圆锥曲线范围问题含详解

圆锥曲线取值范围问题一、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系;③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.三、例题.设C为椭圆三+£=1的左焦点，直线y=kx+1与椭圆交于A,B两点.84（1）求|C4|+|CB|的最大值；（2）若直线y=kx+1与x轴、y轴分别交于M,N，且以MN为直径的圆与线段MN的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k的取值范围。【分析】（1）联立直线和椭圆方程，利用焦半径公式，结合韦达定理得到ICAI+ICB关于k的表达式，进而利用基本不等式求得最大值；（2）先根据直线的方程求得M,N的坐标，进而得到以线段MN为直径的圆的方程和线段MN的垂直平分线方程，解方程组求得圆与垂直平分线的交点坐标，利用点在椭圆内的条件得到不等式组求解即得k的取值范围.【详解】（1）x2+£=1的半长轴a=2%：2,半短轴b=2,8 4

半焦星巨c=-Ja?—£>2—J8—4—2,离心率设A(x,y),B(x,y),1 1 2 2联立y-kx+1心+2y2联立y-kx+1心+2y2-8=0'可得（11+2k27x2+4依-6=0,4k1+2公|G4|=a+ex=2v2+

i4k1+2公|G4|=a+ex=2v2+

i则|ca|+|cb|=4/+(i(2)依题意可知M--,0Ik所以圆的方程为+

kkJ|c§|=2&+学「，+%)=4人-2史V4应+1；2 1+2左2，N(0,l),)1( 1A1y(y-i)=0①，垂直平分线为，二一7x+—+—@^kI2kJ2(1A联立①②消去y,%+：%+\kJ1XH 1XH k?(1¥x~\ k2k)r0.nnnn % %2x1 1八即X2H H H H =0,k2k2k34k44/即14k?)(1 1A12+/即14k?)(1 1A12+—+—lk2k3XH 14M4=0,71=0,

71122k,2k一1=0,

71122k,2k一211 1 2k2112k211 1 2k2两个交点的坐标为111( 1 2k两个交点的坐标为111( 1 2k2’2k2J\11 1 2k21o 1 2k2)(1则可知3—4

[2k(1则可知3—4

[2kI12>48且3iiV 1 2k2J<8,4V6]JJ"6] 1s-S 13k34*6i/1/4\6Jl3k3即-啦+1s1l3k3即-啦+1s1s拽-1,解得k>2929四、好题训练.已知椭圆C:上+£=1(〃>0,b>0)的焦距为2v2，离心率为它.a2 b2 2(1)求椭圆c的标准方程;(2)若点A(0,1),点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值..已知椭圆的长轴长是2v3，焦点坐标分别是(-、；2,0)，«2,0).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线J=%+m与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围..在平面直角坐标系％0y中，已知点p到两点M«3,0),N(-、：3,0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线y=k+2与曲线C有公共点，求实数k的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Y2 、,2 /一一、一 ( 段「..已知椭圆C：土+2-=1(a>b>0),F,F为椭圆的左右焦点，P1,-三为椭圆上一a2 b2 1 2 I 2J点，且|pf|=,1.121 2(1)求椭圆的标准方程；⑵设直线/…=-2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，求tan/MAN最小值..已知圆锥曲线E上的点M的坐标(羽y)满足、(+、；3)+y2+\{―、5)+y2=2法.(1)说明E是什么图形，并写出其标准方程;(2)若斜率为1的直线l与E交于y轴右侧不同的两点A,B，求直线l在y轴上的截距的取值范围．.如图,点F1，F2分别是椭圆常+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A是椭圆C上一点，且满足A「x轴，/AFxF2=30。，直线AF1与椭圆C相交于另一点B.(1)求椭圆C的离心率；(2)若4人5尸的周长为4<3,M为椭圆C上任意一点，求OM.FM的取值范围.i.在平面直角坐标系xOy中，点D,E的坐标分别为(-2,0),(2,0),P是动点，且直线DP与EP的斜率之积等于-1.4(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知直线y=kx+m与椭圆：三+产=1相交于A,B两点，与y轴交于点M,若存在m4使得方+3砺=4OM，求m的取值范围..已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1.(1)求C的方程；(2)已知点A(x,y),B(x,y)在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为-1，求l在y轴上

11 22 2的截距的取值范围..已知圆F1：(x+1)2+y2=16,F2(1,0),P是圆F1上的一个动点，F2P的中垂线l交F1P于点。.(1)求点。的轨迹E的方程；(2)若斜率为k(k#0)的直线11与点Q的轨迹E交于不同的两点A,B，且线段AB的垂直平分线过定点(3,0),求k的取值范围..已知点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1)，直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率(1)求点M轨迹C的方程;(2)若过点D(2,0)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在D、F之间)，诙二九而，试求九的取值范围..已知平面内动点p与点A(2,0)和点B(%2,0)的连线的斜率之积为-1.2(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F(1,0)的直线l与曲线C交于M,N两点，且^M=九(1<九<1),求直线l斜S3△ONF率的取值范围..已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(,2<5)在抛物线C上.(1)若|MF|=6,求抛物线C的标准方程；(2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA1NB,原点O到直线AB的距离不小于，求P的取值范围..已知一动圆M与圆C:(x+2H)+y2=1外切，且与圆C：(x—2右)+y2=49内切.1 2(1)求动圆M的圆心M的轨迹方程E；(2)若过点A(1,0)的直线l(不与x轴重合)与曲线E交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分PQ线与x轴交于点N，求瑞的取值范围..在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+<3与椭圆E:"+x2=1相交于A、B两点，4与圆O:x2+y2=4相交于C、D两点.(1)若OC1OD，求实数k的值；(2)求|AB|・|CD|2的取值范围..已知点F(1,0)是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l交1抛物线与A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求万i•瓦的值；TOC\o"1-5"\h\z(3)如图，过点F的直线l交抛物线于C,D两点(点A,C在x轴的同侧，x>x)，且2 AC . S…11112，直线AC与直线BD的交点为E，记△EFC，aCFF的面积分别为S1，S一求二的2取值范围.Y2V2 / 、 (3)16.已知椭圆上+上=1(a>b>)的焦距为2,O为坐标原点，F为右焦点，点E1,-在椭a2b2 \2/圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线1的方程为x=4,AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交1于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R,直线QF交直线MO于点S.①证明：O,S,F,R四点共圆；S②记△QRF的面积为S,△QSO的面积为S，求不的取值范围.2S17.已知椭圆C：三+£=1左右焦点分别为F,F,P在椭圆C上且活动于第一象限，PP'4 3 12

垂直于》轴交》轴于乙0为PP,中点；连接"交》轴于M,连接空并延长交直线x=3于N.⑴求直线QF1与QF2的斜率之积;(2)已知点T(0,-1),求2MP^P+TQ2的最大值..已知①如图，长为2；3，宽为1的矩形ABCD，以a、B为焦点的椭圆M:x2+上=1恰2 a2b2好过CD两点②设圆(x+y3)2+W=16的圆心为S,直线l过点T(v3,0),且与x轴不重合，直线l交圆S于CD两点，过点T作SC的平行线交SD于M，判断点M的轨迹是否椭圆(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程；(2)根据(1)所得椭圆M的标准方程，若圆O:x2+山=1的切线l与椭圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为T，求OT|的最大值..在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0)，过动点p作直线x=-4的垂线，垂足为M，且AM-AP=-4.记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B、C.①若B为线段AC的中点，求直线l的方程；②设B关于％轴的对称点为D，求△ACD面积S的取值范围..已知离心率为上6的椭圆C:二+£=1(〃>b>0)经过点尸(3,1).3 a2b2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点p关于％轴的对称点为。，过点P斜率为k1,勺的两条不重合的动直线与椭圆C的另一交点分别为M，N(M，N皆异于点Q)若kk=1，求点Q到直线MN的距离的取值范12 3围..已知椭圆C：上+£=I(a>b>0)的左，右焦点分别为F,F,椭圆C上任意一点p到a2b2 12焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3(椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，则^ABF的内切圆面积是否存在最2大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由..已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点p是抛物线上横坐标为2的点，且|PF=3.(1)求抛物线的方程；(2)设直线l交抛物线C于M,N两点，若|MN|=4，且弦MN的中点在圆(x-a)2+y2=1上，求实数a的取值范围.

"如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「：手+下1的左、右焦点分别为FF2，设P是第一象限内「上一点，PF1，”的延长线分别交「于点Q，Q2.(1(1)求△与Q2的周长;⑵设1，4分别为△PFQ2，△PF2Q1的内切圆半径，求「2的最大值.24.设实数k00，椭圆D:菅+?;1的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ两点，若线段PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线％二3于点M.(1)若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标;(2)求证：MF±PQ；(3(3)PQ求MF的最大值.参考答案参考答案1.(1)(2)、后【分析】(1)由题意可得2c=2<2，e=c=—=—，求出a，再由b=vF；求出b，从而可aa2求得椭圆方程，(2)设B(%。,y0)，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可依题意，得2c=2<2nc=7r2，离心率e=—=^*=^~^na=2,aa2所以b=aa2-c2=<2，所以椭圆C的标准方程为=+匕=1.42TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"设B(x,y)，则％2+卑=1,则有-。2<y<<2oo4 2 o(y2)所以x2=41-4=4-2y2,oI2)o\o"CurrentDocument"/ 、 (y2) 、由两点间的距离公式，\o"CurrentDocument"得IAB|2=x2+(y-1)=41-4+(y-1)2

oo 2o由两点间的距离公式，k乙)=-"-2yo+5=-(yo+1)2+6因为—v2<y<v2,o所以当y=-1,%=±\5时，线段IABI的长度最大，为石.oo2.(1)—+y2=1；(2)-2<m<2.3【分析】(1)由已知得2a=2<3,c=<2，由此能求出椭圆的标准方程.(2)联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理能求出m的取值范围.【详解】

解：(1解：(1)由已知得2a=2v3,c=22，解得a=33, b2=3—2=1,•••椭圆的标准方程为二+y2=1.3y=%+m⑵由L2 1，-+y2=1解方程组并整理得4X2+6m+3m2-3=0，;有两个不同的交点二A=(6m)2-4x4x(3m2-3)=-12(m2-4)>0.解不等式得-2<m<2.••m的取值范围(-2,2).【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用.3.(1)%2+y2=1；(2)[kIk<-号或k>手,.47 [ 2 2J【分析】(1)根据椭圆的定义，即可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得b值，即可得答案.(2)联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得A>0，化简整理，即可求得答案.【详解】解：(1)由己知得|府|+|PN|=4>2<3=|MN|由椭圆定义可知，轨迹C是以M，N为焦点，焦距长2c=2J，长轴长2a=4的椭圆.所以b2=a2-c2=4-3=1，所以曲线C的方程是竺+y2=1.4.y=kx+2 (x(2)由L2 得Q+4k2)X2+16kx+12=0.-+y2=1A=(16k1-4x12xG+4k2)=64k2-48，因为直线y=kx+2与曲线c有公共点,所以A>0，即64k2-48>0，

解得k<_,，或k>早故实数k的取值范围是<k|k<(1)上+y2=12(2)4【分析】(1)设F(-c,0)(c>0)，根据题中条件求出c=1,得出忸勺|=当，根据椭圆的定义，求出a的值，再根据b2=a2-c2即可求出b的值，即可求出椭圆方程；⑵由题意直线油的斜率必定不为零，于是可设直线讨：x=。+1，设4t甲,b(x2,y之)，MN 2(t2+3)根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到tan/MAN=一=—=-AN\ tt2+1再根据基本不等式即可求出结果.解：设F(c,0),则忸F|=’(c-1)2+1=亘，所以c=1,即F(-1,0).2 ' 2' \ 2 2 1••・忸勺|=当，则由椭圆定义叫|+|PF2|=2a=2也，・•・a=22，则b=<0T-c7=1，故椭圆的标准方程为x2+y2=1；2x=ty+1解：由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB：xx=ty+1得(t2+2)y2+2ty-1=0,11,.设A(x,y),B(x,y)，由题意，A=412+4(t2+2)=8(t2+1)>0,11, -21由韦达定理入+y2==，x=ty+1=NNMN1AB,/.k=-1,/.|MN|=&+12--2=、1+12•2t2+6MN1AB,MN 12+2 12+2又|A^|=—|AB|=—x'1+12•|y-y|=\1+12•"l+,''2''2 '1 2' 12+2MfN\石(2+3)"j 2'lltanZMAN=^-==—. =拒《t2+1+- >拒•2拒=4|AN| t^+11 [ 7tT+7J当且仅当tt2+1=~^==即t=±1时取等号.⑴圆锥曲线E是以J3,。），3。）为焦点，长轴长为2、6的椭圆常+个=1（2）G,t3）【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；（2）由题可设直线l：y=%+m,联立椭圆的方程，利用韦达定理可得-3<m<-m,即求.(1)由题可知点m到定点。*;。）,（反。）的距离之和为2M，・••圆锥曲线e是以（”3,。）,（3。）为焦点，长轴长为2面的椭圆，所以其标准方程为"+维=1.6 3（2）设直线1：y=%+m，AGM），BS，〉2），1三+£=1 由<6 3 ，消去y，得3%2+4m%+2m2-6=。，y=%+mA=(4m1-4x3(2m2-6)〉。由题意，有卜+%=--〉。 ，解得-3<m<-石，TOC\o"1-5"\h\z1 2 32m2-6%%= >。12 3所以直线i在y轴上的截距的取值范围为6.(1)亘3

⑵]4,3+也_【分析】⑴结合已知条件，分别求出a、C与IAF2I的关系式，进而求得离心率；（2）结合（1）中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出M的坐标，然后利用数量积公式表示出OM.FM，最1后利用二次函数的性质求解即可.在Rt在RtAAFF中，12:/AFF=30。，12••・|AF卜2|AF2I,|FF2|=百AF2|,由椭圆的定义，2a=|AF|+|AF2|=3|AF2|,2c二百|AFj,，椭圆离心率e2，椭圆离心率e2a31AqTOC\o"1-5"\h\z△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=|AF|+|BF|+|AF|+|BF|=4a=4<3，则a=<3，21 1 2 1 1 2 2,•C33•e——=—，••c—1，b2=a2—c2=2，a3•椭圆C的标准方程为三+*—1,3 2可得F(-1,0)，设M(%,y)，则OM=(%,y)，学+车—1,1 00 o'，。 3 2•FM=(%+1,y)，0 0—X2+X+2 X20 0 30OM—X2+X+2 X20 0 301 0 0:-J3<%<<3，0所以由二次函数性质可知，当X=<3时，OM-FM的最大值为3+<3；0 1, 2 5当x=--时，OM-FM的最小值为了，\o"CurrentDocument"0 3 1 4所以OM-FM的取值范围是5,3+点.\o"CurrentDocument"1 L4 _7.

(1)上+y2=1(xw±2)4(2)(-1,-1)u4,1)2 2【分析】(1)根据直线DP与EP的斜率之积列方程，化简求得动点P的轨迹C的方程.(2)利用向量的坐标运算，由质+3QB=4OM得到\=-3元2，联立直线y二kx+m与椭圆：x2+y2=1，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于m的不等式，并由此求得m的取值4范围.设P(x,y)，则k.k= ——匕=-1(xw±2)，TOC\o"1-5"\h\zEPDPx-2x+2 4所以可得动点P的轨迹C的方程为x2+y2=1(x。±2).4设A(x,y),B(x,y),又M(0,m)，由OA+3OB=4OM得1 1 2 2x+3x,y+3y=0,4m，x=-3x1 21 2 1 2可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0=A=(8km)2-4x(4k2+1)x(4m2-4)>0，-8kmx+x= BP64k2-16m2BP64k2-16m2+16>0「.4k2-m2+1>0，4m2-4xx= 12 4k2+1又x1r 4又x1r 4km=-3x x= 2 2 4k2+1则x・x1 24km、 4m2—4=—3x2=( )2= 2、4k2+1 4k2+1.•.16k2m2—4k2+m2—1=0,7 m2-1 m2-1/.k2= 代入4k2-m2+1>0得 +1-m2>0,4—16m2 1-4m21<m2<1,解得mg(-1,-1)U(1,1).l" 乙 乙・二m的取值范围是(T-guJ」)2^ ^28．(2)(n，+⑹.【分析】⑴利用p的几何意义直接写出C的方程即得.(2)根据给定条件设出直线l及直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程，求出弦AB中点坐标，借助判别式计算作答.因抛物线C:j2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，则p=1,所以C的方程为j2=2x.依题意，设直线l的方程为J=-1%+b，直线AB的方程为j=2x+m，设A(%,j),B(x,八)，TOC\o"1-5"\h\z,j2=2x ... 1由\ 消去x得：j2-j+m=0，由题意知A=1-4m>0，得m<—，j=2x+m 4设线段AB的中点为N(x,j)，则j=^詈=1，再由j=2x+m，可得x=1-m，00 0 2 2 0 0 0421 11m 5m 5 11 9又点n在直线i上，则-=--(--m)+b，于是b=5-m，从而有b>5-1x1=-9，2 242 8 4 8 44 169所以l在j轴上的截距的取值范围为(-，+⑹.169．(1(1)(2)x2 j2—+—=1【分析】(1)利用椭圆的定义可求椭圆方程.(2)设直线l:j=kx+m,A(x,j),B(x,j)，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可1 11 22 门、 一 一求AB的中垂线的方程，结合其过-,0所得k,m的等式，结合判别式为正可得k的取值范13/围.(1)

由题意可知：IPQ।+|。勺|二|PFj=r二4,由F2P的中垂线l交F1P于点。，则|”|=1PQI,・・.|”|+”|=4〉IF吁2,则点Q的轨迹E为以F1,F2为焦点，4为长轴长的椭圆，即2a-4,2c-2,b2-a2一c2-3,TOC\o"1-5"\h\z・••点Q的轨迹E的方程为：上+2=1.4 3(2)设直线l:J-kx+m,A(x,y),B(x,y)，将y-kx+m代入椭圆方程，1 1 1 2 2消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12-0,所以A-(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)〉0即4k2-3m2+3〉0①，8km 6m由根与系数关系得x+x--，则y+y-k(x+x)+2m=—12 3+4k2 12 1 2 3+4k2 (所以线段AB的中点M的坐标为VTOC\o"1-5"\h\z八一，一、八，，、… 11 114km 1、3+4k23)又线段AB的直平分线4km 1、3+4k23)3m 1-—(4k2+3)②，3k由点M-—(4k2+3)②，3k即4k2+3km+3-0，所以m-由①②得(4k2+、9k2:4k2+3〉0,A4k2+3<9k2,所以实数的取值范围是7所以k2>3，即k<-三15或k>—,5 5所以实数的取值范围是710.(1)上+y2-1(x丰0),2(2)3-2<2<X<1且卜丰j.

【分析】(1)设M(羽y)，用坐标表示出已知条件即可得；TOC\o"1-5"\h\z(2)设F(x,y),E(x,y)，由瓦二九分得x,x的关系，y,y的关系，利用E,F都是椭1 1 2 2 1 2 1 2圆上的点，适合椭圆方程，可解得x，然后由―、2<x<22求得l的范围，注意题中有0<九<1，\o"CurrentDocument"1 1\。0，结合起来求得正确的范围.设M(x,y),则江1・上1=-1(x中0),,化简得x2+y2=1(x中0),此即为曲线C的方程;xx2 2设F(设F(x,y),

11EG2,y2)，+y2=1，由DE=XDF，得<1x—2=X(x—2)2 1y=Xy ，21TOC\o"1-5"\h\z<x2=Xx1-2^+2,E在椭圆上，则(九1一2九+2)2+(Xy)2=1,把y2=1-年代入得y=Xy 2 1 1 221X2 (-2X+2)2 X2x2 3X-1—x2—X(2X—2)x+ +X2 1-=1，解^^x= ",\o"CurrentDocument"21 1 2 2 1 2X由-2<x<<2得，—。2<3^—1<巨，解得3—2<2<X<3+2V2,1 2X又由于E在线段DF上，0<X<1,x1=0时，X=1，所以3—2v12<X<1且Xw1.11.⑴上+y2=1(w±.二)；2(-8,-1)口(1,+8).【分析】(1)设P(x,y)，且xw土、.;2，利用k•k=-1化简即可得动点P的轨迹C的方程;

PAPB2(2)设A(x,y),B(x,y)，直线l：x=my+1与椭圆方程联立可得y+y,yy,TOC\o"1-5"\h\z11 22 12 121+y» —4m2 Sy (y+y»yy 11―乙一= ，由X=不加k=——r, 二一乙一=二+4+2=—X——+2，可得yy m2+2S y2 yyyyX2 °Nb 2 12 2 1再解不等式可得m的范围，再求—X—1+2=二4^，根据X的范围求得-X-1+2的范围，X m2+2 再解不等式可得m的范围，再求-的范围即为直线l斜率的取值范围.m

(1)设P(x,y),整理可得：则k-kPAPB\o"CurrentDocument"yy y2 1 - == =——\o"CurrentDocument"x—(1)设P(x,y),整理可得：则k-kPAPB\o"CurrentDocument"yy y2 1 - == =——\o"CurrentDocument"x—<2x+<2x2—2 2所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=1(x丰土且),2(2)由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设A(x,y)，B(x,y)，直线l的方程为：x=my+1，x=my+1由《可得：(m2+2)y2+2my—1=0，所以y1+y：—2m -，yym2+2 12—1m2+2因为入=-tMF-SONF:,IOFI-Iy\:,IOFI-Iy21y，y2(y+y——1 2yy12「—&2+2力=±，L」m2+2(y+y——12yy

121 2——yy121-^：1八 —4m2所以—入—晨+2= ，Am2+24m2，m2+21因为y=入+T—2在-,1上单调递减

人137所以y=入k4<—，4m2 4二由 <-可得：—1<m<1，m2+23,,八一1 1所以直线l的斜率-<—1或->1.所以直线l斜率的取值范围为(-R,-1)u(1,+R).12.(1)y2=4x或y2=20x；「1A⑵|_6,+叶【分析】(1)由已知可得20=2pa，由抛物线的定义可得a+p-=6，解方程求得P的值即可求解；(2)设A(x,y),BQ,y)，联立直线x+尸t与产=2px，由原点。到直线AB的距离不1 1 2 2小于近可得t的范围，由韦达定理可得X1+x2、X1x2，利用坐标表示丽・丽二0可利用t表示P，再利用函数的单调性求得最值即可求解.由题意及抛物线的定义得：a+P=6，又因为点M(a,2<5)在抛物线C上，所以20=2又因为点Mp=1020=2paa20=2pa所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=20x.设A”,y1),B(Iy2)，TOC\o"1-5"\h\zx+y=t (x联立1消去y可得：x2-2(p+1)x+12=0,Iy2=2px则x+x=2p+21,xx=12,1 2 12因为NA1NB,所以丽・丽=1x-1)(x-1)+yy=(x-1)(x-1)+(t—x)(t—x)1 2 12 1 2 1 2=2xx-(t+1)(x+x)+12+1=0,12 1 2所以2t2-(t+1)(2p+2t)+12+1=0,可得2P=t2-2t+1,t+1由原点。到直线AB的距离不小于、：2,可得白>v2，解得t>2或t<-2,因为p>0，所以t<-2不成立，所以t>2,TOC\o"1-5"\h\z因为2p二t2-2t+1=t+1+二-4在h+8)上单调递增，t+1 t+122—2x2+11 1所以2p> 二一，所以p>,2+1 3 6 —J1 \即p的取值范围为",+8.L6 )

x2yx2y2—+—=116 8【分析】「|MC|=r+1 ill।（1）设圆M的半径为r，则［jMC117T，即可得到|MC^+|MC2|=8，即可得到点M的轨迹是以C,C为焦点的椭圆，求出a,b，即可得到轨迹方程；12（2）设l方程为：y=k（x-1），P（x,y）,Q（x,y），联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定11 22理，根据弦长公式表示出忸。|，再求出线段pq垂直平分线方程，从而求出An\，即可得到■二2\,［雪，再根据函数的性质计算可得;0MC1=r+1解：设圆M的半径为r，则0MCi|=7-rTOC\o"1-5"\h\z"MC|+|MC|=8>|CC|=4v21 2 12所以点M的轨迹是以C,C为焦点的椭圆，且a=4,c=2V21 2"b2=a2-c2=8所以所求轨迹方程为x2+y2=1.\o"CurrentDocument"16 8解：经分析，l斜率存在，设l方程为：y=k(x-1),P(x,y),Q(x,y)11 22'y=k(x-1)由<x2y2 消去y得：(1+2k2)x2一4k2x+2k2-16=0—+—=1〔1684k2 2k2-161 21+2k2121+2k2+x)2-41 21+2k2121+2k2+x)2-4xx2 12-2+1)(30k2+16)．．1+2k2-2kkx+y=k(x+x-2)= 12 1 2 1+2k2,PQ的中点坐标为

所以线段PQ垂直平分线方程为yl'IAN|=l"n-1=1m二需二2泮答=2X30”.，八 ” “ 14 ”,左w0 .•.k2+1>1 /.16<30 <30k2+1PQ,PQ,瑞的取值范围为k=±巨2[4,64)【分析】(1)求出圆心到直线l的距离为d=<2，利用点到直线的距离公式可求得k的值；(2)设A(%,y)、B(%,y)，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公1 1 2 2式计算出|AB|关于k的表达式，利用勾股定理可求得|CD|关于k的表达式，再利用不等式的基本性质可求得|AB|・|CD|2的取值范围.解：因为0c1皿且圆°的半径为2,所以点。到直线1的距离d二2s呜二,工.所以会二五，解得k=±m解：设A(%,y)解：设A(%,y)、B(%,y)11 22y2 ，消y整理得(4+k2)X2+2<3kx-1=0X2+ =14A=(2<3k)+4(4+k2)=16k2+16>0，所以x+x=-213k,%%=^^1 24+k2 124+k2

所以14剧=，1+k2•|x-x|=J1+k2-JCX-2后k]24+k2)4-2后k]24+k2)设圆心O到直线l的距离为d=~^=,1+k2所以|CD|=214-d2=2'4-所以|AB“CD|2=4•所以|AB“CD|2=4•240k2+4 =644+k2. 1 1 240・••k2+4>4，贝U0<k2^<4,所以，|4剧・|CDI2=64-k—^^g所以|A5|.|CD|2的取值范围为[4,64).15.y2=4x-3(3)(0,1)【分析】(1)根据题意得到p=1,从而得到抛物线C：y2=4x.(2)首先设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线y2=4x联立得y2-4ty-4=0，再利用韦达定理求解.(3)设A、”1(3)设A、”1L7Iy12 叩再利用韦达定理和S S-==△ECFS S2 △ACF|ec=jAc|求解即可.因为抛物线C：y2=2px(p〉0),焦点F(1,0),所以弓=1,解得P=2，所以抛物线C：y2=4x.设直线AB的方程为x=9+1,与抛物线y2=4x联立得：y2-4ty-4=0,由韦达定理得y1+y2=4t，y1y2=-4，所以x1x2=子子=町=1，所以。4・O5=xx+yy=-4+1=-312 12(3)1 22t 14 4Byi2所以直线(3)1 22t 14 4Byi2所以直线AC：y-I同理：直线bd：y=yy 12y+y12，即尸4x y+y124y+y12yyx+ 12y+y124y=4y= x+y+y1 2y』y= xy+y12y1+y24

—y1+y2解得x=-1。E设直线AC设直线AC的方程为:A(x,y),1 1x=myx=my+1ny2-4my-4t=0。y2=4x因为A>0，解得m2+1>0,y+y=4m,因为CF1AF,所以瓦定=G1-所以瓦定=G1-1)G2-1)+yj2=xx-(x+x12 1 2)+1+yy12161216m2+8t16+1-41=0，化简得：4m2=12—6t+1。因为y2S△ECF—■S△ACF_161216m2+8t16+1-41=0，化简得：4m2=12—6t+1。因为y2S△ECF—■S△ACF_4m—<16|ec||x-xIx2+1lx—x12|my+1+1|I肛+t-my2Tlb1—y2Im2+161 0八: ―2m—2Vm2+1，4\m2—t2m2+1+11

4\m2—t16.(1)(2)4、m2+14m\；16.(1)(2)4、m2+14m\；m2+122①证明见解析，②〔而1J.式0,1)【分析】(1)设椭圆的左焦点为F'，利用2a二|EF1+|EF|求解即可;(2)①设A(x,y),B(x,y),M(x,y)，直线AB的斜率为七由点差法可得直线MO……… 3的斜率为一瓦，然后根据斜率可证明PR1OQ、Qs10口即可得证;②由①可知：aQRF〜2SO,所以然后可算出|RF|2—1+k2S|SO|2—9②由①可知：aQRF〜2SO,所以，即可求得答案.,uS_|RF|2 9+16k2、_，即可求得答案.然后S2二府二忒编"记(1)设椭圆的左焦点为F',由题意可知F'(-1,0),F(1,0)根据定义，可求得2a—|EF1+|EF\―4,，a―2,Ab—行,

・,・椭圆的标准方程为日4(2)①设A（.1,C，B（十八）,MG。,y0），直线AB的斜率为k上+"二1则有14 3，作差得：二E+洋二4=0TOC\o"1-5"\h\zX2y2 4 3+与=1[4 3两边同除x-x，可得：x。+"•k=0，即k•匕=—3，i2 4 3 x403一、一3所以直线M。的斜率为-荻，M。的方程为y=-4x( 3\ 1所以P4,--，所以直线PF的斜率为-1，I k/ k((1\ —因为k•--=-1，所以PR1OQIk)由OQ//AB可求得Q（4,4k），所以直线QF的斜率为4k，.（3A4k因为-左•丁=-1，所以QS1OP4k）3综上，O，S，F，R四点共圆，OF为圆的一条直径.S RFI2②由①可知:aQRF〜©SO，所以--=②由①可知:S2|SO|2由于直线PF的方程为X+ky-1=0，直线OP的方程为3x+4y=0，由垂径定理可知，|RF|2二4•|SOI2由垂径定理可知，|RF|2二4•|SOI2=4•所以9+16k2_1_16(1+k2)—16(1丫2k2)16k29+16k2(16kk21+k2，又因为k牛0，A(9AJel百1JS （9A综上，丁的取值范围为（行,1A17.

(2)4v3+4【分析】⑴利用设而不求设出点P的坐标，再列式化简即可;(2)通过表示出各点坐标，再根据向量数量积公式进行计算化简，最后用参数方程得思想求解.(1)由题可知，F由题可知，F(-1,0)1F2(1,0).设p(x0,y0)，则Q(x0,y0)，子+*二1.所以kQF；所以kQF；5&33—x2二^4L= =-3.x2-4x2-400(2)2yx+°2，0所以M(0,三2yx+°2，0所以M(0,三)，N(3,

x+20k=QF24y 0—x-202yf，所以直线QF：x-2 1o2yy=07(x+1)，QF：x+2 202yy=—0r(x-1)，x-2o)诉=(x,%)，丽=(x-3,^4^4)

. 0x+2， 0x-200，，)0+1).所以2加•NP+TQ2=2x(x-3)+2-x0y0-6y0+x2+(y+1)2

00x+2x-2 4 0003-x2+3-x2+y2+3x+2y+1=40 0 0 0+3x+2y+1=3x0+2y0+4.00令x=2cos0，令x=2cos0，y=%3sin0(0<0<—)，则0 0 23x+2y+4=6cos0+2<3sin0+4=4<3sin(0+7)+4，0 0 3所以当0=7，即p(\：'3,3)时，

6 22MP-标+而2有最大值4<3+4.18.(1)选①：x2+y2=1；选②：x2+y2=1(y丰0),44椭圆挖去两个点；⑵|.【分析】(1(1)选①：由题意知c=<3，将0卜3，2代入椭圆方程结合3=a2-b2求得a和b的值即可/求解；选②：由圆的方程可得S(%3,0)，半径r=4，SC=SD=4，证明ZMTD=dDC可得MS+MT=MS+MD=SD=4，由椭圆的定义即可求解;⑵设P(x1,y1),Q(x2,y2)，T(x0,y0)，讨论直线l的斜率等于0时，不符合题意，直线1的斜率不等于0时，l的方程为：x=my+1，由直线与圆相切额的m,t的关系，与椭圆方程联立,由y联立,由y0=可，可得点T的坐标由OT2―x2+y2结合函数的性质即可求解.0 0【详解】（1）选①：由题意可知：（1）选①：由题意可知：A次0），BC3,0)，所以c—33，—1 ,—1 ,所以彳a24b2，解得:3―a2—b2=my+1=mx

0，所以椭圆M的标准方程为：x2+y2=1；4选②：由(+<3)+y2=16可得S(c3,0)半径r—4,由题意可得：SC=SD=4，所以ZSCD=ZSDC因为SC//MT，所以/SCD=/MTD，可得ZMTD—ZSDC,所以MD=MT，所以MS+MT—MS+MD—SD=4>ST=2<3，所以点M的轨迹是以2a=4，SG3,0）、T（回,0）为焦点的椭圆，所以c=<3，b2=a2—c2=4—3=1，所以椭圆M的标准方程为：上+y2=1（y丰0）；4（2）设P（x,y），Q（x,y），T（x,y），1 1 2 2 0 0当直线l的斜率等于0时，l的方程为：y=±1，此时直线l与椭圆只有一个公共点，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，l的方程为：x=my+1，t因为直线l与圆相切，所以 =1，即12=m2+1，vm2+1x=my+1 z、由<x2 可得：(m2+4)y2+2mty+12—4=0，~+y2=1贝UA=4m212—4(m2+4)(2—4)=16(m2—12+4)=48>0，—2mt 12—4y+y= ,yy= 1 2m2+4 12m2+4y+y —mt则y=4不与——0 2 m2+4贝°OT2=(X贝°OT2=(X+12)(X—3)(1)=-36Xl嚏J+9x1+1=-36--225,25+ <—,1616【点睛】所以当x=8即m=±2时，|0T|取得的最大值|.所以0T2=(16+m2)2 (16+m2)。2所以0T2=解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系;③利用基本不等式求出参数的取值范围;④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.(1)y2=2x；(2)①k2x+3y+2<2=0或”■①-3y+2v'2=0；②(8,+r).【分析】(1)设点P(x,y)，则M(-4,y)，利用平面向量数量积的坐标运算化简可得出曲线E的方程;(2)①分析可知直线1不与y轴垂直,可设直线1的方程为x=my-2,设点B(“1)、C(x2,y2)，将直线1的方程代入曲线E的方程，列出韦达定理，分析可知y2=2y/结合韦达定理可求得实数m的值，即可得出直线l的方程;②求出|AC|以及点D到直线AC的距离d，利用三角形的面积公式以及韦达定理可得出S关于m的表达式，结合m的取值范围可求得S的取值范围.【详解】(1)设PQ,y)，则M(-4,y).因为A(-2,0),所以疝=(-2,y),而=(%+2,y),贝|位.量=-2元-4+y2=-4，所以y2=2x，所以曲线E的方程为y2=2x；(2)①若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0.TOC\o"1-5"\h\z设直线l的方程为x=my-2，设点B(x,y)、C(x,y),1 1 22\o"CurrentDocument"fx=my一2 、由< 得y2-2my+4=0，所以A=4m2-16>0，解得m<-2或m>2,y2=2x由韦达定理可得y+y=2m,yy=4,1 2 12因为B为线段AC的中点，所以y=2y.21一. .一 2m （2m、2所以，y+y=3y=2m，可得y=—,yy=2y2=2x—=4,12 1 13 ，1，2，2I3J解得m=±九2，满足A>0,2所以，直线l的方程为x=±手y-2，即『2x+3y+2v2=0或<2x-3y+2v2=0；②因为点B、D关于x轴对称，所以D（x，-y）,1 1于是点D到直线l的距离为d=\tm1^2=上mL,\1+m2 <1+m2又|AC|=J1+m2.|yI,所以S=；|AC|-d=|my1y2|=4|m|>8,因此，△ACD面积S的取值范围是（8,+8）.方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.(1)三+匕=1；(2){d\0<d<2^3°}.124 5【分析】(1)由椭圆的离心率、所过的点及椭圆参数关系求椭圆参数。、b，写出椭圆方程即可.(2)设PM：y=kG-3)+1并联立椭圆方程，可得％关于k的表达式，同理得x关于k1 M1 N2的表达式，结合已知得X,关于勺的表达式，进而求也、{，写出MN的方程及。的坐标，应用点线距离公式及对勾函数的性质求范围，注意k、k的取值对范围的影响.12【详解】(1)由题意：e—c= ,—+~=1,a2—b2+c2，得：a2=12,b2=4，a3a2b2・.・椭圆的标准方程为：=+22=1;124(2)设过尸(3,1)的直线PM的方程：y=k(x-3)+1,1

与椭圆联立，整理得G+3k2)x2+(6k—18k2)%+27k2—18k—9=0,得kw—1，

1由A=(6k—18k2)—4G+3k2)(27k2—18k—9)〉0，即(k+1)2得kw—1，

1由题设易知：kw0,—1,—13%M27k2—18k—9 1 1 1+3k21，即xM9k2—6k—3——1 1 1+3k21，同理9k2—6k——2 21+3k22由kk12可得Xn—9k2—6k+由kk12可得Xn一yM=k(x1M-3)+1=—3k2—6k+1 1 1 1+3k2113k1(X-3)+1=3k12-6k1-1

N 1+3k21・•・kMN故直线MN的方程为y3k2—6・•・kMN故直线MN的方程为y3k2—6k—1 11+3k21—9k2—6k+3，整理得：2 24knx+3y+ 1-=0,1+3k2 ，1由题意知：Q（3,-1），点Q到直线MN的距离I24kJ1+3k224I+3kIk*1―—<24=^ ==—<30」02，：35当且仅当T=3kk1

1即k=+立取等号,而k1k2=3，此时k1=k2，与题意矛盾,y，一匕—M NX—XMN・•・等号不成立，即d<2V30，综上：｛d\0<d<21．%2y2（1）—+ =1（1）433—兀16【分析】（1）根据椭圆中距离的最值关系以及通径长度可得椭圆方程；=ly-yI，设直线方程，联立方=ly-yI，设直线方程，联立方1 2△ABF1 ABFx程求最值.(1)解：由已知得a+c=3（a-c）,得a=2c,所以b二<3c,又椭圆通径长为3,所以也=3,a解得c=1,a=2,b=於，椭圆方程为三+汇=1；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 3（2）2£ 2£ £解：由已知可得内切圆半径r=-^BF=十"二寸，当r取最大值时，圆面积最大，故C 4a 4叫当£取最大值时，圆面积最大，△ABF1由已知可得直线斜率一定存在，设直线方程为元=my+1，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"［上+y2=1 （ \联立\4 3 ，得V3m2+4）y2+6my—9=0，A>0恒成立，x=my+1\o"CurrentDocument"6m —9\o"CurrentDocument"y+y= ，yy= ，1 2 3m2+4 123m2+4所以£ =~Iffl-ly—y1=ly—yl=\（y+y）2+4yy=^Lm2_±l，邛212 1 2 1 2 1 2 12 3m2+4 61 6 ― 记设、/m27T=t，则\bf：E==7-"3，当且仅当t=—时取等，1 3t+ 3t止匕时r=S,4BF1=—，S=兀r2=K，4 4圆163即内切圆面积的最大值为-兀.16【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）y2=4x（2）［0,2］【分析】（1）根据抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求得答案；（2）设出直线/，并代入抛物线方程化简，通过根与系数的关系得到|河|和线段的中点公式，进而将中点坐标代入圆的方程，然后将所得式子化简，最后通过函数求值域的方法求得

答案.抛物线的渐近线为l=-弓，由抛物线的定义可知，2+£=3np=2，则抛物线的方程为:TOC\o"1-5"\h\z设直线l的方程为%=ty+m,M(%,y),N(X,y).将直线l的方程与抛物线的方程联立，1 1 2 2得y2-4ty-4m=0，于是6=16(2+m)〉0，y+y=4t，yy=—4m，12 12且|MN|=J1+12|y1—yJ=J1+12-J1612+16m=4，化简得(1+12)(2+m)=1①.设弦MN的中点为G(%,y)，则fo=2t=+m，将点G的坐标代入圆的方程，得00 y=210 0(212+m—a)+412=1，且412<1,, 、，一一， 1 、2由①代入消兀，消去m，得12+——-a+4t2=1.一」1 \2于是s+ 1一」1 \2于是s+ 1—aIs=5—4s，解得a=s+ <5—4s—1或a=a=s+ +v5—4s—1.s若当a=s+ <5—4s—1时s由对勾函数性质可知，函数y=s+1在1，4上单调递增，所以a随s单调递增(增+增)， 一/、 1 若当a=s++<5—4s—1时，令f(s)=s++<5—4s—1,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s s则f，(s)=1- .2