2024届湖南省常德市一中高三上学期第六次月考数学试题及答案

8.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲1常德市一中2024届高三第六次月水平检测线。人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+的x图象与性质”，经探究它的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究数学b（时量：120分钟满分：150分命题人：高二数学组)=+y=ax,x=0,(ab0)的图象是以直线为渐近线的双曲线.可以发现对勾函数yax85.x−8x1现将函数y=2x+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C1.全集U=R集合A=x−2,则∁A=()Uxx−2B.率是（）A.10−255−5(−)2=(−)2=A．B．C．10−45D．10−452.已知复数z满足z1iai,aR,若z为纯虚数，则a（）22A.0B.-1C.1D.245.5203.直角梯形中，角为直角，若，则9.下列命题是真命题的有（1）A.若0a则lna+2.B.若2a2b(a,bN+3+2*),则a−b−1110lnaA.B.C.1D.229x2B.若a+b+c=0且abccbabD.若函数y=，y.13+=94.记S为等差数列a}前n项和，已知，则cos(5a)（）S=x2nn10AO的底面圆O的半径与球OAO的表面积与球O2+62−66−26+211212A．B．C．D．−面积相等，则下列结论成立的有（）1444423A．圆锥AO1的母线与底面所成角的余弦值为CAO1的侧面积与底面积之比为3B．圆锥AO1的高与母线长之比为5.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上3DO的体积与圆锥AO的体积之比为221棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（）11A是抛物线C:x2=4y上一点，F是C的焦点，A在C的准线l上的射影为M，M关于点A的对称点为N，曲线C在A处的切线与准线l交于点P，直线NF交直线l于点Q，则（A．FM⊥FN）AP∥NQC．△FPQ是等腰三角形D．|MQ|的最小值为2−B．xyA．5立方丈6.毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（A．66种B．60种C．36种B．20立方丈C．40立方丈D．80立方丈()(−)()−()=x1,0时，(−)12fx的定义域为fxfyf1−）()fx0，则（）D．24种112111()()A.fx是奇函数B.fx是增函数C.f+ffD.f+ff3433427．已知函数f(x)sin=x+0)，对任意的xR，都有f(x+=f(−x)，且f(x)在区6−,上单调，则的值为（间）454121n3a2+a+bn的展开式中13.x−的展开式中所有项的二项式系数之和为64a5bA．B．C．D．6363x的系数为{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}14.X近似服从正态分布N(72,25)。为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[67n)内抽取学生，且P(67≤X≤n)＝0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值566263656668707172737576767880818386，88，93．则该班抽取学生分数在分数段[67，n)内的人数为______人(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)8888()i−x2iiiii1i1i1i160043837.293.8yx(1)求关于2024年火车的正点率为84%2024年顾客对火车站投诉的次数；(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为X，求X的分布列和数学期望.aa0的正整数i的个数称为这个数i1a15.ni5a−（nN，abnS=n2−6n−2a列的变号数.已知数列的前项和n），令附：经验回归直线ˆ=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：nn2niyni4−n=1−a的变号数为2，则实数a的取值范围是___________.n（nN），若数列ˆˆ,ˆ=y−bxb=i1nn2(i−x)16．已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D和D，若对任意的xD都恰有个不同的实n1201i1数x,x,x,g(x)=f(x)（其中i=2,3,N+g(x)为f(x)的“重n20．（本题12分）已知数列a满足na=a=2an+3n.123i0n1122x−1,0x4重覆盖函+1an21(1)令n=，求证：bn1nb是等比数列；−覆盖函数”．(1)若函数g(x)=cosx(0x4π)是f(x)=nnx77602+−+−+c=cnTn1n的前n项和为，求证：ax(2axx12x11(2)令，.数”,则n=；(2)若g(x)=为f(x)=log1的“2重覆盖函nanlog2x,x12x2x2y2+=1的上顶点为PC:(x−)20在椭圆+y2=r2(r)数”，记实数a的最大值为M，则sin[(M+]=2112E:E内．．8461710A−BCDE中，ACBCCD两两垂直，AC=BC=BE=1，=2，∥.(1)求r的取值范围；(2)过点P作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为MAB与y轴交于点SMN与y轴交于点T的最大值，并计算出此时圆C的半径r．(1)求证：DE⊥平面ACE；18．（本题12分）在(2)求直线BD与平面ACE所成角的余弦值.中，,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2=c(a+c).2212分）已知函数y=sinx在xxx0处的切线方程为yaxb=()=+πsinCsinA(1)若B=，求的值；004+意x0，都有sinxaxb恒成立。(2)若是锐角三角形，求3sinB+2cosC的取值范围．2（1）求函数在点x=处的切线与坐标轴围成的三角形面积；419.（本题12多人都会打电话进行投诉。某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数（2）求证：x；02（3）若10abm，求正整数m的最小值.y82015年～2022x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}43所以0−−8k,kZ，且=+2k,kZ，此时无解，综上可得=.常德市一中2024届高三第六次月水平检测数学（参考答案）3311y=2x,x=0的两条渐近线分别为，8.D【解析】x→时，2x→x0→+时，→则y=2x+xx所以该函数对应的双曲线焦点在y2x,x0夹角（锐角）的角平分线l上，,y=y=2xtan=k,tan=2，==1.B.3.B设l:y且k2，若−故=分别是，的倾斜角，故774.B.S=a,a,a+a=2a=为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，1377=5972412tan1+tantan−tank−21+2k1π1tan−=)tan(−=)−)===由tan(，即，2−6k2cos(a+a)=+)=−sinsin=594343434整理得k2−4k−1=0，可得k=2+5（负值舍去），（或者用二倍角公式求）5.A【解析】如图所示：刍甍的体积为直三棱柱的体积减去两个相同的三棱锥的体积，b1xC一条渐近线斜率为==5−2，故所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线a2+5121112即V=−134213(42)=6−1=5.故选：A−b232=+=+−=1045.故选：D−e1145)a23种排法，再插入甲、乙两人，有A24种方法，共有3×A249.AB10．AO1的底面圆6.C【解析】先排甲、乙外的3人，有种3方法，O1的半径为RhlAO与球O1212的表面积相等，3A242又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占，故所求不同和站法有=36(种）故选：C.1Rl1得Rl+R2=4R2，解得l=3R，因此圆锥AO的母线与底面所成角的余弦值为=，A正确；1611f(x+=f(−x)x=，所以+=即37．D【解析】因为，所以函数f(x)的对称轴为22hl223h=lAO2−R2=22R，因此圆锥AO1的高与母线长之比为=，B错误；12+=+k,kZ=+2k,kZkkZ，,，解得623πRlπR2l==3，C正确；圆锥的侧面积与底面积之比1−,−+++0，R（1f(x)在区间上单调递增，则2kx2k,kZ∵41226243R3113−+x+,,kZ球O的体积与圆锥AO的体积之比为=2，D正确故选：ACD∴，21113πR222R311243−−+2k−−+2k11．4383y=−1，焦点为F()A(x,y)(Mx,1，则0−)【解析】对于，因为Cx2=4y：的准线为：，设，∴，即，解得−8k,kZ，l001111+2k,+2kNx,2y+)(FMFN=(x,−2)(x,2y)=−4y+x20=0MFN=90，（或由抛物线定，所以123123000000义知AMANAF，所以==MFN=90，）故选项A正确；833所以0−8k,kZ，且=+2k,kZ，所以当k=0=时，满足题意；332−,+++2k,kZ∵0，（2f(x)在区间上单调递减，则2kx41213261+x+,,kZ∴，31111−+2k−+2k143434xx2x20∴，即，解得−−8k,kZ，对于，因为y=，所以A处的切线斜率，kAP=02yx，所以kAP=kNF，而0400，kNF===11143322+2k,+2k0212312{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}从而AP∥NF，即AP∥NQ，所以B正确又A是线段MN中点，所以P是线段MQ的中点，又0202MFN=90PQ=PFk=y−1=x，−C正确.D为的方程为NF−444令y=−1Q,−1MQ=0−=0+24=4x=24，0000故选项D错误故选：ABC()()==(−)=−()，fyfy12．ABDfxxy=f00x02−1xg(4π)=cos4π=1(4π)上单调递增，且−1f(x)=1f(4π)1，，而函数g(x)在(4π)故（本小问2分）f(x)在，所以()为奇函数。fx+12x由此可知f(x)=4个解．所以g(x)是f(x)在(4π)的“4重覆盖函数”；x−y1−()1,0,fxfy，fx在(−)()()()再证明fx是增函数。不妨设1xy0，则n2x−12+1(−)令y=13.60()()(−)==−())的定义域为，1,0为增函数，又fx是奇函数，fx在为增函数。（2）可得f(x)1122x+2x121x−y31x,x−+)g(x)=f(x)==N+=，则x=，f+f=ff即对任意02个不同的实数（其中i2,3,0,4212i1331+1122+12+11，∴2x+1201，所以01−1，所以∵2x2x2x2x14.11【解析】：P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)＝0.8186＝0.9545－0.68272x−120+1f(x)=(+)g(i)f(0)log1==−)(+)k0，g(x)k有2122x+210.954－，∴n＝82P(67≤X≤82)＝0.818，由已知，该班在[67,82)内抽取22个实根，了11人，他们的分数为，，，，，76，，78，，。g(x)=log2x=k已有一个根，故只需x1g(x)=k当x1时，时，1个根，952244,−n=1时，b==−−1=1−=1+=g(x)=−3x+115.【解析】：当12a5，，当a0时，，符合题意，1b12a+52当a0时，则需满足g=2+2a−3+100a，解得，b=S−S=n2−6n−2a−(n−)2−6(n−)−2a=2n−7当n2时，3nnn1，(n2)1k0g(x)=k有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成当a0时，抛物线开口向下，g(x)2442n−11n=1−=1−=立．n2n−72n−727M=15综上，实数a的取值范围是，，a的最大值为，a6，且n6时，a0n，3a4，aa0332===3，5=−=3，35，a，0456339542a+则sin[(M+]=sin=−（本小问3分）aa=1+10a−或a−，解得要使数列的变号数为2，则32n52217．【解】（）证明：因为，，CD两两垂直，BCCDC，=CD面，面BCDE，31216．(1)4；(2)−【解析】（1）因为2x0，所以2x+1112，所以⊥平面BCDE.因为DE平面，所以⊥DE.-----------------1分2x+12+1x2=CBE=且BC=BE=1，=2，xx−1+12+122xx−1+1在直角梯形BCDE中，连结CE.由BCD22又因为f(x)==1−1−2=−1，又因为2x−12x+1，所以f(x)=1，22x可得CE=DE=2，CE+DE22=CD2，所以⊥2x−1+1g(x)=cosx(0x4π)，所以g(x)，AC=，面ACE，CE面ACE⊥平面ACE.--------------4分（2ACBCCD两两垂直，以点C为原点，直线分别为x轴，yz轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，所以−1f(x)=1，又因为因为2x2又因f(x)=1−f(x)为奇函数且单调递增，作出两函数的(4π)2+1x{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}niixy−−875ˆ则b=i1==6-------3分n2(i−x)i1ˆ=−6x+524所以ˆ=y−bx=74+675=524，所以ˆ=−6x+524y=20，；--------------4分当x时，代入=，得到所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为次（2）X服从超几何分布，可取01，2--------------6分--------------7分()(A1,0,0)(B0)()(E)CA=1,0,0)CE=()BD=(−2)，，，则C0,0,0，，，D0,0,2，以C20C365C126321528C22C163n=x0X===;（X===;（X===设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则有-------9分-------12分，得，31488328y+z=08nCE=0515334取z=1，得n()，设直线BD与平面ACE所成角为，=−-----------6分---------9分E（X)0=++12=分布列略14282800+11+12()()3则sin=,==，02+(2+202+(2+22an1an23nnan220．【解】（）∵a=a+，故2nn=+n=，nn1n+12n2n1故cos=，所以直线与平面ACE所成角的余弦值为.----------10分n133n故n1=n+，∴n1−n=，-------------3分bn1−，故是公比为的等比数列；------5分n222n1π3n1b−b33=(n18．【解】（）在中，B=，据余弦定理可得b2=a2+c2−Ba2c2-−=n+2n1n+2n1，则4+n1−n22n22()，a=2+1c又b2=c(a+c)，故asinC2−a，由于a0，故=---------------4分-------------5分n1n3313（2）由(1)可知n1−n==，c4222=21,故−=2−1；得asinA=(−n1)+n1−)+)+(−)+2bbb211∴nbnn−2（2中，据余弦定理可得b2=asinA−2sinCcosB=sinCsin[π−(B+C)]−2sinCcosB=sinC2+c2−2accosB，又b2=c(a+c)，故a2−2cosB=ac，n133又a0，故a−2cosB=c，故，，n1n−2323111−133sinBcosC+cosBsinC−2sinCcosB=sinC，sin(BC)sinC,−==++++1222123n---------------7分2，-----7分==+=−12,B,C(0,π)B−C(−,π)，则B−C=CB−C+C=π22222因为，所以或，321−即BC或=B=π（舍），所以B=C，-------------------8分π3nan2n1−1−3sinB+2cos2C=3sinC+cos2C+1=2sin(2C+)+1,Aπ(BC)πC,=−+=−=−1a=3n−2n，∴n=，∵n0，故T．∴6n2nn2nnn2π0π−Cn113313n113982=3n−2n当n时，==1，故n12n，∴an，πππC2n222因为是锐角三角形，所以0C，得，-----------------10分2641−21π时，n=0C故当n，--------------9分23nn23n1ππ2ππ3π(3+3)，C+sin(2C+),12sin(2C+)+1,故,263626n−2111−111B+2cos2C(3+3)3故T123=+++156511−1，故---------------12分n=1++=+5182313n−21−-60059219.【解】：（1）x==y==74，1177T1++=88故--------------12分n51260{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}x208y20422．【解】：（1y=sinx得y=cosx，切线得斜率为cos2221【解】（1）不妨设椭圆上任意一点Q(x,y),x+=1，此时半径rCQ---3分，min22，且=，切点（，，切线方0004242x2021−222224−4，2=(0−)2+=(0−)2+−=(−)2+又CQy2040233x0时取等号.程为：y−=(x−)x得y==(−)+=y=得x=−+1=222424224443，所以r的取值范围为3；1224−4−所以rCQ=------------5分2(4−)2故切线与坐标轴围成的三角形面积为=)=;-------3分minS(()24464（2）过点P0,2作圆C的两条切线，当两条切线均存在斜率时，（2）先证明a0,b0。由x=0满足sinxax+b知b0x=,kN*，则bk=1,kPBk,Nx,y,Mx,y,Sy,Ty=()()()()ly=+2，经过点P的直线的方程为，设则PA2112234|k+2|+ba2−4对kN恒成立，a0。故a0,b0。+4r=r，整理得r2−)1k2−4k+r2−=40k+k=,kk=12，所以有k1+k2122−12−1rr22y=sinx在xxx0=()处的切线方程为002+再证明x121454。由−y1+(−)2==0又以为直径的圆的方程为x2=xcos0sin0xcosx,acos0bsin00cos0cosxtanx+−==−=(−)0，xy000001225y1+(−)2−(−)x1+2y2=−r2，则直线AB的方程为x−tanx−x0，构造函数=−f(x)tanxx,x(0,)，则40022−1r2−1r整理得x2y−1+r−2=0，令x=0得3=，即S---------7分sinxx2x+sin2x1−2x，=−=−=0，f(x)tanx在x(0,)上单调递增，f(x)=−x,f(x)1222x2x2y=+22f(x)f(0)=tanx−x0，，当0也合。综上，x--------7分=0(0,)y1+2k，消去得)x+8=0，联立x2222220y+=1x,x