江苏省南京市鼓楼区南京民办求真中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区民办求真中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共6小题；共18分）1.如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【详解】解：A、不是轴对称图形;B、是轴对称图形;C、不是轴对称图形;D、不是轴对称图形;故选：B．2.下列结论中不正确的是（）A.两个关于某直线对称的图形一定全等B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C.两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D.有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等【答案】B【解析】【分析】根据轴对称性质对A、C进行判断；根据轴对称的定义对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对D进行判断．【详解】解：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，所以A选项的结论正确；

B、对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，所以B选项的结论错误；

C、两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，所以C选项的结论正确；

D、有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等，所以D选项的结论正确．

故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．3.如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝4cm，那么△BEC的周长为（）A.5cm B.4cm C.9cm D.8cm【答案】C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可得AE=CE，然后由题意及三角形周长求解即可．【详解】解：DE是AC边垂直平分线，∴AE=CE，AB＝5cm，BC＝4cm，AB=AE+BE，∴．故选C．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质定理是解答本题的关键．4.如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．【详解】∵点P为三边垂直平分线的交点，∴，∴，，，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A.△ABC的周长 B.△AFH的周长C.四边形FBGH的周长 D.四边形ADEC的周长【答案】A【解析】【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．6.如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质．由于为定值，所以当点在上时，点到点的距离最大，即可求出答案．【详解】解：，，，由折叠性质知，，的长度为定值，当点在上时，点到点的距离最大，如图，由折叠知，，，，故选：D．二、填空题（共10小题：共20分）7.小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是_________．【答案】20：01【解析】【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【详解】∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是20：01．故答案为：20：01．【点睛】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．8.一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________．【答案】1【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．【详解】解：∵两个三角形全等，

∴x=6，y=5，

∴x-y=6-5=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．9.如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使和全等．【答案】，答案不唯一【解析】【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．详解】∵和中，∴，∵，∴，∴添加，在和中，∴，故答案为：答案不唯一．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL等．10.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则______°．【答案】23【解析】【分析】本题考查了旋转性质，以及三角形内角和，先由旋转性质得，，结合，算出，运用角的和差运算，即可作答．【详解】解：∵绕点A顺时针旋转78°得到，∴，∵∴∴故答案为：23．11.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______．【答案】30【解析】【分析】如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30，故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键．12.如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为__．【答案】20°##20度【解析】【分析】在△ABC中，求出∠B+∠C=100°，根据DE、FG是AB、AC的垂直平分线，得到AE=BE，AG=CG，进而有∠B=∠BAE，∠C=∠CAG，则有∠BAE+∠CAG=100°，根据∠BAE=∠BAG+∠GAE，∠CAG=∠CAE+∠GAE，可得∠BAG+∠GAE+∠CAE+∠GAE=100°，则问题即可得解．【详解】∵∠BAC=80°，∴在△ABC中，有∠B+∠C=180°-80°=100°，∵DE、FG是AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AG=CG，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG，∵∠B+∠C=100°，∴∠BAE+∠CAG=100°，∵∠BAE=∠BAG+∠GAE，∠CAG=∠CAE+∠GAE，∴∠BAG+∠GAE+∠CAE+∠GAE=100°，∵∠BAC=∠BAG+∠GAE+∠CAE=80°，∴∠BAG+∠GAE+∠CAE+∠GAE=80°+∠GAE=100°，∴∠GAE=20°，故答案为：20°．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、三角形的内角和等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的基础．13.一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，______．【答案】126【解析】【分析】题目主要考查角度的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．根据光线反射定律，可知入射光线、反射光线与平面镜的夹角相等，结合图形及各角之间的关系求解即可．【详解】解：如图：根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，在四边形中，，，，，∴．故答案为：126．14.如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．【详解】解：如图所示：在上取点，使，∵,∴,∴.在中，．过点C作，垂足为H．，，∵，∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长，的值最小为，故答案为：．15.如图，在中，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，当与全等时，的长为______．【答案】5或2.5或6【解析】【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得的长．本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．【详解】解：当P在上，Q在上时，∵∴，∵于E，于F．∴，∴，若，则，∴解得，∴当P在上，Q在上时，即重合时，则，由题意得，，解得，∴，当Q在上，且点Q与A重合，点P运动到上时，．综上，当与全等时，满足条件的的长为5或2.5或6．故答案为5或2.5或6．16.在直角三角形中有一个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．”如图，在中，，，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为______．【答案】66【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．过点作，且使，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由勾股定理可求出，即可解决问题．【详解】解：过点作，且使，连接，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．故答案为：66．三、解答题（共8小题；共62分）17.操作题：如图，在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点画一条线段，使它与AB、CD组成轴对称图形．（画出所有可能）【答案】见解析．【解析】【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题关键是掌握轴对称图形的性质．18.如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；（1）如图1，在边上寻找一点，使；（2）如图2，在边上寻找一点，使得．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）作AC的垂直平分线，交BC于点N即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】此题考查作图问题，关键是根据作一个角等于已知角和线段垂直平分线的作法解答．19.如图，已知．求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，解题的关键找准全等三角形的对应边角．（1）先由平行线的性质得，从而利用判定（2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论【小问1详解】证明：，，，，即，在和中，，【小问2详解】，，，20.定理：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．请写已知、求证，并证明．已知：________求证：________证明：【答案】△ABC中，AB=AC；∠B=∠C；证明见解析【解析】【详解】试题分析：充分理解题意，利用等腰三角形的性质，要根据题意画图，添加辅助线来证明结论．试题解析：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.故答案为△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C.证明：作AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵AB＝AC、AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴∠B＝∠C.21.如图，E在上，，，，F是的中点．（1）求证：；（2），，求的度数．【答案】（1）见解析（2）40°【解析】【分析】（1）由、，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明；（2）由，，得，则，，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理得．【小问1详解】证明：在和中，，∴，∴，∵F是的中点，∴．【小问2详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的度数是．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明是解题的关键．22.如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：∠CEA=∠DEA．【答案】详见解析【解析】【分析】首先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得出∠CAB=∠DAB，进一步利用“SAS”证得△ACE≌△ADE，证得∠CEA=∠DEA．【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），∴∠CAB=∠DAB，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠CEA=∠DEA．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定（HL和SAS），解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定（HL和SAS）.23.如图，在中，是三角形的中线，点F在中线上，且，连接并延长交于点E，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等