2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)-文档

2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a＋b＝2，EQ\F((1－a)2,b)＋EQ\F((1－b)2,a)＝-4,则ab的值为()(A)1(B)-1(C)-eq\f(1,2)(D)eq\f(1,2)2.已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为()(A)5(B)6(C)7(D)83.方程│x2－1│＝(4－2eq\r(\s\do1(3)))(x＋2)的解的个数为()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有()(A)5组(B)7组(C)9组(D)11组5.如图，菱形ABCD中，AB＝3，DF＝1，∠DAB＝60°，∠EFG＝15°，FG⊥BC，则AE＝()(A)1＋eq\r(\s\do1(2))(B)eq\r(\s\do1(6))(C)2eq\r(\s\do1(3))－1(D)1＋eq\r(\s\do1(3))6.已知EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y＋z)＝EQ\F(1,2),EQ\F(1,y)＋EQ\F(1,x＋z)＝EQ\F(1,3),EQ\F(1,z)＋EQ\F(1,x＋y)＝EQ\F(1,4)，则EQ\F(2,x)＋EQ\F(3,y)＋EQ\F(4,z)的值为()GABCDEF1(B)eq\f(3,2)(C)2(D)eq\f(5,2)GABCDEF二．填空题1.在△ABC中，已知∠B＝2∠A，BC＝2，AB＝2＋2eq\r(\s\do1(3))，则∠A＝．2.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b＋2c＝．3.能使2n＋256是完全平方数的正整数n的值为．4.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE＝EQ\F(3,4)CE，AC＝8eq\r(\s\do1(5))，D为EF的中点，则AB＝．OOABCDEF第二试1.已知三个不同的实数a,b,c满足a－b＋c＝3，方程x2＋ax＋1＝0和x2＋bx＋c＝0有一个相同的实根，方程x2＋x＋a＝0和x2＋cx＋b＝0也有一个相同的实根．求a,b,c的值．2.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，对角线AC,BD交于点S，且DS＝2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD＝30°；（2）AD＝DC．PPABCDS3.已知m,n,p为正整数，m＜n．设A(－m,0)，B(n,0)，C(0,p)，O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2＋OB2＋OC2＝3(OA＋OB＋OC)（1）证明：m＋n＝p＋3；（2）求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1.15°2.23.114.24第二试1.解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，则两式相减，可解得．设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以．又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。又，两式相减，得．若，则方程①无实根，所以，故．于是．又，解得．2.证明（1）由已知得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．（2）作于点，则．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，MNPSABCD又，所以MNPSABCD3.解（1）因为，，所以，即．由，得．又，从而有，即．（2）由，知是关于x的一元二次方程=1\*GB3①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或