数学归纳法-张文根

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数学归纳法上课人：张文根时间：2022年11月19日

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学习目标1、明白数学归纳法的递推原理2、合理选择数学归纳法证明问题时的第一个取值3、明白由n=k成立推导n=k+1成立时，代数式是如何改变的4、证明不等式时，留意数学归纳法和其它方法的综合应用。

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课前热身nn+12n+11、求证：12+22+…+n2=.6证明(1)当n=1时，左边=1,11+12+1右边==1,左边=右边，等式成立；6(2)假设n=k(k∈N*)时，等式成立，kk+12k+1222即1+2+…+k=,6那么当n=k+1时，kk+12k+122221+2+…+k+(k+1)=+(k+1)26k+1[k+1+1][2k+1+1]=6所以当n=k+1时，等式仍旧成立.

由(1)、(2)可知，对于n∈N*等式恒成立.

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2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为

1n(n-3)条时,第一步检验n等于(C2(A)1(B)2(C)3(D)0

)

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3.用数学归纳法证明1+2+3+…42nn+n2=,那么当n=k+1时左端2

应在n=k的基础上加上(

D2

)

(A)k+12

2

(B)(k+1)

(C)(k1)4(k1)2(D)(k+1)+(k+2)+(k+3)+…2+(k+1)222

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要点梳理数学归纳法

忆一忆知识要点

一般地，数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，假设

n0是起始值，那么n0是使命题成立的最小正整数，所以对于某些与正整数有关的数学命题，我们可以用数学归纳法：其基本步骤为：

(1)当n取第一个值n0(n0∈N*)时，结论正确；归纳奠基注：n0是否肯定为1?(2)假设当n=k(k∈N*,且n≥n0)时结论正确，归纳推理证明当n=k+1时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的全部正整数n都成立.

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典例剖析证明:1+

13

+…+

1≤2n1

2n1.

证明：①当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立.当n=2时,左边右边,所以命题成立.②假设n=k(k≥2,kN)时命题成立,*

即1+

13

+…+

12k1

≤

2k1,

当n=k+1时左边=1+

13

+…+

12k1

+

12k1

≤

2k1+

12k1

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2k1+

22k1

2k1

=

2k1+

2(

2k12

2k1)

=

2k1=

2(k1)1.

命题成立.由①、②可知,对一切nN都有1+*

13

+…

+

12n1

≤

2n1成立.

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课堂小结：本节课你有什么收获？1、数学归纳法证明问题的原理

2、数学归纳法证明问题的步骤3、从n=k成立证明n=k+1成立时代数式的改变特征4、留意数学归纳法与其他证明方法的综合应用

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清

学

稿

n3n+11.用数学归纳法证明：(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈2N*)的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于________.

2、求证:1+(nN).*

12

+

11+…+2n3n

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(2)证明:只

需证:1+

11+…+≤32n1

2n1.①当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立.当n=2时,左边右边,所以命题成立.

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②假设n=k(k≥2,kN)时命题成立,*

即1+

11+…+≤2k1,32k1

当n=k+1时,

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左边=1+

13

+…+

1+2k1

12k1

≤

2k1+

12k1

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2k1+

22k12k1

=

2(2k12k1)2k1+2

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=

2k1=2(k1)1.

命题成立.由①、②可知,

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探究提高1在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满意Sn=21an+.an(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

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规范解答解11(1)S1=a1=a1+得a21=1.2a1

∵an0,∴a1=1,11由S2=a1+a2=a2+,2a2得a22+2a2-1=0,∴a2=2-1.

11又由S3=a1+a2+a3=a3+2a3得a23+22a3-1=0,∴a3=3-2.(2)猜想an=n-n-1(n∈N*)证明：①当n=1时，a1=1=1-0,猜想成立.

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②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立，即ak=k-k-1,那么当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk1111a=k+1+-ak+,2ak+1ak21111k-k-1+a+1+即ak+1=-k2ak+1k-k-1