人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版)

三角函数的图像与性质一、三角函数的图像：1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线，2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数yxo1-1y=cosxxyxo1-1(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，3、正切函数的图象：我们可选择的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)二、三角函数的性质:函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴类型一、三角函数的图像：例1.作出函数的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。解析：化为即其图象如图：点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。例2：解析：类型二、三角函数的性质：例3.求下列函数的周期（1） （2）分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为即的周期是（2）即的周期是。练习：求下列三角函数的周期：1y=sin(x+)2y=cos2x3y=3sin(+)4y=tan3x例:4.比较下列各组数的大小。（1）sin194°和cos160°；（2）和；（3）和分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。解析：（1），从而即（2）又在［］上是减函数即（3）而在内递增点评：（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。练习：比较下列各组数的大小(1)sin(－)、sin(－)；(2)cos(－)、cos(－)．解：(1)∵－＜－＜－＜．(2)cos(－)＝cos＝cos且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数cos(－)＝cos＝cos∴sin(－)＜sin(－)∵0＜＜＜π即sin(－)－sin(－)＞0且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数∴cos＜cos即cos－cos＜0∴cos(－)－cos(－)＜0例5.求下列函数的最大值和最小值（1）（2）（3）分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。解析：（1）当时，当时，（2）当时，；当时，。（3），当时，；当时，。点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。练习：求下列函数的定义域和值域：（1）（2）（3）例6：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性解：由得，所求定义域为值域为R，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数例6．求下列函数的单调区间：（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。。的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。一、选择题1．函数y＝sinax(a≠0)的最小正周期为π，则a的值为()A．2 B．－2C．±2 D．eq\f(1,2)[答案]C[解析]由题意，得eq\f(2π,|a|)＝π，∴a＝±2.2．函数y＝sin(x－eq\f(π,4))的一条对称轴可以是直线()A．x＝eq\f(π,2) B．x＝eq\f(7π,4)C．x＝－eq\f(3π,4) D．x＝eq\f(π,4)[答案]B[解析]解法一：令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.当k＝1时，x＝eq\f(7π,4)，故选B.解法二：当x＝eq\f(7π,4)时，y＝sin(eq\f(7π,4)－eq\f(π,4))＝sineq\f(3π,2)＝－1，∴x＝eq\f(7π,4)是函数y＝sin(x－eq\f(π,4))的一条对称轴．3．函数y＝sin2x的单调减区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))(k∈Z) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3,4)π))(k∈Z)C．[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)[答案]B[解析]由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z得y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3,4)π](k∈Z)．4．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3 B．0C．－1 D．－2[答案]B[解析]f(a)＝a3＋sina＋1＝2.f(－a)＝－a3－sina＋1＝－f(a)＋2＝0.5．y＝sinx－|sinx|的值域是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[－1,1] D．[－2,0][答案]D[解析]当sinx≥0即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，y＝0；当sinx<0，即2kπ＋π<x<2kπ＋2π，k∈Z时，y＝2sinx，∴－2≤y<0.综上，y∈[－2,0]．6．已知函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]，则该函数图象与直线y＝eq\f(3,2)交点的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]分别作出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝eq\f(3,2)的图象，如下图所示：由图可知，函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝eq\f(3,2)有两个交点，故选C.二、填空题7．f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，则当x<0时，f(x)＝________.[答案]－x2－sinx[解析]∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sinx，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－sinx.8．函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))·cos(eq\f(π,2)＋x)是________函数．(奇、偶性)[答案]偶函数[解析]f(x)＝sin2xsinx∵f(－x)＝sin(－2x)·sin(－x)＝sin2x·sinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数．三、解答题9．求函数y＝7－6sinx－2cos2x的最值．[解析]y＝7－6sinx－2cos2x＝2sin2x－6sinx＋5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(1,2).由于二次函数y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(1,2)的二次项系数为2>0，所以抛物线开口向上，顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).又sinx∈[－1,1]，故当x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝－1时，y有最大值13；当x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝1时，y有最小值1.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(2,5)π B．eq\f(5,2)πC．5π D．eq\f(π,6)[答案]C[解析]T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(2,5))＝5π.2．曲线y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的一条对称轴是()A．－eq\f(5π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝－eq\f(7π,6) D．x＝eq\f(7π,6)[答案]D[解析]令2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.当k＝2时，x＝eq\f(7π,6)，故选D.3．下列表示最值是eq\f(1,2)，周期是6π的三角函数的表达式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)) B．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,3)－eq\f(π,6)) D．y＝eq\f(1,2)sin(x＋eq\f(π,6))[答案]A[解析]函数y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))的最大值为eq\f(1,2)，周期为6π，初相为eq\f(π,6)，故选A.4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝eq\f(π,3)对称的是()A．y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)) B．y＝sin(2x＋eq\f(π,6))C．y＝sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]D[解析]∵函数的最小正周期为π，排除A，又∵函数图象关于x＝eq\f(π,3)对称，∴当x＝eq\f(π,3)时，函数取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D.5．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]内的一个单调递减区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[答案]B[解析]由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，∴选B.6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是eq\f(π,4)，则f(x)的最小正周期是()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[答案]B[解析]由题意知eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝________.[答案]0[解析]由图象知，T＝eq\f(2π,3)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(T,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0.8．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y＝________.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))[解析]eq\f(T,4)＝2，∴T＝8，ω＝eq\f(π,4)，将点(1,1)代入y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))中得eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∵0≤φ<2π，∴φ＝eq\f(π,4).三、解答题9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式．[解析]由图象知，周期T＝2(eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.因为点(eq\f(5π,12)，0)在函数图象上，所以Asin(2×eq\f(5π,12)＋φ)＝0，即sin(eq\f(5π,6)＋φ)＝0.又因为0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,6)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3).从而eq\f(5π,6)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,6).又点(0,1)在函数图象上，所以Asineq\f(π,6)＝1，解得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．INCLUDEPICTURETIF"错误!未指定书签。能力提升一、选择题1．若函数f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A．eq\f(π,2) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(3π,2) D．eq\f(5π,3)[答案]C[解析]本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函数知eq\f(φ,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，即φ＝eq\f(3π,2)＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝eq\f(3π,2)适合．本题也可用偶函数定义求解．2．若A、B是钝角△ABC的两个锐角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]∵A、B是钝角△ABC的两个锐角，∴A＋B<eq\f(π,2)，0<A<eq\f(π,2)－B<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)－A<eq\f(π,2).∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，sinB<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))，∴sinA<cosB，sinB<cosA，∴点P在第四象限．3．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的范围是()A．[－2,5] B．(－∞，5]C．[－4,4] D．[0,5][答案]C[解析]原式可化为：(sinx－2)2＝5－a.∵－1≤sinx≤1，∴1≤(sinx－2)2≤9，∴1≤5－a≤9，解得a∈[－4,4]．4．函数y＝eq\f(7,4)＋sinx－sin2x的最大值是()A．eq\f(7,4) B．－eq\f(1,4)C．2 D．不存在[答案]C[解析]y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋2，∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝eq\f(1,2)时，函数y＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋2取最大值2.二、填空题5．函数y＝a＋bsinx的最大值是eq\f(3,2)，最小值为－eq\f(1,2)，则a＝________，b＝________.[答案]eq\f(1,2)±1[解析]当b>0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝1)).当b<0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－1)).6．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的单调递减区间为________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)[解析]y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的递减区间，即为函数y′＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的递增区间，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，∴函数y＝sin(－x＋eq\f(π,4))的单调递减区间为[－eq\f(π,4)＋2kπ，eq\f(3π,4)＋2kπ