人教版八年级数学上册 轴对称同步课时训练

轴对称同步课时训练

知识点一：轴对称的有关概念

1.如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这

样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这

个图形关于这条直线（或轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，

那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之

后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。

整痴

1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；

2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后

者是一个图形。

3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。

题型一:轴对称图形的判断

【例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,

下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是（）

①②③④

A.①②③B.②③④C.③④①D.④①②

分析：图形沿一条直线折叠-一相互重合一-轴对称图形一一判断

举一反三:

1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.角B.等边三角形C.线段D.不等边三角形

2、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.两条相交直线B.线段

C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段

3、下列英文字母属于轴对称图形的是（

A、NB、SC、LD、E

4、下列说法中，正确的是（）

A.两个全等三角形组成一个轴对称图形

B.直角三角形一定是轴对称图形

C.轴对称图形是由两个图形组成的

D.等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

题型二：找轴对称图形的对称轴

【例2】等腰三角形的对称轴条.

举一反三：

1、下列说法中，正确的个数是（）

（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）

两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称,

（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

2、轴对称图形的对称轴的条数（）

(A)只有一条(B)2条(C)3条(D)至少一条

3、正五角星的对称轴的条数是()

A.1条B.2条C.5条D.10条

4、下列图形中有4条对称轴的是()

A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

常见图形及其对称轴：

名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置

线段是2条垂直平分线或线段所在的直线

角是1条角平分线所在的直线

长方形是2条对边中线所在的直线

正方形是4条对边中线所在的直线和对角线

所在的直线

圆是无数条直径所在的直线

平行四边形不是。条

小结：

轴对称轴对称图形

区①指两个图形而言；①对一个图形而言；

别

②指两个图形的一种形状与位置关系。②指一个图形的特殊形状。

联①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；

系

②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把

轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

知识点二：线段的垂直平分线

1、线段垂直平分线的概念：

(1)垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；

(2)线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

2、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。

3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：

(1)“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两

条线段相等；

(2“到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判

定一点在线段的垂直平分线上；

(3)“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是

该线段的垂直平分线。”的作用是：垂直平分线的判定。

题型一:线段垂直平分线的性质

【例3】如图1,在4ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,

A

交AC于点E,ZXBCE的周长等于50,求BC的长.八

BC

图-1

点评：此题是4ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分

线与BC相交时，（如图2）,对应的是4ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图

形变化，但结论不变.

图-2

举一反三：

1、如图1,在aABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若NBEC=70。，

则NA=?

点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法，图2中也能

得出相应的结论：NAEC=2NB.

【例4】如图3,在4ABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交

BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.A

(1)求4AEN的周长.

(2)求NEAN的度数.—A4---------------V——

(3)判断4AEN的形状.'图一3/

举一反三：

1.如图4,在AABC中，AB=AC,BC=12,NBAC=130°,AB的垂直平分线交BC边

于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1)求4AEN的周长.

(2)求NEAN的度数.

N

(3)判断4AEN的形状.

图一4

2.如图，己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm,BC=10cm,

A

NA=49°,求aBCE的周长和NEBC的度数.

BC

【例5】如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若NABC=50。A

求NADC

举一反三：

1.如图，4ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,NA=30°,ZACB=80°,求NCBE

c

D

AEB

2.如图，AABC内有一点D,且D为直线AB、AC垂直平分线的交点,

若NDAB=20°,NDAC=30°,则NBDC的大小是（）

A.100°B.80°C.70°D.50°

题型二:线段垂直平分线的判定

【例6】如图所示，RtZkABC中，D是AB上一点，BD=BC,过D作AB的垂线交AC

于点E,CD交BE于点Fo求证：BE垂直平分CD。（用定义法和判定定理法两种

方法）

【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗?

【例7】如图，在AABC中，D为BC边上的一点，AD平分NBAC,且DEJ_AB于

点E,DF_LAC于点F,连接EF交AD于点G,求证：AD垂直平分EF。A

举一反三:

如图所示，AB>AC,NA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作两用与于

E,。吐1工C于尸，求证：BF=CG。

知识点三：轴对称与轴对称图像的性质

1、轴对称的性质：

（1）关于某条直线对称的图形是全等形；

（2）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点

在对称轴上；

(4)如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于

这条直线对称。

2、轴对称作(画)图：

(1)画图形的对称轴

(2)如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是

该图形的对称轴。

(3)画某点关于某直线的对称点的方法

(4)画已知图形关于某直线的对称图形

(1)全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。

(2)性质(4)的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图

形的主要依据。

【例8】如图，AABC和AA'B'C'关于直线对称，下列结论中：

①AABC丝AA'B'C':②NBAC'丝NB'AC;③/垂直平分CC，;

④直线BC和B'C'的交点不一定在/上，正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

A

C

BB'

举一反三：

1、如图,△ABC与△A”。关于直线I对称，则NB的度数为（）

A.50°D.90°

2、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若NAFC+

NBCF=150°,则NAFE+NBCD的大小是（）.

A.150°B.300°C.210°D.330°.

【例9】如图，点P在/AOB内，点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO

的对称点，若4PEF的周长为15,求MN的长

等腰三角形专题讲解

【知识精读】

（-）等腰三角形的性质

1.有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等

腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形

是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2.定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边

相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的

中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，

两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边工）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半。

2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相

等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,

是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰

三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明

线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边

上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平

分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解析】

【例1】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上

一点，且CE=CD,DM1BC,垂足为M。求证：M是BE的中点。

【例2】如图，已知：AABC中，AB=AC,D是BC上一点，且

AD=DB,DC=CA,求NBAC的度数。

［例3］已知：如图，AABC中，AB=AC,CD_LAB于Do求证:

ZBAC=2ZDCB。

4、中考题型:

1.如图，ZXABC中，AB=AC,ZA=36°