2022-2023学年云南省红河州红河县高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省红河州红河县高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数2=高.则复数含在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合力={x|(x+2)(3—%)>0},8={久||Y一1|W2,xeN},贝!MCIB=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3]C.{0,1,2}D.[-1,3]

3.已知平面向量2=(2cosa,—1),b=(cosa,1)，其中a6(0,TT),若五_L%,则a=()

A.a=B.a=*或a=)

444

C.a=/D.a=称或a=y

4.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与式轴正半轴重合，终边落在直线y=上，则

tan(2cr+TT)=()

A.RB.-V-3C.?D.

5.函数/(乃=商为+，17^的定义域为()

A.(-2,-l)U(-l,l]B.(-2,1)

C.[-2,-l)u(-l,l)D.(-2,1]

6.已知函数/⑺=msin2x-Ccos2x的一个零点为去要得到偶函数g(x)的图象，可将函数

/(©的图象()

A.向左平移号个单位B.向右平移/个单位

C.向左平移工个单位D.向右平移工个单位

7.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中bcosC+ccosB=2acos力且c=2,

b=5,设BC,AC边上的两条中线分别为AM,BN,则加・丽=()

A.-7B.5C.3D.1

8.2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后

发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足

N=No0)品(叫)表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的

碳14质量约是原来的|倍，据此推测该石制品生产的时间距今约.（参考数据：ln2«0.69,伍3«

O

1.09）（）

A.8037年B.8138年C.8237年D.8337年

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开.为迎接党的二十大

召开，某完中举办了以“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛.演讲比

赛由11名高中学生和11名初中学生分别组成两个参赛组，将两组学生的得分情况绘制成如图

所示的折线图，则下列说法正确的是（）

90

80

70

~,-岫中组

60•*■•­•初中组

50

40

1234567891011选手序号

A.高中组得分分值的众数为70

B.高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均得分为73

C.初中组得分分值的极差为33

D.初中组得分分值的方差小于高中组得分分值的方差

10.下列说法正确的是（）

A.命题“V光>3,2比一1020”的否定是'勺g>3,2x0-10<0”

B.ax>0v是“2-3*-士工2-4，石”成立的充分不必要条件

X

C.若c>a>b>0,则

c—ac—b

D.若a>b>0,m>0,贝畔>

bb+m

11.在棱长为2的正方体4BCD-4中，M,E,F分别

为BC,CQ的中点，P为正方体表面上的一个动点，下

列说法正确的是.（）

A.力道1平面4EF

B.平面AEF截正方体所得的截面面积为?

C.满足MP平行于平面2EF的点P的轨迹总长度为2门+

3c

D.异面直线AM与EF所成角的正弦值为音

12.函数/（©的定义域为R"（x+1）为偶函数,且“4-x）=-/（x）,当x6［―1,0）时,/（久）=

则下列说法正确的是（）

A.f（久）在［5,6］上单调递增

B.鹉3〃i）=。

C.若关于久的方程/⑶=根在区间［-2,9］上的所有实数根之和为当，则爪=I

Zo

D.函数y=/（%）-|仇二|有2个零点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若/Q）=（s讥2x）ln索为偶函数，则实数b=.

14.如图所示的电路中，电器元件T2,看正常工作的概T,

I-------11---------1

率分别为|,P9，则此电路不发生故障的概率为______.

54Z

15.在AABC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,己知条件：①a=7,b=8,2=30。；

②a=13C，fa=26,4=60。.由条件①与条件②分别计算得到角B的解的个数为6，n,

17

且正数％,y满足/n%+7iy=3,贝卜+-的最小值为______.

xy

16.现有一个高为2的三棱锥P-28C被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得

到棱台4BC—已知4B=2,AC=4,^BAC=p则该棱台的外接球体积为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知函数/（X）=log2X，g（.x）=-|x+4.

（1）求9（/（》）的值；

（2）从下列问题中选1个作答.

①Va,bER,定义b}=];，求九。)=7na%{/(%),g(%)}的解析式并写出h(%)的

最小值；

②Va,bER,定义/ni7i{a,b}=求九(%)=m讥{/(%),g(%)}的解析式并写出/i(%)的

最大值.

18.(本小题12.0分)

在AaBC中，ABAC=y,AB=3,点D在BC上，满足前=2瓦.

(1)若AABC的面积为3/年，求BC；

(2)若4。=1,求△ABD的面积.

19.(本小题12.0分)

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.4

校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了71名学生,发现这些学生的课外日均阅读时间(单

位：分钟)均在[0,120].根据这n名学生的课外日均阅读时间，将样本数据分组为：[0,20),

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120],并绘制出如下频率分布表.

分组频数频率

[0,20)4A

[2040)100.1

[40,60)46

[60,80)a

[80,100)20A

[100,120]4fs

(1)求?1,人的值；

(2)若采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为[60,80),[80,100),口00,120]的学生中

抽取10人，再从抽取的10名学生中随机抽取1名学生进行阅读经验分享，求抽到做阅读经验

分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率；

(3)现从这几名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为“阅读达人”，请算出要成为“阅

读达人”至少需要的课外日均阅读时间.

20.(本小题12.0分)

函数/(久)=cos(3久+9)(3>0,取</的相邻两条对称轴之间的距离为*且&)=1.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)当xe[-睛]时，方程/⑶—a=0有解，求实数a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面2BCD为菱形，且ND4B=*AD=2,G为AD的中点，存在

而方向上的投影向量为

(1)求证：AD1PB；

(2)若“力。=或PB=R,求点C到平面PBD的距离.

22.(本小题12.0分)

某商场经营一批商品，在市场销售中发现48两种商品的销售单价与日销售利润的关系如下:

①力商品的销售单价%(单位：元)与其日销售利润p(x)(单位：元)之间有如表所示的关系：

②B商品的销售单价双单位：元)与其日销售利润q(x)(单位：元)的关系近似满足qQ)=詈-

2(%>0).

(1)根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，根据画出的点猜想p(x)与％之间

的函数关系，并写出一个函数解析式；

(2)由(1)中的p(X),计算函数y=p(x)-|式久)|取最大值时x的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为z=E.

l+i

z_1-i_1-i_(l-i)i_11.

'而=^7=五==-2一V；

二复数含在复平面内对应的点(V，T)位于第三象限.

故选：C.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：A={x|(x+2)(3-%)>0}=[%|-2<x<3},

,**\x-11<20—24%—142=-

・•.B={x||x-1|<2,xEN]={0,123},

・•.ADB={0,L2}.

故选：C.

根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法，及交集的定义进行求解即可.

本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•.,方_1,3，

a-b=2cos4a—1=cos2a=0,

aE(0,TT),2aE(0,2TT),

•••2a=T或2a=9

乙z

TT-p.37r

a=4或a=

故选：B.

根据向量垂直的坐标表示得出cos2a=0,结合角的范围求解即可.

本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：••,角a的顶点与坐标原点重合，始边与％轴正半轴重合，终边落在直线y=Cx上，

•••tana=-=3,

x

tan(2a+兀)=tan2a=二％=

故选：B.

根据三角函数的定义，诱导公式及二倍角的正切公式可得答案.

本题考查了三角函数的定义，三角函数的诱导公式，二倍角的正切公式，考查了计算能力，属于

基础题.

5.【答案】A

(x+2>0

【解析】解：由题得卜+2大1,

、2-2%之0

解得—2<%<1且n。一1.

故选：A,

根据解析式列出不等式组求解即可.

本题考查了求函数的定义域问题，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：，.•函数/(%)=ms讥2%-V~^cos2%的一个零点为着，

/⑸=?租-?=0,求得m=1,

所以/(%)=sin2x-V~^cos2x=2sin(2x—^).

可将函数/。)的图象向左平移几>。个单位得到函数g(x)=2s讥［2Q+n)-刍的图象，

若所得函数为偶函数，

贝3T=/OT+/OT,k&z,即几="+驾kez,ac都不符合.

若向右平移n>0个单位，则所得函数9(久)=2s仇［2(x-n)-^］

若所得函数为偶函数，

即一2n—g=卜兀+akEZ,得?i=—工一等，kS.Z,

JZ12L

当上=一1时，n=%故只有。成立.

故选：D.

首先代入广a=0,求M的值，再化简函数/。）=2s出（2万7），再结合平移规律，以及偶函数的

性质，即可求解.

本题主要考查三角恒等变换，函数y=4si?i（3久+卬）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，

属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由bcosC+ccosB=2acosA结合正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,

则sin(B+C)=2sinAcosA,

又sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,且si也4W0,

则cosA=I，

又0<A<n,则A=

vBC,AC边上的两条中线分别为AM,BN,

1

一

一

2”

...AM•BN=(AB+AC)弓(BA+FC)=|(AB+AC)2-

=2B+AC），（-2AB+AC）=3（AC-2AB-AC•AB）

=1（52-2X22-5X2XCOS］）=3.

43

故选：c.

结合正弦定理及两角和的正弦公式求得4利用向量的线性运算及数量积的运算得宿.前二

^（AC2-2AB2-AC-AB）,求解即可.

本题考查平面向量的数量积与解三角形的综合，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意，No（#法=|N（），即©）嬴=|，

3

5730mg_5730(/n3—3/n2)上3

=In-,•••t==5730(3—患)«8138.

573028ln|—ln2

故选：B.

由题意，No©）嬴=|叫），即（；）嬴=,根据对数的运算性质求解即可.

本题主要考查函数性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

9【答案】AC

【解析】解：高中组得分分值依次为：72,75,70,68,70,76,75,80,81,70,77,

则众数为70,故A正确；

高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后分值为：72,75,70,70,76,75,80,70,

77,

平均得分为2（72+75+70+70+76+75+80+70+77）=等，故2错误；

初中组得分分值的极差为85-52=33,故C正确；

初中组得分分值比高中组得分分值的波动性大，则初中组得分分值的方差大于高中组得分分值的

方差，故。错误.

故选：AC.

根据众数的概念判断4计算出平均数判断B；根据极差的定义判断C,根据方差的意义判断0.

本题主要考查了众数、平均数和极差的计算，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解:4根据全称量词命题的否定形式可知，命题“以>3,2%-10>0"的否定是>

3,2%0-10<0",故A正确；

B：当x〉0时，3%+->23%--=4、3,所以2—3久—<2—4A/-3,

当且仅当3%=士时，即％=七时，等号成立，即充分性成立；

%3

反之，当2-3x—332-4/3时，则3%—4/^+320,

XX

所以必生口出20，即匹I七互>o,解得x>0,即必要性成立；

X%一

所以"x>0”是“2-3久一±42-4/^”成立的充要条件，故B错误；

X

b_a(c—b)—b(c—a)_c(a—b)

C.--

c—ac—b(c—a)(c—Z?)(c—a)(c—b),

因为c>a>b>0,所以a—b>0,(c—CL)(C—b)>0,

所以，——工＞0,故C正确;

c—ac—b

Da+m_a(b+m)—b(a+m)_(a—Z))m

l-b+mb(b+m)b(b-\-m)f

因为a>b>0,m>0,所以a—b>0,

照一罂〉0,故。正确•

故选：ACD.

根据全称量词命题的否定形式判断4根据充分必要条件的定义，结合基本不等式与解分式不等

式，即可判断B；利用作差法，判断CD.

本题主要考查了含有量词的命题的否定，充分必要条件的判断，不等式的性质的应用，属于中档

题.

H.【答案】BCD

【解析】解：连接BG，ADr,DiF,

■-E,F分别为BC,CG的中点,

•••EF〃BC\,

又幽〃Bq,

•••EF//AD1,A,E,F,D1四点共面,

连接GF,GM,MJ,AtF,

GF=MCr==<7,4/=J&C/+CF=3,

22

ArG+GF441尸2,

右。与GF不垂直,

••・&D与平面4EF不垂直，故A错误;

平面AEF截正方体所得的截面力EFA，为等腰梯形，

AE=FD]=S,EF==2/7,梯形的高为J（门产_（2言口）2=亨,

截面AEFDi面积为?x（C+2，―2）x亨=小故8正确；

取力劣的中点H,贝加“〃4。1，

又ADJ/BCi，

,­•MH//BC1,M,H,B,G四点共面，

•­•MH//AD1,皿＜=平面AEFDi，MHC平面AEFD1，

•••MH〃平面AEFDi，

同理，BH〃平面AEFDi，

又MHCBH=H,MH,BHu平面M”BC「

平面MHBQ〃平面AEFDi,

由题意知，满足MP平行于平面4EF的点P的轨迹为等腰梯形M”B&,

BH=MG=屋,MH=C,BC、=2V-2-

则点2的轨迹总长度为8"+“。1+用”+8。1=2/亏+3/9，故C正确;

•­•EF//AD1,

NDiAM为异面直线AM与EF所成的角，

DrM=1,AM=y/~5,AD1=24，

由余弦定理得，cosNDMM=(乎于区-/=空，

12XAT5X2>T210

贝Usinz^iZM=

即异面直线AM与EF所成角的正弦值为字，故。正确.

故选：BCD.

由题意可得石尸〃4。1，A,E,F,必四点共面，结合勾股定理可判断与GF不垂直，即可判断4

平面4EF截正方体所得的截面4EFD1，为等腰梯形，求出面积可判断B；取力4的中点H,可证得

平面MH8G//平面AEFDi，由题意知，满足MP平行于平面4EF的点P的轨迹为等腰梯形MH8C1,

即可判断C；由EF〃/可知ND1&M为异面直线4M与EF所成的角，由余弦定理求解可判断D.

本题考查立体几何的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：由于/(X+1)为偶函数，则/(X)关于X=1对称，则fO+1)=/■(-X+1),故/(X)=

“2-尤)，

结合/'(4—x)=_/(%)可得,/(4-x)+/(2-x)=0,用2-乂取代比，得到/(%+2)=-/(x),

用比+2取代工,得到/'(x+4)=-f(x+2)=/(X),于是/(%)的周期为4,

由/⑺=f(2-%)可得/(—%)=/(2+%),结合"X+2)=—可得/(—%)=—f(%),故/(x)为

奇函数.

4选项，根据幕函数的性质，/⑺=3在％e［一1,0)上递增，根据奇函数性质，/⑺在［0,1］上递增，

又/(X)关于X=1对称，则/(尤)在［1,2］上递减，又/。)的周期为4,故/(尤)在［5,6］上递减，4选项错

误；

B选项，奇函数〃>)的定义域为R,故/(0)=0,由于的周期为4,故/(4)=/(0)=0,

由“4一久)=-/(%),取%=1得到/(I)+/(3)=0,取久=2,得到f(2)=0,

故/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,由于/(x)的周期为4,

故不警f①=505(/(1)+f(2)+f⑶+f(4))+/(l)+f(2)+f⑶=0,

C选项，先作出y=/(x)在［—2,9］上的图像，

若771=-1时，横坐标交点之和为9,

若Z72=1时，横坐标交点之和为15

若一1＜6W0,根据y=/(久)的对称性可得，交点的横坐标之和为2x(-1+3+7)=18,

故0＜瓶＜1,除了交点4之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：2x(1+5)=12,

设4的横坐标为a,则12+。=泉解得口=争当x6［0,1］时，/Q)=强，6)=4，

“X)-|伉幻有2个零点，。选项正确.

先根据题干中条件得f(x)关于久=1对称，从而推出外久)的周期性，奇偶性.4选项，根据奇偶函

数的性质结合周期性判断；B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和；CD选项，需借

助画出〃久)的图像，数形结合来处理.

本题考查了事函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出

函数图像，数形结合是解题的关键，属中档题.

13.【答案】3

【解析】解：若/（久）为偶函数，贝疗（一功=〃久），

sin（-2%）ln^||=1=（s讥2x）ln窘，

・•・（sm2x）（ln|^|+In-=0,即（s讥2%）••一，：：）=0,

'2x4-0—2%+“''、2%+力-2%+〃

2.x—3—2%—3

:.----------------=14,

2%+力一2%+5

整理得9—4%2=b2—4/,

.・.62=/即b=±3,

当力=一3时，f(x)=(sm2x)ln|^|,定义域为｛%|%H|｝,不关于原点对称，不符合题意，舍去;

3

或%>

当6=3时，/Q)=(sin2x)ln五有，定义域为｛x|x<2-关于原点对称，符合题意,

综上，b=3.

故答案为：3.

根据偶函数的定义，结合诱导公式与对数的运算法则，可求得b=±3,再分两种情况讨论，检验

即可.

本题考查函数奇偶性的应用，熟练掌握函数奇偶性的定义，对数的运算法则，诱导公式是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.【答案】

【解析】解：电器元件A，至少有一个能正常工作的概率为1-(1—期1—3=2，

J41Z

此电路不发生故障的概率为4x|=^.

1ZZZ4

故答案为：捷

电路不发生故障，则需电器元件看正常工作且电器元件A，72至少有一个能正常工作，然后求解

即可.

本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题.

15.【答案】|

【解析】解：①由正弦定理，3=旦今s讥B=%=±>二

sinAsinB772

故满足条件的B角有两个，一个钝角一个锐角，角B有两个解；

②由正弦定理，3=_匕今s^B=皆受=1，所以B=3,只有一个解；

sinAsinB13V3

故zn=2,n=1,2%+y=3,

i+|=1(2%+y)(i+|)=1(4+^+^)>|(4+4)=1.

当且仅当好当时取到等号.

xy

故答案为：

由正弦定理找到①②两组情况的角8分别有两个解和一个解，所以2x+y=3,再由代“1”法,

利用基本不等式求解.

本题主要考查基本不等式的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.

20AT5

16.【答案】71

3

【解析】解：由题意，△A/IQ,且=2,

设△ABC,△/$述1外接圆的圆心分别为M,N,半径分别为厂，G，则5=2,

77

AB=2,AC=4,^-BAC=

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos^BAC=12,则BC=2c,

由正弦定理得2r=.=4,-.r=2,q=1,

sinz5XC'

设棱台的外接球球心为。，半径为R,

B

2

在直角AAiN。中，A1N=r1=l,&。=R,ON=Vff-1，

2

在直角AaiM。中，41M=上=2,Ar0=R,0M=VR-4,

■-MN=1,VZ?2-1+V/?2-4=1）此方程无解；

若球心。不在棱台上下底面之间时，

O

2

在直角AAiN。中，A1N=r1=l,&。=R,ON=Vff-1，

2

在直角AaiM。中，AXM=r2=2,Ar0=R,0M=V/?—4,

MN=1,VZ?2-1-7R2-4=1，解得R=K，

则该棱台的外接球体积为U=，R3=竽兀.

故答案为：驾17r.

由余弦定理得BC,由正弦定理得△ABC外接圆的半径，进而得ATliBiG外接圆的半径，根据球心

。与棱台上下底面的位置关系讨论，列出关于外接球半径R的方程，求出R,进而得出答案.

本题考查棱台的结构特征，外接球的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题.

17.【答案】解；⑴片)=1出2-2,

5(/^))=5(-2)=-1X(-2)+4=5；

(2)若选择①，函数/(%)=log2%的定义域是(0,+8),单调递增，

g(x)=—+4在R上单调递减，并且f(4)=g(4)=2,

所以当0V%V4时，g(%)>/(%),当％>4时,

所以/i(%)=max{/(x),<g(x)]=[一/+4,0V%<4,

vlog2x,x>4

函数在区间(0,4)上单调递减，在区间(4,+8)单调递增，

所以函数九。)的最小值为八(4)=2；

(log2x,0<%<4

若选择②，八(久)==1，

1-2%十4,%N4

函数在区间(0,4)上单调递增，在区间(4,+8)单调递减，

所以函数h(久)的最大值为八(4)=2；

综上：若选择①，以久)的最小值为2；若选择②，以久)的最大值为2.

【解析】⑴先计算后)，再代入求值；

(2)不管选择①还是②，均先写出函数八。)的解析式，根据函数的单调性，判断函数的最值.

本题考查了对数的基本运算、对数函数的性质及一次函数的性质，属于中档题.

18.【答案】解：（1）三角形的面积S—BC=2xABxACxsm^BAC=|xACx?=3，^，

所以AC=4,

根据余弦定理，有Be?=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即8c2=9+16—2x3x4x（―力=37,

所以BC=V^7：

(2)由点。在BC上，满足前=2比，

得。=AB+~BD^AB+|fiC=XF+|(XC-XB)=|AB+|xC,

所以同2=柄+4-^2+寺通.南

即1=1+^|XC|2+^x|ZC|C0Sy,

整理为:宿2_||同=o,得|而|=|或0(舍),

所以SMBC^^XABXACXsinzBXC=：x3x?x^=号，

22228

_2_29口_3c

^LABD=3*^Ai4BC=§X8=4,

【解析】(1)首先根据面积公式求AC,再根据余弦定理求8C；

(2)首先表示向量而=:四+|前，再平方后求力C,根据面积公式，即可求解.

本题考查利用正余弦定理和向量的知识解三角形，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为数据在［20,40)内的频数为10,频率为0.1,所以?=0.1nn=100,

则4+10+46+a+20+4=100今a=16,所以%=盖=0.16；

(2)因为课外日均阅读时间在［60,80),［80,100),［100,120］的学生比例为16：20：4=4：5：1,

所以采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为［60,80),［80,100),［100,120］的学生中抽取

10人，

日均阅读时间在［60,80),［80,100),［100,120］的人数分别为4,5,1,则课外日均阅读时间不少

于80分钟的人数为6人，

抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率为白=0.6；

(3)这几名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为阅读达人，日均阅读时间在［100,120］的学生

人数为4人，

再从日均阅读时间在［80,100)的学生中选出6个阅读时间较长的人即可，

设6个人中阅读时间最短的是久分钟，则点亮=之今久=94,

1UU—oUZU

所以成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间至少94分钟.

【解析】(1)根据频率与频数的关系求解门，%的值；

(2)根据分层抽样的定义求出日均阅读时间在[60,80),[80,100),[100,120]的人数分别为4,5,1,

再利用古典概型概率公式求解即可；

(3)先判断“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间在[80,100)内，再结合比例关系列方程求解

即可.

本题考查频率分布直方图，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可知，函数的周期T='=2xg得3=2,/(%)=cos(2x+</?).

(Jl)L

所以氏)=cos(2x^+,)=1,\(p\<I，可得卬=冶，

所以/'(%)=cos(2x-1).

令2/OTW2x-JW2/OT+兀，解得：kn+<x<kn+^-,keZ,

363

所以函数的单调递减区间是即+,/ot+等，kez.

(2)方程/(x)—a=0有解，即a=/(x),xe>

2%_(€[一朗,§,所以/'(x)e[-[1],

所以实数a的取值范围是

【解析】(1)根据周期求3,再代入/吟)=