椭圆及其标准方程（第1课时）高二上学期数学人教A版（2019）+选择性必修第一册

圆锥曲线椭圆及其标准方程

学习目标:(1分钟)1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．知识探究:结论:平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆.常数必须大于两定点的距离.1.椭圆定义:

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c.2.有关定义的几点说明:①椭圆定义中提到的常数一般用2a表示,焦距一般用2c表示;平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.②椭圆定义的数学表达式：|MF1|+|MF2|=2a

(2a>|F1F2|)3.椭圆定义再理解:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.思考:在同样的绳长下,①两定点间距离较长,则所画出的椭圆较

;②两定点间距离较短，则所画出的椭圆较

.由此可知,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关.扁圆椭圆线段不存在例.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。1.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.2.到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.3.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹.解:(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆.(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2).(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形.巩固概念:变式:用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为9,则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2

C.直线F1F2D.不能确定A2.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2

C.直线F1F2D.无轨迹DBDB知识探究2:椭圆标准方程及其推导如何建立适当平面直角坐标系?建系通常遵循的原则:对称”、“简洁”.OxyOxyOxyMF1F2方案一Oxy方案二F1F2MOxy

如图所示,

F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a解:以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2a

且2a>2c椭圆标准方程及其推导:(2a>2c)的动点M的轨迹方程.两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上.①椭圆的焦点在x轴②焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0)③

a2=b2+c2F1F2M0xy思考:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢?椭圆的标准方程⑴它表示：OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的几点说明：1.椭圆标准方程的形式:左边是平方+平方,右边是1.2.椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2.3.椭圆的标准方程中:x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一条轴上，大分母为a2

，小分母为b2.椭圆的标准方程焦点位置看大小,焦点随着大的跑！分母哪个大,焦点就在哪个轴上标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系a2-c2=b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)12yoFFMxy

xoF2F1M1.判定下列椭圆