2021年辽宁省沈阳市中考数学真题试卷（含答案解析）

2021年辽宁省沈阳市中考数学试题

考试时间120分钟，满分120分

一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分）

1.9的相反数是

A.—B.C.9D.—9

99

2.如图是由6个相同小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图

A.FF™B.Fkmc.FhD.rB第2题।

3.据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数

据3270000用科学计数法表示为

A.32.7X105B.0.327X107C.3.27X105D.3.27X106

4,下列计算正确的是

A.a4-a2=asB.6a—2a=4aC.a6^a2=«3D.(-a2b)2=-a4b2

5.如图，直线a,方被直线c所截，若，Nl=70°,则/2的度数是

A.70°B,100°C.110°D.

120°

6.信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min）,

数据整理如下：15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,对于这组数据，下列说法

正确的是ACt

A.众数是17B.众数是15C,中位数是17D.中位数是18

7.如图，ZXABC与△AIBICI位似，位似中心是点O,若OA:OAi=l:2,

则4ABC与△AIBICI的周长比是

A.1:2B.1:3C.1:4D.1：V2

8.一次函数y=—3x+l的图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.下列说法正确的是

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲，乙两组数据Sj=0.3,S£=0.（）2,则甲组数据更稳定

10.如图，Z\ABC是。O的内接三角形，AB=2g,ZACB=60°

结OA,OB,则0的长是

第10题图

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：ax2+2ax+a=

x—5<1

12.不等式组《的解集是________

3x-5>0

1O

13.化筒：(-------,---)•(x+4)=________

x-4x*-16

14.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=K（A#0）图象上的

x

一点，过A分别作AM，x轴于点M,AN，y轴于点N,若四边形AMON的面积为

12,则攵的值是

15,某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件。

经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销量相应减少4件，那么将销售

价定为元时，才能使每天所获销售利润最大

16.如图，Z\ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,四边形ABEF是正方形,

2

点D是直线BC上一点，且CD=1,P是线段DE上一点，且PD=—

3

DE,过点P作直线/与BC平行，分别交AB,AD于点G,H,则

第16题图

GH的长是

三、解答题（共82分）

17.（本题6分）

计算:(万―2021)°-3tan300+

18.（本题8分）

33

如图，在菱形ABCD中，点M,N分别是边BC,DC上的点，BM=-BC,DN=-DC,

连结AM,AN,延长AN交线段BC的延长线于点E。

（1）求证：AABM四^AND；

（2）若AD=4,则ME的长是。

19.（本题8分）

某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A、B、C依

次表示这三种型号），小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号

中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同。

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是;

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率.

20.（本题8分）

学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进

行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A,B,C,D四个等级，随机抽取了部分学

生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：

学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）在这次调查中一共抽取了名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是度；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少学生的成绩评定为C等

级。

21.（本题8分）

某校团体操表演队有6行8歹U，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列

数相同，求增加了多少行或多少列？

22.（本题10分）

如图，AB是00的直径，AD与。O交于点A,点E是半径OA

上一点（点E不与点O,A重合），连结DE交。O于点C,连结

CA,CB=若CA=CD,ZABC=ZD,

（1）求证：AD是。O的切线；

（2）若AB=13,CA=CD=5,则AD的长是。

23.(本题10分)

如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=Zx+15(kW\

0)经过点C(3,6),与X轴交于点A,与y轴交于点B。线段V/j/

CD平行于x轴，交直线y=于点D,连结OC,AD。

(1)填空：k=，点A的坐标是(，)；

第23题图

(2)求证：四边形OADC是平行四边形；

(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到

点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向

点O运动，直到点O为止。设两个点的运动时间均为f秒，

①当，=1时，Z\CPQ的面积是；

②当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时f的值。

24.(本题12分)

在aABC中，AB=AC,ZXCDE中，CE=CD(CENCA),BC=CD,ND=a,

/ACB+/ECD=180°,点B,C,E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD。

(1)如图1,点D在线段BC延长线上，则/ECD=,ZABP=(用含

a的代数式表示)；

(2)如图2,点A,E在直线BC同侧，求证：BP平分NABC；

(3)若/ABC=60°,BC=V3+1,将图3中的4CDE绕点C按顺时针方向旋转，

当BP±DE时,直线PC交BD于点G,点M是PD的中点，请直接写出GM的长。

25.(本题12分)

如图，面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线y=-/+/>x+c与x轴交于A,B两

点(点A在点B的左侧)，点B坐标是(3,0),抛物线与y轴交于点C(0,3),点P

是抛物线的顶点，连结PC。

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；

(2)直线BC与抛物线的对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点，

①当4QAB的面积等于4PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线/垂直于AQ,直线

]717

y=-x--交直线/于点F,点G在直线y=-x——上，且AG=AQ时，请直

3333

接写出GF的长。

第25题图第25题备用图

参考答案及解析

1.B

2.D

3.B

4.D

5.C

6.A

7.A

8.C

9.C

10.D

11.a(x+1)2

c\

ax+2ax+a

解：=a(a;2+2c+1)

=a(x-4-if

12.-Wx<6

3

解：

解不等式i-5<1,得：x<G,

5

解不等式3%—520,得：力》百，

O

5

则不等式组的解集为可(NV6,

o

13.1

18

•(x+4)

x—4x2—16/

18

r]­(a:+4)

x—4(x+4)(x—4)

x+4-8

•(a:4-4)

(a:-4)(w+4)

x—4

•(a?+4)

(x—4)(a?+4)

1

•(x+4)

x+4

=1

14.-12

...四边形4M'ON'的面积为12,

\k\=12,

•.•反比例函数图象在二四象限，

?.卜<0,

k=-12,

故答案为：一12.

15.11

设销售单价定为①元位》9),每天所获利润为g

元，

则y=[20—4(x—9)]•(x-8)

=-4①2+88/-448

=-4(a?-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售

利润最大，

，/1-5

16.―或一

39

•「ZXjBC中，AC=3,BC=4,AB=5

：,AC2+BC2=25,AB2=25,

/.AC2+BC2=AB2,

：,△AB。为直角三角形，

①当点。位于。点左侧时，如图：

设直线Z交BE于点Af,

BM

^MGB=AABC,

~BEDiE

又...四边形是正方形，且

PD\=^DXE,

o

BE=AB=5,LEBA=90°,

BM2

即

~T~3

解得：BM=―,

•」AMGB=NABC,

^EBA=AACB=90°,

GB_BC

'BM=AC'

GB_4

7r=宁

3

40

解得：GB=-->

5

AG=AB-GB=

■：l//BC,

：./^AGH^ABDy,

GH_AG

BDi=AB'

CDX=1,

BDi=BC—CD1=3,

,GH=1

3—5'

解得：GH=；；

o

.殁=i

"5一5’

5

解得：GH=市

y

15

综上，GH的长为不或万,

oy

17.【解析】2

原式=1—3x左+（逐一1）+2=1—g+g-l+2=2

3

7

18.【解析】(1)见解析(2)-

3

解：(1)证明：菱形ABCD中，NB=ND,AB=BC=CD=AD,

33

而BM=-BC,DN=-DC,所以BM=DN,

44

△ABM和aADN中，因为AB=AD,ZB=ZD,BM=DN,第18题图

所以△ABMgZ\ADN(SAS)；

33

(2)当AD=4时，BM=DN=-DC=-X4=3,贝!]MC=NC=L

44

pcCN114

因为AD〃CE,所以△ECNs/\ADN,所以一=——=一，所以EC=-AD=-,

ADDN333

47

所以ME=MC+EC=1+—=一.

33

19.【解析】

I

(1)

3

(2)如下表:

小辰AAABBBCCC

小安ABCABCABC

同一型号JJJ

由表知：他们选择同一型号的概率为

3

20.【解析】(1)80；(2)条形图如右图；(3)36°；(4)600.

解：(1)由图可知：成绩为A等级的有32人，占40%,所以样

本容量为32+40%=80人；

(2)求出成绩为B等级的人数为80*20%=16人，补全条形

图如图所示；

(3)D等占10%,扇形圆心角是360。*10%=36°：

(4)在被抽到的80人中，C等级24人，占30%,

以此估计全校2000人中评为C的可能有

2000X30%=600,即可能有600人。

21.【解析】3

解：设表演队增加了x行，则共有(x+6)行，(x+8)列,

依题意得：(x+6)(x+8)=6x8+51,

(x+17)(x-3)=0,

因为x+17/0,所以x=3,

答：表演队增加了3列.

22.【解析】（1）见解析；（2）—.

13

（1）证明：根据题意，；AB是直径，ZACB=90°,NB+N2=90°；

DC=AC,.,.ZD=Z1,又：ND=NB,

.•.Zl+Z2=90°,；.AD是切线.

（2）由勾股定理得BC=12,

作CG1.AD,VAACG^ABAC,

…“BC60

•.AG=AC------=—,

AB13

/.AD=2AG=—.

13

23.【解析】（1）Z=—3,A（5,0）；（2见解答；（3）①当.=1时，SACPQ=12；

②乙=5-加，t2=5+V10(均满足OWfWIO).

(1)直线y=Ax+15过点C(3,6),即3左+15=6,：.k=-3,

所以直线y=-3x+15与x轴的交点为A(5,0)；

(2)证明：；CD〃OA,点C纵坐标为6,...设D(X,6),

3

•直线y=—x过点D(x,6),二x=8,

-4

则D(8,6),CD=5,

又A(5,0),OA=5,/.CD=OA,

VCD/7OA,且CD=OA,四边形OADC是平行四边形;

第23题图

(3)点C纵坐标为6,则CD与OA之间的距离为d=6,

SOOADC=OA,d=5X6=30,则SACOD=—SOOADC=15，

2

分别作点C,D到X轴的垂线段CE和DF,则E(3,0),F(8,0),CE=DF=6,

AE=2,OF=8,在RtZ\ACE和RtZXODF中，分别求得AC=2M,OD=10；

①当/=1时，OP=DQ=1,PQ=OD-OP-DQ=10-1-1=8,

②记OD和AC的交点为点G,则OD和AC互相平分于点G,

又OP=DQ,；.GP=GQ,四边形CPAQ是平行四边形(对角线互相平分的四边

形是平行四边形)，

当OCPAQ是矩形时，只要PQ=AC=2A/10,

VOP=DQ=r(0W/W10),PQ=|OP+DQ-OD|=|2r-10|,

|2r-l(^=2V10,也就是27-10=2，16,或2—10=-2西

：.tt=5-710,r2=5+V10(均满足0<f<10)。

24.【解析】

解：(1);点D在线段BC的延长线上，.\NECD=180°~2a,

：.ZABC=ZACB=ZE+ZD=2ZD=2«,:.ZPBD=ZD=a,

当点A和E在BD同侧时，NABP=a,'

当点A和E在BD异侧时，ZABP=3a；

(2)证明：如图2所示，VCE=CD,/.ZE=Zl=a,

第24题图I

在4DEC中，VZECD与NE+N1互补，即N

ECD+2a=180°,

又NACB+NECD=180°,；.NACB=2a,

,

.AB=AC>.*.ZABC=ZACB=2a；

连结BD,VCB=CD,PB=PD,、、、，\\

丁'、Y

...点C,P都在线段BD的垂直平分线上，

直线PC就是线段BD的中垂线，

...点B,D关于直线PC对称，

又；P和C都在直线PC上，.，.BC和DC,BP和DP,它们关于直线PC对称,

即aPBC与4PDC关于直线PC对称，.IN2=Nl=a,

/.Z3=ZABC-Z2=2a-a=a,即N3=N2,，BP平分NABC；

(3)I•当NABC=60°时，.'.△ABC为等边三角形，

XBP±DE,PB=PD,.♦.△BPD是等腰直角三角、E

A%.

第24题图3

由(2)知，直线PC是线段BD的中垂线，即点G是BD的中点，且PG平分N

BPD,；.NBPC=45°,

BP与AC的交点为H,

由(2)知，BP平分/ABC,ABPlAC,

即APCH是等腰直角三角形，PH=CH=-AC=^^,

22

V3-V3+3V3+3V3+1373+5

BH=—BC=----------，BP=BH+PH=---------+---------=-.............,

24424