析】与所得向量对应的复数为．13．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；【解析】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝．．（2），复数的模为2，辐角的主值为θ＝，．14．若，，（为实数），为虚数单位．（1）求复数；（2）求的取值范围．【试题来源】黑龙江省绥化市安达市第七中学2020-2021学年高二上学期9月月考【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设，根据复数相等，得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出，利用正弦函数的值域可求出的取值范围．【解析】（1）设，则，，即，所以，解得，；（2），，，，故的取值范围是．【名师点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题．15．计算：．【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】【分析】利