三 函数综合问题（一次函数+反比例函数）-简单数学之2022年中考二轮复习（解析版）（全国适用）

专题三函数的综合问题专题三函数综合问题（一次函数+反比例函数）

一、以一次函数为背景的综合问题

例题（2021•黑龙江•哈尔滨市第十七中学校二模）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=

3

-m奸3分别交x轴，y轴于点4B.回OBA的外角平分线交x轴于点D.

4

（1）求点。的坐标；

（2）点P是线段8D上的一点（不与B,。重合），过点P作PC0BD交x轴于点C.设点P的横坐标为t,0BCD

的面积为5,求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点£,8c的延长线交DE于点F,连AP,若sin团8Ap=噜，

求线段。下的长.

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题;

（2）求面积先求底和高，利用三角形相似二次求解：

（3）先根据NfiAP的正弦值求出点尸的位置，再根据题目的顺序求出点尸的坐标，最后求。尸的长度.

【详解】

解：（1）过点。作。于点”，

则：DH=DO,BH=BO,

；•当x=0时，y=3；当y=0时，x=4,

A(4,0),8(0,-3),

.-.OA=4,BO=BH=3,

AB=7(M2+OB2=V42+32=5，

AD=DO+OA=DH+4,

S^^ADOB^ABDH,

：.-(DH+4)-3=--5DH,

22

解得：DH=6,

OD=6,

•・•点。的坐标为《0）.

（2）过点P作PE_LQD于点E,

则：ADPE^/SJDBO,

・丁点。在直线3。上，且点P的横坐标为

:.DE=t+6,

OD=6,OB=3,

/.BD=>JOD2+OB2=V62+32=345，

也PEs也BO,

.DPDE

"~DB~~OB'

DPr+6

--3^=~，

解得：DP=—(f+6),

2

PC上BD,

:."DCs1soDB,

.PCDP

一~6B~~6DI

...PC_2(6),

--6-

/.PC=£+6),

4

.•.5=-BDPC=--3>/5—(r+6)=—/.

2248

(3)过点P作？M_LAB于点A7,作PNtOB于点、N,

则：PM=PN,BM=BN,

设直线5。的解析式为：)，=履+伙攵。。)，

把。(-6,0),5(0,3)代入尸H+"得：

仿=3…，伏=0.5

,记解得：,&.

[-6K+o=0[b=3

.,点。在直线3。上，且点P的横坐标为

.(f,0.5r+3),

PM=—t,BM=3—(0.5/+3)=-0.5z,

:.AM=MB^AB=-O.5t+5,

.MPVio

sinZR4P=----=------,

AP10

.-tVio

"而一记’

AP=-JWt,

AM2+PM2=AP2>

(-z)2+(-0.5/+5)2=(-屈r)2,

解得：乙=一2,j与(舍)，

•.尸(一2,2),

PE工BD,

所在直线的％为-2,

设PE:y=-2x+a,

把点?(-2,2)代入，得：-2x(-2)+a=2,

ci=-2,

PE:y=-2x-2,

当X=0时，y=-2；y=0时，X=-1,

C(-1,O),E(0-2),

设DE:y=mx+n(tn*0),

把点。(-6,0),E(0,-2)代入，得:

1

-6/n+n=0-『m-——

«=-2,解得：3,

n=-2

..OE:y=—$—2①,

设BC:y=fev+c(bwO),

把8(0,3),C(-l,0)代入，得:

c=3b=3

—，解得:

c=3，

/.BC:y=3x+3②,

3

x=——

联立①②，解得：:

【点睛】

本题是一个综合应用题，考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、

解直角三角形等知识点的掌握情况，解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键.

练习题

1.(2021•吉林双阳•二模)如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为y=2x,y=kx,且点A在直线y=

2x上，点8在直线y=kx上，48取轴，AD取轴，8C0X轴垂足分别为D和C,若四边形A8CD为正方形时,

112

A.-B.-C.-D.2

423

【答案】C

【解析】

【分析】

设A（x,2x）,根据正方形的性质可得B（3x,2x）,将8（3x,2x）代入y=6中，即可求出k的值.

【详解】

解：设A（x,2x）

回四边形A8CD为正方形

团AD=BC,AB=CD

8（3x,2x）

将B（3x,2x）代入y=日中

2x=3kx

2

解得

故选：C.

【点睛】

此题考查了一次函数的几何问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质.

2.（2021•山东槐荫•二模）如图，点B,C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A、。是x轴上两点，若四边

形A8C。是长方形，且A8：AD=1：3,则k的值是（）

4A=2X

2

9-

【答案】C

【解析】

【分析】

设点B的坐标为（m,2m）,结合矩形的性质可得出。A,AB,CD的长，由AB：AD=1：3可得出AD的长，

结合OD=OA+AD可求出。。的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出

k值.

【详解】

解：设点8的坐标为（m,2m）,CD—AB—2m,OA=m

04B：AD=1：3,

04。=3/48=6m,

国0D=0A+AD=7m,

团点C的坐标为（7m,2m）.

团点C在直线y=kx上，

团2m=7km,

।2

0k=-.

7

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，用字母表示出点c的坐标是解题的关键.

3.（2021・山东广饶•二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形。ABC满足点。在原点，点A坐标为（2,

0）,MOC=60。，直线y=-3x+b与菱形0ABe有交点，则b的取值范围是—.

【答案】0<b<9+^tttt0<b<y/3+9

【解析】

【分析】

作C/VOOA于点M,8崛。A于点N,求出8的坐标，然后代入一次函数解析式中，求出b的最大值，再将原

点代入一次函数解析式中求出b的最小值即可.

【详解】

解：作CMBOA于点M,BN^OA于点N,

回。M=g0C,

团在菱形。A8c中，A（2,0）,

⑦OC=OA=2=CB,

S1OM=1,

0C/W=y/（）C2-OM2=A/22-12=73-

0C（1,⑹，

06的横坐标为3,

^OABCB,

0B/V=CM=G,

团B的纵坐标也为G，即8（3,G）,

当y=-3x+b过。（0,0）时，b最小，最小值为0,

当片-3x+b过8（3,⑹时,b最大,

把8（3,73）代入y=-3x+b,

解得：b=6+9,

Elb的取值范围为：0《b4G+9,

故答案为：04b（白+9.

【点睛】

本题考查了菱形的性质和待定系数法，关键是求出点8的坐标.

4.（2021•湖北阳新•模拟预测）如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x,y轴交于A,B两点，点A的

坐标为（3,0）,过点8的直线交x轴负半轴于点C,且08：OC=3：1,在x轴上方存在点D,使以点A,8,

D为顶点的三角形与AABC全等，则点D的坐标为

y

7^

【答案】(4,3)或(3,4)

【解析】

【分析】

求出8、C的坐标，分BO平行》轴，8。不平行x轴两种情况，求解计算即可.

【详解】

解：将点A的坐标代入函数表达式得：0=-3+b,

解得：b=3

13直线AB的表达式为：y=-x+3,

回点B(0,3)

HOB：0C=3：1

0OC=1,

回点C(-1,0)；

①如图，当8。平行x轴时，以点A、B、。为顶点的三角形与AABC全等，则四边形BZMC为平行四边形

贝lj8D=AC=l+3=4,则点D(4,3)；

设直线D。'的表达式为：y=-x+n,

将点D的坐标代入y=-x+n中解得：n=7,

团直线D。'的表达式为：y=-x+7,

设点D'(m,7-m),

她，B,D'为顶点的三角形与E1ABC全等，

则8O=BC=5/i+F=^w2+(7-m-3)2,

解得：m—3,

故点D'(3,4)；

故答案为：(4,3)或(3,4).

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识.解题的关键与

难点在于分情况求解.

5.(2021・广东深圳•三模)定义：如图1,已知锐角m。8内有定点P,过点P任意作一条直线分别交

射线。4。8于点M,N.若P是线段MN的中点时，则称直线/WN是MOB的中点直线.如图2,射线。Q

的表达式为y=2x(x>0),射线。Q与x轴正半轴的夹角为回a,P(3,1),若MN为回a的中点直线，则直

线MN的表达式为.

【答案】y=-^-x+|

【解析】

【分析】

作MDBlx轴于D,PEHx轴于E,则PE〃皿，设M(m,2m),由题意得PE=m,由P(3,1)求得m=l,

即可求得N(5,0),然后根据待定系数法即可求得直线MN的解析式.

【详解】

解：如图，作MDfflx轴于。，PEHx轴于E,则PE〃州D.

DEMP।

团——=——=1

ENPN

MN=EN,即E为DN中点,

E)PE是△"/)可中位线

^PE=^MD,

0M是射线0Q上的点,

团设M(m,2m),

团MD=2m,

团P£=^MO=m,

团P(3,1),

^m=l,0E=3

团M(1,2)

0OD=1,则DE=OE-OD=2

^EN=DE=2

^0N=0E+EN=5

国N(5,0),

设直线MN的解析式为y=kx+b,

3%+b=1

把P(3,1),N(5,0)代入得

5k+b=0

k=--

2

解得

b=-

2

回直线MN的解析式为y=-yx+|,

故答案为：y--gx+5.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，求得N

的坐标是解题的关键.

6.(2021・山东・济宁学院附属中学一模)如图，在平面直角坐标系xQy中，MC。的顶点A,8的坐标分

别是A(6,0),8(0,4).直线/经过坐标原点，并与AB相交于点。.

⑴直接写出C点的坐标.

(2)若ZZXM=ZBOC,试确定点。的坐标及直线/的解析式.

⑶在(2)的条件下，动点P在直线/上运动，以点尸为圆心，P8的长为半径的.P随点尸运动，当P与

A8C0的边相切时，求出的半径.

【答案】(1)(-6,4)

(2)。点坐标为(得，号)，直线/的解析式为y=|x

⑶4或口叵或9-3行或9+3石

3

【解析】

【分析】

(1)根据平行四边形性质和A点坐标推出线段8c长度，求解：

(2)先证△DOA与一8OC相似，求出A。长度，再由与.8OC相似，求出AMHD长度，进而求出

。点坐标，代入直线/的解析式即可；

(3)分P与BC、OC、OA.AB相切四种情况讨论，画出图形逐个求解.

(1)

解：四边形ABCD是平行四边形，A点坐标为(6,0)

•••OA=BC=6

B点坐标为(。，4)

••.C点坐标为(-6,4)

⑵

OC=y]OB2+BC2=742+62=2万

四边形ABCD是平行四边形

ZA=ZC

;ZDOA=ZBOC

△004/XBOC

.ADOAnnAD_4

"~BC~'OC''6-2M

1Q

解得A。=方

y/lJ

NCBO=/BOA=90,ZDHA=90,ZA=ZC

/\AHD△CBO

18

・AHHDAD即AHHD二旅

~BC~OB~OC

6-4-29

解得AH=值，HD=—

/.OH=OA-AH=—

13

「•。点坐标为(1,需)

设直线/的解析式为>=区，代入。点坐标得意=鲁女

解得女后3

直线/的解析式为y=13x

⑶

山(2)知△ZXMABOC

^ODA=ZCBO=9Q.BPZ1AB

OPLAB

又AB//OC

OPLOC

设PCxgx)

，P与。点重合，此时圆心P到BC的距离为。8

P的半径是4；

②当OP与0C相切时，作轴于E,如图3

图3

P的半径是P8

OP=PB,AOPB是等腰三角形

EB=OE

，P点的纵坐标为gx4=2

34

在中令y=2,解得工=]

4

.J点坐标为(§,2)

。户的半径是当1：

PF=PB

-'­|x=J(jx_4)2+彳2

解得x=6+26或6—2石，代入至=

得P点的坐标为(6+2百,9+36)或(6-26,9-36)

PF=9-3石或9+36

。尸的半径是9-3后或9+36：

④当〈P与A8相切时，如图5

由直线/_LAB知，PD”B，即不存在以P8的长为半行的(P与。4相切

,此种情况的P不存在；

综上所述，满足条件的尸的半径为4或空3或9-36或9+3石

3

【点睛】

本题考查平行四边形性质、一次函数性质、相似三角形判定与性质、圆与直线相切等知识点，属于综合型

题目，难度较大，熟悉掌握并运用基本知识点，分情况讨论圆与平行四边形相切是解题关键，考虑不全时

容易出现漏解.

2Q

7.(2022•辽宁•东北育才实验学校模拟预测)如图，已知直线Zy=]X+§与直线匕：y=-2x+16相交于

点C,鼠〃分别交x轴于4B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线/八〃上，顶点F、G都在x轴上，

且点G与点8重合.

⑴求MBC的面积;

(2)求矩形DEFG的边D£与EF的长；

⑶若矩形DEFG从原地出发，沿X轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(04412)

秒，矩形DEFG与13ABe重叠部分的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

【答案】⑴36

（2）DE=4,EF=8

（3）当0St<3时，S=--t2+—t+—■当34t<8时，S=--t+—；当8VHi2时，S=-H-8t+48

333333

【解析】

【分析】

（1）把y=o代入乙解析式求出x的值便可求出点A的坐标.令x=0代入/2的解析式求出点8的坐标.然

后可求出AB的长.联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积.

（2）已知xD=x8=8易求D点坐标.又已知yE=yD=8可求出E点坐标.故可求出DE,EF的长.

（3）作CM2MB于M,证明RtHRG8团Rti3cMB利用线段比求出RG=2t.又知道S=5JBC-SjBRG-SJFH,根

据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式.

⑴

28

解：由彳犬+彳=0,得x=-4.

33

她点坐标为（-4,0）,

由-2x+16=0,

得x=8.

团8点坐标为（8,0）,

048=8-（-4）=12,

_28（

V=_XH—IX_5

由,33,解得<,

y=-2x+16［）'=6

团C点的坐标为（5,6）,

回5zABC=gAB・yC=；xl2x6=36.

⑵

回点D在〃上且xD=xB=8,

2,8

□yD=-x8+-=8,

团。点坐标为（8,8）,

又回点E在匕上且yE=yD=8,

团-2xE+16=8,

取E=4,

EIE点坐标为（4,8）,

0DE=8-4=4,EF=8.

⑶

①当04V3时，如图1,矩形DEFG与E1ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形C”FG）.

过C作C/WEM8于M,则RtSRGBSRt^CMB,

0RG=2t,

同理RtS\AFH&Rt^AMC,

AFHF

0---=----

AMCM

由⑴知C（5,6）,4（T,0）,

^AM=\-4-5\=9,CM=6,

I।2

^1S=SAABC-S^BRG-SAAFH=36--xfx2t--(8-t)x—(8-t)>

/，3

②当34<8时，如图2所示，矩形DEFG与蜘8C重叠部分为梯形HFGR,由①知，HF=|(8-t),

^Rt^AGR^Rt^AMC,

RGAGRG\2-t

0——=——,HPn一=-------,

CMAM69

2

(12-t),

1i22

05=—(HF+RG)XFG=JX[[(8-t)+—(12-t)]x4.

③当8s仁12时，如图3所示，矩形DEFG与MBC重叠部分为财GR,

由②知，AG=12-t,RG=|(12-t),

ii21

ZS=-AG»RG=-(12-f)x-(12-t)即S=§(12-t)2,

0S=-y-8t+48.

3

【点睛】

本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形

的相似等知识点.解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破.

4

8.（2021•浙江•诸暨市暨阳初级中学一模）如图，直线y=-§x+8分别与x轴，y轴相交于点A,点8,作

矩形A8CD,其中点C,点。在第一象限，且满足A8回BC=2如.连接BD.

（1）求点A,点B的坐标.

（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作E甩AD,交BD于点F,作直线AF.

①过点8作8G班F,垂足为G,当BE=8G时，求线段AE的长度.

②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF,将回DFP沿PF所在直线翻折，使得点。的对应点小落在线段

B。或线段AB上.直接写出线段AE长的取值范围.

备用图

【答案】（1）A（6,0）,B（0,8）；（2）①4；②0<AEW2或二<AE<5

2

【解析】

【分析】

4

（1）分别令y=-qx+8中x=0、y=0,求出与之对应的y、x值,由此即可得出点4点8的坐标;

(2)①由题意证=得出AF=AD,设BE=x,EF=0.5x,AE^W-x,即可求出线段AE

的长度；②N在线段A8上时：（考虑以F为圆心的圆与A8相交的情况）,分情况讨论即可.

【详解】

4

(1)令y=-§x+8中x=0,则y=8,

・・・8(0,8)；

4

令y=-§x+8中y=0,则x=6,

.•.A（6,0）；

(2)①由BE=BG,

.BF=BF,

：.\BEF=\BGF{HL),

^\BDA=^BFE=^BFG=^AFD,可得：AF^AD,

04=6,08=8,

/.AB=ylo^c+OB-=>/62+82=10-

又.4B0BC=2131,

BC=AD=51

.\AF=5,

设8E=x,EF=0・5x,AE=10-xf

在Rt^AEF中：(10-4+(0.5x)2=52,

可得x=6,AE=4；

②当次在BD上时，

当P与A重合时，AE最长，

即A尸！,3。时，AE最长，

AAFDABFAABAD,

DEAFAD1

DF1

---=—,

BF4

EF//AD,

AEDF1

---=---=-9

EBFB4

AE=（A3,

.•.当0<AEW2时，可把D0翻折到BD上;

当D0在线段A8上时：

当DP=£）0P时，M与A重合，

PF为AD中垂线，PF为ABAD中位线，

AE=5,

（若此时E再上移，以F为圆心，FD为半径作圆，与AB不会有交点，所以AE地火=5）；

当FE=F。时：以与E重合,

设EF=FD=x,则BE=2x,

BF=&,AE=\Q-2x,

由8F+尸£)=5石，得：y/5x+x=5y/5,

5625-5^5

X=——=-----，

x/5+l4

c25-5石575-5575-5

AE=lO-2x=——-——,n«|nJAE最小=——-——，

，当以在AB上时，§痒54A

2

综上，0<A£^2Bg5^-5<AE<5.

2

【点睛】

本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是理解题意,

熟练掌握相关性质.

9.（2021辽宁沈阳・中考真题）如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,直线）=履+15（%*0）经过点。（3,6）,

3

与X轴交于点4与y轴交于点B.线段8平行于x轴，交直线y=于点D,连接。C,AD.

4

（1）填空：k=.点A的坐标是（,）；

（2）求证：四边形0Aoe是平行四边形;

(3)动点P从点。出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点。为止；动点Q

同时从点。出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点。为止.设两个点的运动

时间均为t秒.

①当r=l时，一CPQ的面积是.

②当点P,Q运动至四边形CP4Q为矩形时，请直接写出此时t的值.

【答案】(1)-3,5,0；(2)见解析；⑶①12；②5-9或5+布.

【解析】

【分析】

(1)代入C点坐标即可得出及值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；

(2)求出A£>点坐标，根据8=。4,CD//OA,即可证四边形QLDC是平行四边形；

(3)①作C，_LOD了设出”点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出PQ的长

度即可确定ACPQ的面积；

②根据对角线相等确定尸。的长度，再根据尸、。的位置分情况计算出，值即可.

【详解】

解：(1)•直线>="+15(丘0)经过点C(3,6),

3%+15=6,

解得Z=—3,

即直线的解析式为y=-3x+15,

当y=。时，犬=5,

A(5.0),

(2).线段CD平行于x轴，

点的纵坐标与C点一样，

又QO点在直线y=；x匕

当y=6时，无=8,

即0(8,6),

:.8=8-3=5,

OA=5,

OA=CD,

又iOA//CD,

••・四边形QWC是平行四边豚

(3)①作C〃_LOD于H,

3

二设//点的坐标为(以了⑼，

4

.-.CW2=(m-3)2+(1/n-6)2,D//2=(«?-8)2+(1/n-6)2,

由勾股定理，得CH'DH'CD：

B|1(/n-3)2+(-w-6)2+(w-8)2+(-m-6)2=52,

44

24

整理得机•或8(舍去)，

..C"=3,

OD=y/82+62=10-

.•.当f=l时，PQ=OD-t-t=10-l-l=8,

:.S&CPQ=^PQ-CH=^x8x3=12,

(2),OD=10,

当晦出5时，PQ=10-2t,

当5利10时,PQ=21-10,

当点尸，Q运动至四边形CD4Q为矩形时，PQ=AC,

.AC=7(5-3)2+62=2A/10,

当魄小5时，10-2f=2而，

解得

当5剜10时，2r-10=2Vl(),

解得/=5+JS,

综上，当点P,。运动至四边形CP4Q为矩形时f的值为5-JiU或5+Jid.

【点睛】

本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的

关键.

10.（2021•黑龙江・哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线丁=h+&与x轴交于4与y轴交于C点，直

线8c的解析式为y=-：x+&,与x轴交于8.

K

（1）如图1,求点A的横坐标；

（2）如图2,D为8c延长线上一点，过D作x轴垂线于点E,连接C£,若CD=C4,设ACE的面积为5,

求S与k的函数关系式；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接。。交AC于点F,将.C"沿CF翻折得到△FCG,直线FG交CE于

点K,若3ZACE-NS9=45。，求点K的坐标.

图1图2图3

【答案】（1）-1;（2）S=g公-gk伏w0）；（3）（一1,得）.

【解析】

【分析】

（1）令y=0,求x；

（2）过点。作y轴的垂线，先证明NACB=90°,再由K型全等，得E点坐标，即可求出5与k的函数关系

式；

（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出ZDOE=2ZADE,再利用垂直

平分线性质构造2N4DE=NWE,通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标.

【详解】

解：（1）0直线y=丘+々与x轴交于A,与y轴交于C点，

田当x=0时，y=k；当y=0时，kx+k=0,得：x--l,12c（0,%）,A（-l,0）,

团点A的横坐标为-1.

（2）过点。作轴于点”,

00/710//,COLAO.

©/DHC=NCOA,

©NHDC+NDCH=90。,

2

对直线8C：当x=0时，y=k,当y=0时，x=k

ElB(V,0),

团03=公，

「OA1OCk1

0=—,-—-二-1

OCkOBk2k

又团ZAOC=NCOB=90。，

回△AOCs/\c,

©NOAC=NOCB,

0ZO4C+ZOG4=9O°,

目？OCB2OCA90?,即：ZACB=90°,

^AC±BD,Z£)C4=90o,

0ZDCW+ZACO=9O°,

a/HDC=NOCA,

又团0C=C4,

回ADHC丝ACOA(AAS),

©DH=OC,CH=AO,

团4T0),C(O^),

团C”=OA=1,DH=CO=k,

回石(一4,0),D(—k,l+k),

^AE=-l-(-k)=-l+kf

0S=--E4CO=--(Jl-l)-A:=-A:2--)ia^O),

2222

(3)连接AD,过AD的中点N作NMJ_A。交。E于点/W,连接AM,

(3)连接A£>，过AO的中点N作/W_LA。交£>E于点M,连接AW，

DCLAC,DELOA,

:.ZDEA=ZDCA=90°,

•••在四边形AEDC中，ZDE4+Z£>C4=180o,ZEAC+ZEDC=180°,

点A、0、E、C四点共圆，AD为圆的直径，点N为圆心，

:.ZACE=ZADE,

MN是AO的中垂线，

:.DM=AM,

:.ZADE=ZDAM,

:.ZAME=2ZADE,

DC=AC,

ZADC=45°,

NCDO=45°-ZADO,

X3ZL4CE-ZCZX>=45°,

.-.3Z4DE-(45°-ZADO)=45°,

即：3ZADE+ZADO=90°,

在AEDO中，ZADE+ZADO+ZDOE=90°,

zLDOE=2ZADE=ZAME,

设?1M=£>M=x,则：ME=DE-DM=\+k-x,

AE2+ME2=AM2,

2

(-1+k)"+(1+上一x)~=xf

1+攵2

解得:X=

\+k

...ME=I+"11C=2L

l+k1+Z

/DOE=ZAME,

/.tanZDOE=tanZAME,

1+&-l+k

器喷，即:

1+Z

解得：k=3,

.•.C(0,3),0(—3,4),E(-3,0),

4

直线0£>的解析式为：y=--x,

直线AC的解析式为：y=3x+3,

直线EC的解析式为：y=x+3,

9

4x=----

y-x13

由•3,解得：，

12

y=3x+3y=一

13

'点总，

点。和点G关于点C对称,

・•・G(3⑵，

7Q

・•・直线G/的解析式为：

45

y=x+3x------

17

由，79,解得：,

y=—x+—9

248y——

17

4s9

点K的坐标为(-有，万).

【点睛】

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理

进行角的转化等知识，是一个代数几何综合题.对于比较复杂的条件，需要学生学会将复杂的条件转化为

简单直接的条件，可以从等量关系，倍数关系入手.

二、反比例函数的综合问题

例题(2021•广东•珠海市紫荆中学三模)如图1,在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上移动,

13

且人8二1,过点A、8作y轴的平行线分别交函数9=一(x>0)与”=一(x>0)的图象于C、E和。、F,

xx

设点A的横坐标为07(?7/>0).

(2)连接C。、EF,判断四边形CQFE能否是平行四边形，并说明理由；

⑶如图2,经过点3和点G(0,6)的直线交直线AC于点4,若点H的纵坐标为正整数，请求出整数相

的值.

13

【答案】⑴(w+1,----),Cm+1,-----)>1；

m+lm+l

(2)不能，理由见详解；

⑶1或2或5.

【解析】

【分析】

(1)表示出D,尸的坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；

(2)再表示出C,E的坐标，求出CE,ZJF的长度，判定出CEwOF,因为CE//DF,从而四边形CCFE不

是平行四边形；

(3)先用m表示出BG的解析式，进而表示出H的坐标，最后根据一、是正整数，建立方程即可得出结

论.

⑴解：・・,设点A的横坐标为如且

13

:・D("7+1,----),F(加+1,-----),

m+\加+1

312

：.DF=---------=-----,

m+1+1m+l

/.S^ODF-x(m+l)x---=1,

2m+l

13

故答案为：(加+1,----),(〃7+1,-----)>1；

+1m+\

⑵解：不能，理由如下:

・・,设点A的横坐标为加，

AC(/n,上)，E—),

mtn

・312nL312

..CE-——=——,DF=----------------，

mmmm+\/n4-1/n+l

:・CE*DF,

丁CE//DF,

二四边形CD尸E不是平行四边形；

⑶

解：设直线8G的解析式为：y=kx+6,

将8("7+1,0)代入产kt+6得：k(/n+1)+6=0,

：.k-J

/w+1

二直线BG的解析式为：产--x+6,

+1

当x=nr时,y=—•/%+6=—―,

机+1"7+1

:,点、H(w,$),

m+l

V/??>0,

Aw+l>l,

,・•点”的纵坐标为正整数，

：.m+l=2或3或6,

或2或5.

【点睛】

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，用含参数表示线段和坐标是解题

的关键.

练习题

1.(2021,河北•高阳县教育局教研室模拟预测)如图是反比例函数》=士3和丁=-7」在x轴上方的图象，力轴的

xx

平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A,B,点P在x轴上.则点P从左到右的运动过程中，&APB

的面积是()

c.5D.从小变大再变小

【答案】C

【解析】

【分析】

设AB与J轴父于点C,连接OA>。艮根据题意可知SAAPB=SAAOB,再根据SAOB-SBOC+S入〃结合反比

例函数比例系数k的几何意义，即得出答案.

【详解】

如图，设4B与），轴交于点C,连接OA、OB.

由题意可知△4/>5和_4?8同底，等高，

••^^APB~八AOB•

*/S=SR+S=-x|-7|+—x3=5,

ACzoAnRIfUv.0c.AUCAOCII2

・q-5

••0APB—•

故选c.

【点睛】

本题考查反比例函数比例系数%的几何意义.掌握在反比例函数y=&/R0）的图象上任意一点向坐标轴作

X

垂线，这点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是gkl,且保持不变是解题关键.

2.（2021•山东滨州•一模）如图，O为坐标原点，四边形04cB是菱形，08在x轴的正半轴上，sinZAOB

C,（而+5,应-20）D.（加-9,4府-2。）

32

【答案】C

【解析】

【分析】

4

先作轴，FELx轴，再设点4的坐标，可表示。。，AD,然后根据sinNA08=不，求出tanZAQB,

4

进而求出团的值，即可求A/）,04,再根据菱形的性质得NC8E=N408,可知tanZ.CBE=—,设尸E=〃，

3

可表示BE,0E,可表示点F,再将点尸的坐标代入反比例函数关系式求出〃，可得答案.

【详解】

mm

4

VsinZAOB=-,

令AD=4xfAO=5xf

根据勾股定理，得勿_4〃2=3X，

・・・tanZ.AOB=—=

DO3

48

m3

Vm>0,

J.m=6.

二皿=至=8.

m

OA=yJOD2+AD2=10.

•.•四边形OAC8是菱形，

：.OB=OA=W,BC//OA.

：.NCBE=ZAOB.

4

tan/.CBE=tanZ.AOB--.

3

33

设则5£>=二。，龙=10+—a,

44

3

・♦・A10+一&a）,

4

3

・・・Mio+—a）=48,

4

解得：a=-20+4相（负数不合题意，舍去）.

3

/.OE二屈+5，

二厂（如+5,-20+4相）.

3

故选：C.

【点睛】

这是一道关于反比例函数和菱形的综合问题，考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，反比例函数

图象上的点等.

3.（2021•山东济南•二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对称中心恰好是原点O,已知点8坐

标是卜2?）,双曲线产g经过点A,则菱形ABCQ的面积是（）

25&

rD.25

2

【答案】C

【解析】

【分析】

过点A作轴于点E,过点8作8G_L4E于G,交y轴于点尸，设A(〃?,9](机＞0),可得AG=9—

Vm)m2

BG=m+2；再根据菱形的性质及勾股定理可得方程，解方程即可求得m的值，可求得。4AE,进而求得

04,AC；OB,BD；最后利用菱形的面积公式即可求得.

【详解】

解：过点4作AELx轴于点E,过点8作8GLAE于G,交y轴于点尸，如图,

二•双曲线y=9经过点A,

■X

...设则OE=,”，AE=-.

km)m

•••点8坐标是［2，|),

3

:.BF=2,0F=-.

2

aAa

:,GE=0F=—,AG=-----,BG=m+2.

2m2

・・•菱形ABCD的对称中心恰好是原点0,

：.AO=COtBO=DO,AOLBO,

由勾股定理可得：OB2^OA2=AB2.

：.BF2^OF2^AEhOE2=AG2^BG2.

2

即:22+I+(["+2)2,

得4m2—18=0,

解得：m=^^或"2=^^(舍去).

22

・・・。公还，心急=2&

2F

二OA=>!AE2+OE-=

：.AC=2OA=5y/2.

3丫5

,/OB=yjBF2+OF2=.22+2J一5

：.BD=2OB=5.

,,,S笺杉ABCD=gAC,BD=；X56X5=25”.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的

长度是解题的关键.

4k

4.（2021・广东深圳•三模）如图，在反比例函数y=—（x>0）的图象上有动点4连接。4y=-（x>0）