2023年湖南省衡阳市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年湖南省衡阳市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

函数y=A<)的图像与函数y=2,的图像关于直线y=x对称，则〃工)=()

(A)2«(B)lofcx(x>0)

I(C)2x(D)lg(2x)(x>0)

2.圆x2+y2+2x-6y-6=0的半径为()。

A.屈

B.4

C.后

D.16

3.巳如量数，“♦缸其中。Re*.且

A.I/IWSI1*/B.I?IBlips?

C.h11-IJI1**/D.I?I

等差数列｛4｝中,若0t=2,a,=6.则q=

4：A)3(B)4(C)8(D)12

5.生产一种零件，在一天生产中，次品数的概率分布列如表所示，则

E©为()

e0123

p0.30.50.20

A.0.9B.1C.0.8D.0.5

6设sina=y.a为第二象眼角.则3=

A.-0/2

B.④

C.-1/2

D.1/2

(13)巳知向量满足I«|=4,I51==30°,则a•b等于

r(A)"(H)6/3(C)6(D)12

已知函数y=8<x<+8),则该函数)

(A)是奇函数，且在(-«,0)上单调增加

(B)是偶函数,且在(-8.0)上第调减少

(C)是奇函数，且在(0,+8)上单调增加

8(D)是偶函数，且在(0,+8)上单调减少

9.若/(工)=1。84工•则F列不等式成立的是()

A.A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

10.1og34-log48-log8m=log416,贝(]m为0

A.9/12B.9C.18D.27

11.函数Y=sin4x-cos4x的最小正周期是()

A.A.7T

B.27t

7T

c.

D.47r

12.()

A.A.2B.lC.OD.-l

13.函数y=lg(2x—l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

14.()

A.A.2

B.l

D.D・什)

15.若a>b>0,贝!)()

A.A.•十尺/

B.

D..力

16.若方程/-所’+2y=0*示两条直线.INm的内值&A.1B.-lC.2D.-2

17.过点州3-2)与出税31-)-6=0孑七的直我方程是

18.函数，y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

19.函数y=lg(x2—3x+2)的定义域为()

A.A.{x|x<1或x>2}B.{x|l<x<2}C.{x|x<1}D.{x|x>2}

20.4个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，则不同的排法共有

()

A.A.3种B.6种C.12种D.24种

21.甲、乙各自独立地射击一次，已知甲射中10环的概率为0.9,乙射中

10环的概率为0.5,则甲、乙都射中10环的概率为0

A.0.2B.0.45C.0.25D.0.75

23.已知圆'=v-"8、一II一。经过点pq,0)作该圆的切线，切

点为Q,则线段PQ的长为()o

A.10B.4C.16D.8

24.函数y=3x的反函数是()

A.A.y=(l/3)x(x>0)

B.-y=(l/3)x(x>0)

C.y=log3x(x>0)

D.-y=-log3X(x>0)

25.过两点(-4,1)和(3,0)的直线的倾角为()

AAAR,H,NL-J)

B.:antan；

Can'tan?

Dk-arctan(-；)

26.

第13题已知方程2x2+(m+l)x+3m+3=0的两实根平方和为7,那么m值

等于()

A.-13B.13C.3D.-3

设|川丁-4x+3<0},Q={xlx(x-l)>2],则PCQ等于()

(A)|xlx>3|(B)|xl-1<x<2|

27.：x!2<x<3(D)xl1<X<2

28.命题甲：Igx,Igy,Igz成等差数列；命题乙：y2=x・z则甲是乙的

()

A.A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.既充分又必要条件D.

既非充分也非必要条件

方程/+m+Ey+尸=0是圆的方程的()

(A)充分但非必要条件

(B)必要但非充分条件

(C)充要条件

29,11)既非充分也非必要条件

30.命题甲：x>n,命题乙：X>2TT,则甲是乙的()

A.A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必

要条件D.不是必要条件也不是充分条件

二、填空题(20题)

31.

若不等式|ar+1IV2的解集为卜|一£VzV；].则a=_________.

[-10121

设离散型地机变量£的分布列为工112，则E(Q=_______________.

32.

33.(2x-l/x)6的展开式是.

34.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

35.设离散型随机变量f的分布列如下表所示，那么，的期望等于.

36.已知随机变量g的分布列是:

012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝!IEg=________

双曲线:；一#=心＞。心。》的渐近线与实轴的夹角是a，ii焦

37.点且垂在于实轴的弦氏等于-

38.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(Ar。)满足条件(D/2A)2+(E/2A)2-F/A=0,它

的图像是___________.

39.・长为a的正方体ABCD-A%'(力中，异面直线BC7与DC的距离为—

.等式＞0的解集为_______.

40.5

41

甲乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是:，乙解决这个问题的

4

概率是:，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是.

42.AABC中，若cosA=^^,/C=1501BC=l,JUAB=

43-tanCarctanJ+arctan3)的值等于.

44.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

45.

设y=cosx_sinx,则,=________________.

46.过点M(2,-1)且与向量a=(-3,2)垂直的直线方程是_____.

已知球的一个小圆的面枳为X,球心到小国所在平面的即离为、1,则这个球的

47.上力枳为-

48.已知A(2,l),B(3,-9)直线L:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点P分

AB所成的比为

已知Mi机变量g的分布列是

4T012

P

3464

49

50.设离散型随机变量，的分布列如下表，那么，的期望等于

0.11

e6

0.060.04

p0.70.1

三、简答题(10题)

51.(本小题满分13分)

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

52.

(本小题满分13分)

巳知函数〃工)=工-2日,

(1)求函数y=/(*)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是贰函数;

(2)求函数y=〃*)在区间［0.4］上的最大值和最小值.

53.(本小题满分12分)

巳知等比数列中,%=16.公比g=X

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列；a」的前n项的和S.=124.求n的值.

54.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,%3的系数是％2的系数与X4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

55.

（本小题满分12分）

已知椭BI的黑心率为亨，且该精M与双曲蜡-八1焦点相同♦求椭圆的标准

和准线方程.

56.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

（2）过这些点的切线与直线y=x平行.

57.（本小题满分12分）

在△A8c中.AB=%JS,B=451C=60。.求*C,BC.

58.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,«3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值.

59.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G：1+八1与双曲线G：3-八1（°>1）.

aa

（I）«*,.«,分别是C,,Cj的离心率，证明与.<1；

（2）设4A是G长轴的两个端点"（与，%）（1与1>a）在G上，直线与G的

另一个交点为Q,直线尸4与G的另一个交点为上证明Q&平行于^轴.

60.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

四、解答题（10题）

61.

从地面上4点处测山顶的仰角为a,沿4至山底直线前行a米到8点处，又测得山顶

的仰角为6,求山高.

62.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

⑴求〃自；

(2)求〃e)的最小值.

63.

64.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为

2R,若a、b、c成等差数列，

求证：(I)内切圆的半径等于公差

(II)2r、a、b、2R也成等差数列。

65.

已知K，F?是椭圆志+64=1的两个焦点，户为椭圆上一点，且乙=30。,求

4PF果的面积.

66.已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex(x,a£R).

⑴当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(l,f(l))处的切线方程;

(II)当a=-5/2时，求函数f(x)的极小值.

67.设函数f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)求f(x)的极值.

已知等差数列的公差=y,fiai,a2,as成等比数列.

<I)求QJ的通项公式；

(n)若仿力的前曾项和s.=50,求n.

68.

6%(23)(本小・清分12分)

如图,已知正三极筷P・48C中,APA8为等边三角形,£/分别为PA,PB的中点.

(1)求ifPCJ.EFi

(II)求三梭僚P-EFC与三发程P-ABC体积的比值.

70.（21）（本小*!!分12分）

已知点在曲线，=:77上・

(1)求々的值；

(n)求该曲线在点4处的切线方程•

五、单选题(2题)

71.在△加，中$233”・也(：.则&<死的形状一定是人.等腰直角三角形B.直

角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

椭NI4c's为参数)的焦点是

72.()

A.A.(-5,0),(5,0)

B.(0,-5),(0,5)

C..-.7.D)

D.

六、单选题(1题)

73.函数y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

参考答案

1.B

2.B

本题考查了圆的方程的知识点。

圆x2+y2+2x-6y-6=0可化为(x+l)2+(y-3)2=16,故圆的半径为4。

3.C

cH折：/I«1(*♦&*)*«/(•*-k1)*♦^S|*pS(</•,•i，)*««*♦**ilS-*(•■♦

4.B

5.A

6.A

由°为第二象限角可知eizCO,」、.一、筋一工/i二T=一§.（答案为A）

V4Z

7.B

8.D

9.A

/（工）=1崛工在其定义域（0.+8）上是单调前函数，

根据函数的单调性答案为A）

10.B

B【解析】由对数换底公式可得稔

2=康，

左式="《1嗝2’）（log^23）（!og2Jm）

=（210&2）（~|40欧2），|0七切）

"（logA2）（logzm>«

右式』logW・2,

所以（1脸2）（1唯m）=2.log2ms==2k）fe3=

k*±3'•故m=9.

ll.A

12.D

y—cos'r-2covcos2x—2ct）、r-1-（cow-1）'一I«

当coajr-x10寸.原函数有破小值一1.（答案为D）

13.D

由2x—l>0,得2x>l,x>0,原函数定义域为｛x[x>0）.（答案为D）

14.C

a=lofe36*6=loft）36=1OR«2,1=log«3，

ao

则。T6，log”2T1*3=108^6>1.（答案为C）

15.D

根据指数函数与对数函数的单调性可知,当a>6>0时，有a+>小恒成立.（答案为D）

16.A

A・新:才符词分•秀/+2（一，）工。.乃犬防前条夜检.则必使力•肉式•皮当时厚方

程可分解为・0.表小角条面&*-y+2=0«0A”-Q

17.D

18.D

19.A

由x2—3x+2>0,解得xVl或x>2.（答案为A）

20.C

21.B甲乙都射中10环的概率P=0.9x0.5=0.45.

22.D

23.B

该小题主要考查的知识点为圆的切线性质和线段的长度.【考试指导】

/+'+4z—8y+ll=0=>(x+

2)2+(y_4)'=9.则P点距圆心的长度为

y?l+2)24-(0-4)2=5,故R3=>/5^9=4.

24.C

25.B

26.D

27.C

28.A

因为g,kv，3成等差数列一卡z.副甲是乙的充分而非必要条件.(答案为A)

29.B

30.B

31.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为不等式的解集.

【考试指导】

Iar4-1|<2=>-2<ar4-l<2=>

31

----V“V—•由题意知。=2.

a--------a

32.

口9=(7)4+。'1十】X±+2X加答案为领

33.64X6-192X4+...+1/X6

34.

(20)【参考答案】4

o

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形ABC的中心.则0P1.面AHC.i.PCO即为恻梭与底

面所成角.

设―则PC=2,0C哼，所以

coa乙PC0嘿卑,

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

35.89E(Q=100x0.2+90x0.5+80x0.3=89.

36.

37.

ZAran»

«设过双曲线右焦点垂科r实轴的弦为L.

乂由渐近线方程¥一士&H.及渐近线与实轴夹角

a

为°，故“l；"i。,所以丫二一"—h-'-

uaa

T6♦i；iua,弦K为2加ano.

【分析】本题*受H西般的渐近娘等假念，

38.

点（一左一聂）

M+A八D.r+Ey+F—O・0

将①晌上起和才•耳

（"昌）'+（，，第"（给'-£・

•・•（&'+（给T5

-D

I*M

E.”它的道像是以•■心.，一。8・・

H

•faA币―小，”（一幺，

39.

异面直线BC与DC的距离为正方体面对角线的一半,即为岑&.（答案为4）

40X>-2,n.I#-1

1

~2

41.

42.

Z\ABC中■0<LAV180*♦sinA>0«sinA—/1二cos，A=J1-(,

1

Hi-rAnBCsinC1Xsinl50°2

由正弦定理可知AB=RF「i而一=逅==,(答案为号)

16

43.

44.

13

1K

45.

y=-sinr-co&r.《答案为一sinx—COST)

46.

设PCr,y)为所求直线上任一点，则萨=(z-2,y+D.因为前j_a,

一,>

则MP•a=Gr-2,产D•(-3.2)=-3(x-2)4-2(>4-l)=0.

即所求直线的方程为3x-2y-8»0.(答案为3工一2»-8=0)

47.

12K

48.答案：4解析：由直线方程的两点式可得，过A(2,l)B(3,-9)的方程

为：

,X—2_y—1

Ku,!3772—9—1

j10x+y_21=0

产一7

_xi+义X2_24-A,3

X=1+A=1+A*

14_2+3人

49.

3

50.5.48E(£)=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48.

51.

设三角形三边分别为a,6.c且。+&=10,则b=lO-a.

方程2?-3x-2=0可化为(2*+1)(*-2)=0.所以、产-y.x,=2.

因为a、b的夹角为夕,且W1.所以coM=-y.

由余弦定理,得

c2=<i24-(10-a)J-2a(10-a)x(-

=2<j'♦100—20a+10a-a'=a*-10。+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5吗c的值最小,其值为m=5耳

又因为a+〃=10,所以c取得敏小值,a+b+c也取得段小值.

因此所求为10+5氐

52.

⑴八工)=14令/(*)=0,解得>1.当”(0.D./G)<0；

当”w(l.+8)J*(x)>0.

故函数人力在(0.1)是减函数.在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时/(外取得极小值.

X/(0)=0,/(l)=-l./(4)=0.

故函数/Tx)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-I.

53.

(1)因为a,=5,.即16=%x/.得.=64.

所以,该数列的通项公式为a.=64x(^)-

8(1争

,)

(2)由公式s,=gi.Li：y得[24=——Z-,

1-q

12

化简得2,=32,解得n=5.

由于(8+1)'=(I♦OX),.

可见.展开式中『的系数分别为c，‘，c"''C。'.

由巳知,2C>'=C；/+C；a'.

V7Mll-1x6x57x67x6x52-31A,n

乂。>1.则2xy•a=)4?•ot5a-10a+3=0.

54.解之，得a=红三”由a>l.得

55.

由已知可得椭圆焦点为K(-6,0).吊(6.0)...........3分

设椭圆的标准方程为斗+%=1(。>6>0).则

J=b、5.°3

解得｛:[2'"…’分

。3.七

所以椭圆的标准方程为5+4=1.•……9分

94

桶胧的准线方程为彳=土萍……12分

56.

(1)设所求点为(工。.%).

y*=-6x+2,/=+2.

JI•SQ

由于工轴所在亢线的斜率为。,则-6&+2=0.%=/.

s

因此y0=-3,(y)+2•y+4=y.

又点g,号)不在x轴上，故为所求.

(2)设所求为点(%,九),

由0f+2.

由于y=M的斜率为1,则-6x0+2=1，%=/

又点(2基)不在直线…上,故为所求•

57.

由已知可用A=75。.

又^75°=8in（45°+30°）=sin450cos30。+«»4508in30o=^~^....4分

在△ABC中.由正弦定理得

工_____……8分

sin45°-sin75°~8in60°,

所以4C=16.8C=86+8.……12分

58.

(1)设等差数列1。」的公差为九由已知，+,=0,得

2j+9d=0.又已知5=9.所以d=-2.

数列la.I的通项公式为4=9-2(“-1).即4=11-2m

(2)数列|0」的前n项和

S.=-^-(9+1—2n)=-n5+10n=—(n-5)1+25.

当n=5时.S,取得最大值25.

59.证明：(1)由已知得

将①两边平方.化简得

（X,）+a）Iy?=（.t1+a）2yj.④

由②（3）分别得y：=-5（*o-°J）,7i="T（oS_*i）*

aa

代人④裳理得

同理可得

所以以=与'0,所以。/?平行于T轴.

60.解

设点8的坐标为(苞,%),则

1481=++yj①

因为点B在椅回上.所以24+yj=98

y,1=98-2*/②

将②ft人①，得

1481=/(阳+5)、98-21

1

=v/-(x,-10xl+25)+148

=-(«1-5)^148

因为-但-5)?40,

所以当巧=5时，-3-5/的值最大，

故1481也最大

当看=5时,由②，得y严士46

所以点8的坐标为(5.4&T)或(5,-46)时以81最大

解设山高CO=x则RtZJkADC中,AO=xcota

RtZi8QC中,8D=xcot3，

x

因为AB=AD-BD,ffiUa=xcola-xco\flIU=coto^,co^

答:山高为-，°百米・

6]cota-co^p

62.VZC=180o-30°-75o=75°,/.AABC为等腰三角形,则

AC=AB=120m,过C作CD_LAB,则由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的宽为60m.

D

1♦2sin^cos^+本

解由眶已知4。)=―=-%

sind+cos^

3

(sin。♦cos^),♦爹

出in。+cos。

令”=sin^♦cos^,得

X2+73

«e)二丁…五田强FG•噫

[G君+而

63.由此可求得4如竹⑻最小值为.

64.(I)由题意知，2R=c,所以a+b=r+r+x+y,(如图a=x+r,b=y+r)

25题答案图

X*.*c—x+y=>2r=a+〃-c.

设公差为</,则三边为b-4.'〃+d.则有

(A-4>+〃="+"

得bid.

即三边aAc分别等于3d、4d、5d.

.3--c-/-+--4-d---5-d=_dj.

(II)由(1)可知，2r、a、b、2R分别为2d、3d、4d、5d,所以这是等

差数列。

解由巳知，描网的长轴长2a=20

设IPFJ二m/"/=n.由椭圆的定义知,m+n=20①

又/=100-64=36,。=6,所以工(・6,0)，吊(6,0)且喝吊I=12

在△尸F,巴中，由余弦定理得mi+/-2mncos3(r=l2'

m2+nJ--fimn=144②

m1+^mn+nJ=400③

③-②，得(2+6)mn=256,mn=256(2-4)

因此，△。工人的面积为:皿|4(130。=64(2-有)

66.

(1)当。=0时,人］)=3+2人,

/(x)-e*(jr,-H2x-t-2),/(l)-3e./(l)-5e.

所以承数/(工)的图象在点处的切统

方程为y—3e-5e(;r-I).即5er—>—2e=0.

(U)当a——•时=(JT1—•g-x+2)e*.

j-—y)e*.

令.得了=-+或工=1.

令外工>>0.得r<一"或工>1.

所以/Cr)在厂】处取得极小值/⑴二手.

67.

(I)函数的定义域为(-8.+8)・

f(j)«=(e*-z-D-e*-1,