人教版高中数学选修2-2同步练习

一、选择题(本大题共7小题,每小题5分，共35分)

1.用S表示图中阴影部分的面积，贝氏的值是()

第8度图

【答案】D

【解析】

b

试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示/Jf(x)dx-/Bf(x)dx,然后根据定积分

的意义进行选择即可.

详解：

由定积分的几何意义知

区域内的曲线与X轴的面积代数和.

h

即JJf(x)dx-faf(x)dx

选项D正确.

故选：D.

点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关健是要注意在x轴下方的

部分积分为负(积分的几何意义强调代数和)，属于基础题.注意积分并不等于面积，当被积

函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.

2.一物体以速度2t(y的单位:m/s)做直线运动，则它在t与s到力4s时间段内的位移

是（）

A.31mB.36m

C.38mD.40m

【答案】B

【解析】

【分析】

利用定积分的物理意义解答即可.

3

【详解】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：J(3t2+2t)dt=(t3+1510=36.

o

故选：B.

【点睛】本题考查了定积分的物理意义；变速直线运动的物体在时间段内的位移可以利用定

积分计算，属于基础题.

3.以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v=40—lOt',则此物体达到最高时的

高度为().

160804020

A.—mB.—mC.—mD.-m

3333

【答案】A

【解析】

试题分析：物体达到最高时速度为o,^v=40-10t2=0.贝I」t=2,则所求高度应该为J(40T0t2)dt.

o

考点：积分的意义.

4.如图阴影部分的面积是()

【答案】C

【解析】

试题分析：阴影部分的面积为

—e~~底=[exdx—e~xdx=ex|Q+e~x|Q=e—1+——l=e+——2.

考点：定积分的应用.

5.做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力尸(x)=l+e',则质点沿着与Mx)相同的方向,

从点为=0处运动到点吊=1处，力尸(x)所做的功是()

A.1+eB.e

C.-D.e-1

p

【答案】B

【解析】

d^^d+eO(x+e?1=(1+e)—l=e.选B.

6.由曲线y=*和直线y=x+2围成的封闭图形的面积是()

107913

A.—B.-C.—D.—

3626

【答案】c

【解析】

【分析】

首先求出曲线与直线的交点，然后利用定积分表示围成封闭图形的面积，最后计算定积分.

【详解】由题意，曲线y=I和直线y=x+2的交点为(-1,1),(2,4),如图

所以围成封闭图形的面积为：J(x+2-x2)dx=(；x2+2x」x3)|；=；.

-1

故选：C.

【点睛】利用定积分求平面图形面积的步骤

(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;

(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案.

7.直线1过抛物线c：x?=4y的焦点且与y轴垂直，贝Ui与C所围成的图形的面积等于().

4816企

A.-B.2C.-D.

333

【答案】C

【解析】

试题分析：抛物线C的焦点为(0,1),直线l:y=l与抛物线的交点为(±2,1),因此

2，

S=Jf(l-x--)dx=(x-1-x3)|2^=-8.

-2

考点：积分的几何意义.

视频一

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

8.如图所示,f(x)=1抬inx,则阴影部分的面积是

【答案】五十2

【解析】

【分析】

71

由图象可得S=J(1+sinx)dx,再根据定积分的计算法则计算即可.

0

兀

【详解】由图象可得S=J(1+sinx)dx=(x-cosx)-cosn-(0-cosO)="+2,

o

故答案为：贝+2.

【点睛】利用定积分求平面图形面积的步骤

(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;

(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案.

9.汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a=-1.8m/s?刹

车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为.(保留小数点后两位)

【答案】21.95m

【解析】

1=0时，%=32km/h=—~吧%)/s=%/s,刹车后减速行驶，v(t)=K)+at=——1.8^.停

360099

一/、吊0,口400

止时，。(£)=0,则一一1.8£=0,得£=——s,

981

所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为

4.944.X

s=Jv(t)dt=J(8.89-1.8t)dt=j8.89t-1.8x^t2j|4^~21.95m.

oo

故答案为为：21.95m.

10.设a>\,若曲线y4■与直线y=0,x=\,x=a所围成的封闭图形的面积为2,则a=__.

X

【答案】e2

【解析】

【分析】

根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可.

【详解】；a>l.若曲线y=1与直线y=0,x=l,x=a,所围成封闭图形的面积为2,

X

a

.fl―

••I-dx—2»

1

(Inx)|J=2,

lna=2,♦♦a=e'.

故答案为：/

【点睛】利用定积分求平面图形面积的步骤

(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;

(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案.

11.如图所示，则阴影部分的面积是

【解析】

试题分析：由题意得，直线y=2x与抛物线y=3-2,解得交点分别为(-3,W)和(1,2),抛物线

10

y=3-x)与x轴负半轴交点(-而,0),设阴影部分的面积为S,则S=J(3-x2-2x)dx+J(3-xbdx

o-#

0百532

—J2xdx+J(3-xbdx=-+2有+9-2招=一.

-3-3

考点：定积分在求面积中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程

与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时

解答中注意图形的分割，在X轴下方的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和)，着重考查

了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题(本大题共2小题,共25分)

12.已知曲线G:/之x与Gjlf在第一象限内的交点为A

2

(1)求过点。且与曲线C相切的直线方程；

(2)求两条曲线所围图形(如图所示的阴影部分)的面积S

4

【答案】(1)2x丁-2=0.(2)-

3

【解析】

【分析】

(1)先通过解方程组求交点P的坐标，再根据导数的儿何意义求出函数在x=2处的导数，从

而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可.

(2)先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线G：/=2x与Cz：y=/x2所

围图形的面积.

【详解】解：(1)曲线G：/2x与G：y」就在第一象限内的交点为？(2,2),

2

片/2的导数为y，=x,则«之,而切点的坐标为⑵2),

・：曲线在=2处的切线方程为p-2之(才-2),即2x-y-2=Q.

2x

(2)由曲线与C：片32可得,两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),

.：两条曲线所围图形的面积

S父(夜手2"=(0拉#)|o4

【点睛】利用定积分求平面图形面积的步骤

(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;

(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案.

13.有一动点尸沿x轴运动，在时刻力的速度为Mt)3)2次速度的正方向与x轴正方向一致).

(1)一从原点出发,当tW时,求点P运动的路程；

(2)夕从原点出发，经过时间£后又返回原点，求力的值.

122

【答案】(1)—(2)6

3

【解析】

【分析】

(1)利用定积分的物理意义解答即可；

(2)由定积分的值为。可得解.

【详解】解：⑴由O=852/20,得0WtW4,

即当0W时,尸点向*轴正方向运动，

当t>\时,P点向x轴负方向运动.

故t=Q时，点?运动的路程s父(8i-212)dt-J^(8i-212)dt=(4t2-#)IX%叫洋

(2)依题意知,(②-2的d片0,即4/-，丸

解得1-0或t3，所以t的值为6.

【点睛】本题考查了定积分的物理意义；变速直线运动的物体在时间段内的位移可以利用定

积分计算.

14.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度r1)=27—0.93则列车刹车后前进多少米才能

停车()

A.405B.540

C.810I).945

【答案】A

【解析】

停车时y(e)=0,由27-0.9Q0,得t=30,

3030

所以s=Jv(t)dt=J(27—0.9t)dt=(27t—0.9t2)|^=405.

oo

故选A.

4

15.已知抛物线y=f-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为-，求a的值.

3

【答案】a=-1,或d=2.

【解析】

【试题分析】先作出y=x?-2x的图像，根据图像分析可知，要将a分成三类讨论围成区域.当avo

aa2a2

时，S=J(x2-2x)dx;当0<aW2时，S=-J(x2