江苏省扬州市仪征市大仪中学2023-2024学年八年级上学期第一次阶段性小练习数学试题

2023-2024学年大仪中学八年级第一次数学小练习一、选择题（每小题3分，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误．

故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A.90° B.105° C.120° D.135°【答案】D【解析】【分析】根据对称性可得,,即可求解.【详解】观察图形可知,所在的三角形与3所在的三角形全等,

,

又,

.故选D.【点睛】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题.3.如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是A.80°或50° B.50°或20° C.80°或20° D.50°【答案】A【解析】【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【详解】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，

①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，

②当这个角80°是顶角，

设等腰三角形的底角是x°，

则2x+80°=180°，

解可得，x=50°，

即该等腰三角形的底角的度数是50°；

故选A．【点睛】考查了等腰三角形性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．4.等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（）A.16 B.27 C.16或27 D.21或27【答案】B【解析】【分析】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，三角形三边关系，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．【详解】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，周长；②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．故选：B．5.如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【答案】B【解析】【分析】可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果．【详解】解：以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形，，和原三角形全等．以为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及格点的概念，熟练掌握三条对应边分别相等的三角形是全等三角形是解题的关键．6.如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，交OA于点E，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为（）cm2．A.40 B.30 C.20 D.10【答案】C【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，得OB=AB=10cm，根据角平分线的性质得点C到OM的距离等于CA长为4cm，进而即可求解．【详解】∵BE是OA的垂直平分线，∴OB=AB=10cm．∵OP是∠MON的角平分线，点C在OP上，CA⊥ON，∴点C到OM的距离等于CA长为4cm．∴△OBC面积=×10×4=20cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质，角平分线的性质定理是解题的关键．7.如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝115°，则∠EAF的大小为（）A.45° B.50° C.60° D.65°【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可．【详解】解：，，垂直平分，垂直平分，，，，，，，故选．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8.如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，再由角平分线的性质即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误．【详解】解：和是的轴对称图形，，，，，故①正确．，由轴对称的性质得，，又，，故②正确．由折叠的性质可得：，∴，，∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等，∴平分，故③正确．．在和中，，，，，，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____．【答案】E6395【解析】【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成镜面对称，则该车牌照的部分号码为E6395．故答案为：E6395．【点睛】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解题的关键．10.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________．【答案】全等三角形的对应角相等【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据作图，利用即可得到三角形全等即可．【详解】解：由作图可知：，∴，∴；故答案为：全等三角形的对应角相等．11.一个三角形的三边为6、10、x,另一个三角形的三边为、6、12,如果这两个三角形全等,则=_______.【答案】22【解析】【分析】根据全等三角形的性质即可求解.【详解】∵一个三角形的三边为6、10、x,另一个三角形的三边为、6、12,且两个三角形全等∴y=10,x=12，∴x+y=22,故填：22.【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应边相等.12.如图,△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于_____cm.【答案】20【解析】【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等角对等边可得MO＝MB，NO＝NC．从而根据△AMN的周长求出AB＋AC，问题得解．【详解】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC．又∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC．∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝MB．同理可得：NO＝NC．∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝12cm，∴△ABC的周长为：AB＋AC＋BC＝12＋8＝20cm.故答案为20.【点睛】本题考查了等角对等边的性质、角平分线的性质和平行线的性质；进行有效的线段的等量代换是正确解答本题的关键．13.如图，，，若，，则D到AB的距离为________。

【答案】4.【解析】【分析】作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案．【详解】解：作DE⊥AB于E，

∵BC=10，BD=6，

∴CD=BC-BD=4，

∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=4，

故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．14.直角三角形斜边上的中线和高分别为6和5，则这个直角三角形的面积为________．【答案】30【解析】【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边长为，再根据三角形的面积公式可得答案．【详解】解：中，斜边上的中线为6，斜边长为，斜边上的高为5，的面积为：，故答案为：30．15.如图,点P是直线AC外的一点,点D,E分别是AC,CB两边上的点,点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,则线段P1P2的长为_____.【答案】4.5【解析】【分析】利用轴对称图形的性质得出PE=EP1，PD=DP2，进而利用DE=4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．【详解】∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE=EP1,PD=DP2，∵PE=2.5cm，PD=3cm，DE=4cm，∴P2D=3cm,EP1=2.5cm，即DP1=DE−EP1=4−2.5=1.5(cm)，则线段P1P2的长为：P1D+DP2=1.5+3=4.5(cm).故答案为4.5.【点睛】此题主要考查线段的长度求解，解题的关键是熟知轴对称的性质.16.如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则________．【答案】5【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．【详解】解：，，，，，，，，在和中，，，，．故答案为：5．17.如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动__________秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．【答案】0或4或8或12【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法．此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在射线上，再分别分两种情况或进行计算即可．【详解】解：①当P在线段上，时，与全等，∵，∴，∴，∴点P的运动时间为（秒）；②当P在线段上，时，与全等，这时，，因此时间为秒；③当P在射线上，时，与全等，∵，∴，∴，∴点P的运动时间为（秒）；④当P在射线上，时，与全等，∵，∴，∴，点P的运动时间为（秒），故答案为：0或4或8或12．18.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°．【答案】60【解析】【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案．【详解】解：如图，连接，是等边三角形，是的中点，，，，是等边的边上的高，垂直平分，，，由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为，此时有，则，故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键．三、解答题：（本大题共10小题，共96.0分）．19.如图,已知△EFG≌△NMH(1)求证:FH=GM(2)若FH=1.1cm,HM=3.3cm,求HG的长度.【答案】(1)见解析;(2)2.2cm.【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求解；（2）根据全等三角形的性质得到EF=MN，再根据线段的和差关系进行求解.详解】(1)∵△EFG≌△NMH,∴FG=MH,∴FG-HG=MH-HG∴FH=GM（2）∵EF=MN,EF=2.1cm,∴MN=2.1cm；∵FG=MH,FH+HG=FG,FH=1.1cm,HM=3.3cm,∴HG=FG-FH=HM-FH=3.3-1.1=2.2cm．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形对应边相等.20.如图，点B，E，C，F在一条直线上，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用平行的性质得出，再利用判定，再根据全等三角形的性质求解即可．【详解】证明：∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【答案】详见解析.【解析】【分析】因为∠C=90°，DE⊥AB，所以∠C=∠DEB，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据SAS判定△DCF≌△DEB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE．在△DCF和△DEB中，∵，∴△DCF≌△DEB（SAS），∴BD=DF．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22.如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.求证:(1)△BCD≌△BAE;(2)△EBD是等边三角形.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据HL即可证明△BCD≌△BAE；（2）根据等腰三角形的性质得到D为AB中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BD，再根据等边三角形的判定定理即可求解.【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=BC∵CD⊥AB,∠AEB=90°∴∠CDB=∠AEB=90°在Rt△BCD和Rt△BAE中，∴△BCD≌△BAE（2）∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB∴D为AB中点∴ED=AB=DB∵△BCD≌△BAE∴∠EBD=∠DBC=60°∴△EBD是等边三角形【点睛】此题主要考查等边三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等边三角形的性质及直角三角形的性质.23.已知：如图，P是平分线上的一点，垂足分别为C，D．求证：（1）（2）是的垂直平分线【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．（1）根据角平分线的性质得到，再判定，得出；（2）由（1）得到点在的垂直平分线上，再根据，可得点在的垂直平分线上，进而得到是的垂直平分线．【小问1详解】证明：是的平分线上一点，，，．在和中，，，；【小问2详解】证明：，点在的垂直平分线上．又，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线．24.如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）①作线段AB的垂直平分线MN；②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6【解析】【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN即可；②利用尺规作出∠CAB的角平分线，交MN于点P，点P即为所求；（2）直线MN与BC的交点即为点Q，最小值为BC的长．【详解】解：（1）①如图，直线MN即为所求；②如图，点P即为所求；（2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，故答案为：6．【点睛】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，以及轴对称的性质，最短路径问题，正确掌握各作图方法及轴对称的性质是解题的关键．25.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．(1)求证AD=ED；(2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．

（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．【详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线∴∠DAE=∠BAE，∵DE∥AB∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE-；(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线∴AE⊥BC∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，∵∠CAE=∠DEA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∴AD=DE=CD=3，∴AC=6.故答案为(1)证明见解析；(2)6.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．26.如图，在长方形中，，把长方形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．求证：（1）（2）是等腰三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．（1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由“”可证；（2）由全等三角形性质可得，可得，即可证是等腰三角形．【小问1详解】证明：四边形为矩形，，根据翻折性质可得，，，，，，且，．【小问2详解】证明：，，，是等腰三角形．27.我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．（1）若，（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；（3）探究：画∠AOB，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．【答案】（1）相等，理由见解析（2）相等，理由见解析（3）相等，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解；（2）PE＝PF，分两种情况，当时，证明，可得PE＝PF；当PE与OA不垂直时，作于点M，于点N，先证明得PM＝PN，再证明，可得PE＝PF；（3）在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，先证明，可得，PG＝PE，再由同角的补角相等证明，则PG＝PF，得PE＝PF．【小问1详解】解：相等；理由如下：∵OC平分∠AOB，，，∴PE＝PF．【小问2详解】解：PE＝PF，理由如下：当时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴，∴PE＝PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴，∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴，∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．【小问3详解】解：PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴，∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∵，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法、角平分线的性质定理等，熟练掌握角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点向角两边作垂线构造辅助线的方法，是解决本题的关键．28.阅读（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，A