人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3

全册知能训练

目录

第1章Li知能优化训练

第1章1.2.1第一课时知能优化训练

第1章1.2.1第二课时知能优化训练

第1章122第一课时知能优化训练

第1章1.2.2第二课时知能优化训练

纺

第1章1.3.1知能优化训

笏

第1章1.3.2知能优化训

纺

第2章2.1.1知能优化训

笏

第2章2.L2知能优化训

纺

第2章221知能优化训

绮

第2章知能优化训

2.2.2笏

第章知能优化训

22.2.3纺

第2章231知能优化训笏

第2章232知能优化训

第2章2.4知能优化训练

第3章3.1知能优化训练

第3章3.2知能优化训练

人教A版高中数学选修2-3知能训练

知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.从/地到8地要经过C地和。地，从/地到C地有3条路，从C地到。地有2条

路，从。地到8地有4条路，则从4地到8地不同走法的种数是（）

A.34-2+4=9B.1

C.3X2X4=24D.1+1+1=3

解析：选C.由题意从A地到B地需过C、。两地，实际就是分三步完成任务，用乘法

原理•

2.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（）

A.3种B.6种

C.7种D.9种

解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3

种和1种，故购买方式共有3+3+1=7（种）.

3.（2011年高考课标全国卷）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,

每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

F4

解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3X3=9（种），其中甲、乙两

31

人参加同一个小组的情况有3（种）.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率尸=§=].

4.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有种.

解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6X6X6=

216种投法.

答案：216

♦♦谭时训练♦♦

一、选择题

1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一

套，则不同的配法种数为（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种

不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4X3=12

种不同的配法.

2.从力地到8地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火

车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为（）

A.1+1+1=3B.3+4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不对

答案：B

3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线（）

A.24种B.16种

C.12种D.10种

解析：选C.完

成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个人口进入时,

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个人口进入时，都分别有3种行车路线,

由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12种不同的行车路线，故选C.

4.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数。,6组成复数。+历，其中虚数有（）

A.30个B.42个

C.36个D.35个

解析：选C.第一步取6的数，有6种方法，第二步取。的数，也有6种方法，根据乘

法计数原理，共有6X6=36种方法.

5.从集合｛1,2,3,4,5｝中任取2个不同的数，作为直线圾=0的系数，则形成不同

的直线最多有（）

A.18条B.20条

C.25条D.10条

解析：选A.第一步取/的值，有5种取法，第二步取2的值有4种取法，其中当4=1,

8=2时，与/=2,8=4时是相同的；当/=2,8=1时，与/=4,8=2时是相同的，故

共有5X4—2=18（条）.

6.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相

邻出现，这样的四位数有（）

A.36个B.18个

C.9个D.6个

解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次.

第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；

第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；

第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.

故有3X3X2=18个不同的四位数.

二、填空题

7.加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有

4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有种.

解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4,由分步乘法计数原

理知，选法总数为N=5X6X4=120.

答案：120

祚'舍区

操餐

场教学区

厅

8.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分,

要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选，则有种不同的着色

方案.

解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色;

宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿

舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数

原理，共有6X5X4X4=480种着色方案.

答案：480

9.从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值

的个数为.

解析：（1）当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.

（2）不取1时，分两步：

①取底数，5种；

②取真数，4种.

其中Iog23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,

.•.N=1+5X4-4=17.

答案：17

三、解答题

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

10.8张卡片上写着0,1,2,…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成

多少个不同的三位数？

解：先排放百位，从1,2,…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百

位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的

数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法.由分步乘法计数原理，共可以组成7X7X6=

294个不同的三位数.

11.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土

地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？

解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2X1=6种不同种植方法.同理，黄瓜种在第

二块、第三块土地上，均有3X2X1=6(种).故不同的种植方法共有6X3=18(种).

12.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.

(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？

(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？

解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一

人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择.由分类加法计数原理，共有5

+6+4=15种选法.

(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一

人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人,有4种选择.由分步乘法计数原理，共有5X6X4

=120种选法.

(3)分三类：高一、高二各一人，共有5X6=30种选法；高一、高三各一人，共有5X4=20

种选法；高二、高三各一人，共有6X4=24种选法；由分类加法计数原理，共有30+20+

24=74种选法.

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.用1,2,345这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有（）

A.30个B.36个

C.40个D.60个

解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A；种选法；从余下的4个数中任选2个排

在三位数的百位、十位上，有蜀种选法.由分步乘法计数原理，共有A：x/=36个无重复

数字的三位奇数.

2.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为（）

A.720B.144

C.576D.684

解析：选C.（间接法）甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A1XA；;不考虑任何限制，6

人的全排列有A1

，符合题意的排法种数为：A^-A：XAl=576.

3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果

将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为（）

A.42B.30

C.20D.12

解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A:种；②两个新节目不相邻的插法有

A看种.故N=6X2+6X5=42.

4.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的

小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有种不同的放法.

解析：先装红球，且每袋一球，所以有AjXA：=96（种）.

答案：96

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.高三（1）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出

顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A1种，然后从6

个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有点种，所以共有A^A1=3600（种）.故选B.

2.某省有关部门从6人中选4人分别到4、B、C、。四个地区调研卜二五规划的开局

形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去Z地区，

则不同的安排方案有（）

A.300种B.240种

C.144种D.96种

解析：选B"地区有3种方法，其余地区有A券中方法，共有A；A=240（种）.

3.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

A.48个B.36个

C.24个D.18个

解析：选B.个位数字是2的有3A==18（个），个位数字是4的有3A：=18（个），所以共

有36个.

4.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）

A.ARAQB.AgAio

C.A尔D.A尔

解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙（加上边上空隙），先把老师排在9个

空隙中，有A；种排法，

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

再把8名学生排列，有A。种排法，共有A；XA：种排法.

5.五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，

符合条件的排法共有（）

A.48种B.192种

C.240种D.288种

解析：选B.（用排除法）将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A，种排法，而

女生可互换位置，所以共有A^XA；种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男

2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A；XA：（种），这时男生甲若插入中间位置不符合题

意，故符合题意的排列总数为AiXAi-A：XA^=192.

6.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）

A.36B.32

C.28D.24

解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A；XA*24（个）；②若5在中间三位，

共有A；XA；XA江12（个）.故共有24+12=36（个）.

二、填空题

7.5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有种.

解析：2/=48.

答案：48

8.3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有种坐法.

解析：第一步：摆5个空位置，OOOOO;第二步：3个人带上凳子插入5个位置之

间的四个空，有苗=24（种），故有24种不同坐法.

答案：24

9.5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有

种排法（用数字作答）.

解析：先让5名大人全排列有AW种排法，两个小孩再依条件插空有A彳种方法，故共有

内储=1440种排法.

答案：1440

三、解答题

10.7名班委中有4、8、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分

工.

（1）若正、副班长两职只能从4、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？

（2）若正、副班长两职至少要选/、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

解：（1）先排正、副班长有A：种方法，再安排其余职务有A1种方法，依分步计数原理，

共有A；A*720种分工方案.

（2）7人中任意分工方案有A；种，4、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有用

A]种，因此/、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A；—储屋=3600（种）.

11.用0,1,2,3,4,5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（3）能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？

解：（D符合要求的四位偶数可分为三类：

第一类：0在个位时，有Ag个；

第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A：种，十位和百位从余下的数字中

选，有与种，于是有用义蜀（个）；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A]XA：（个）.

由分类加法计数原理得：

共有A；+2AlXAi=156（个）.

（2）为5的倍数的五位数可分为两类：

第一类：个位上为0的五位数有A?个；

第二类：个位上为5的五位数有A；XA；（个），

故满足条件的五位数共有A?+A】XA：=216（个）.

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（3）比1325大的四位数可分为三类：

第一类：形如2口口口，3口口口，4口口口，5口口口，共有A1XA]

（个）；

第二类：形如14口口，15口口，共有A；XA；（个）；

第三类：形如134口，135口，共有A；XA；（个）.

由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：

A：XA?+A；XA：+A；><A；=270（个）.

12.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情

况下，各有多少种不同站法？

（1）两名女生必须相邻而站；

（2）4名男生互不相邻；

（3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；

（4）老师不站中间，女生不站两端.

解：（1）2名女生站在一起有站法A；种，视为一种元素与其余5人全排，有魔种排法，

所以有不同站法A1X收=1440（种）.

（2）先站老师和女生，有站法与种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，

每空一人，则插入方法解种，所以共有不同站法A1XA；=144（种）.

（3）7人全排列中，4名男生不考虑身再顺序的站法有A：种，而由高到低有从左到右和从

右到左的不同，所以共有不同站法2X*420（种）.

（4）中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：

①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A；XA：XA?种站法；

②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有AjXAiXA：种站法,

所以共有不同站法A；XA：XA?+A：XA；XA：

=960+1152=2112（种）.

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

知能优化训练

♦♦同步测控＞♦

1.5Ag+4A：=（）

A.107B.323

C.320D.348

解析：选D.原式=5X5X4X3+4X4X3=348.

2.4X5X6X…等于（）

A.B.A；；-4

C.n!-4!D.A"3

解析：选D.原式可写成〃0-1）•…X6X5X4,故选D.

3.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（）

A.36B.120

C.720D.240

解析：选C.排法种数为A*720.

4.下列问题属于排列问题的是.

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成•个篮球队：

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幕运算.

解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序.②选出的2人劳动内容相同,

无顺序.③5人一组无顺序.④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序.

答案：①④

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

I.甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是（）

A.1B.2

C.3D.6

解析：选D.A；=6.

2.已知A、1一A：=10,则〃的值为（）

A.4B.5

C.6D.7

解析：选B.由A常一A^=10,得（〃+1加一〃（〃-1）=10,解得〃=5.

3.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是（）

A.5B.10

C.20D.60

解析：选C.A：=20.

4.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是（）

A.2160B.720

C.240D.120

解析：选B.A：o=lOX9X8=72O.

5.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是（）

A.8B.12

C.16D.24

解析：选B.设车站数为〃，则A解132,如-1）=132,

二.〃=12.

6.S=l!+2!+3!+-+99!,则S的个位数字为（）

A.0B.3

C.5D.7

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

解析：选B..1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720,•••

.'.5=1!+2!+3!+-+99!的个位数字是3.

二、填空题

7.若A*=10X9X…X5,则加=.

解析：10—w+1=5,得，“=6.

答案：6

8.A^3+Af'=.

〃+3W2〃，

解析：由J_N,得〃=3,

“+1W4,

.■,A^3+A^H=6!+4!=744.

答案：744

9.甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有种.

解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，

即3!=3X2X1=6.

答案：6

三、解答题

10.解不等式：A>6A72.

9!6-9!

解：原不等式可化为(9—x)!>(9—x+2)!，

其中2WxW9,x£N*,

.■.(ll-x)(10-x)>6,ERX2-21X+104>0,

.\(x—8)(x—13)>0,.,.x<8或x>13.

又二二式工式九x6N*,..2<xv8,x€N*.

故x=2,3,4,5,6,7.

11.解方程3At=4A/.

行」tLI『3X8!4X9!

解：由3A8=4A9何(8一幻！=(1。一》)!.

.3X8!4X9X8!

,(8-x)!=(10-x)(9-x)(8-x)!,

2

化简得：x—19x+78=0,解得xi=6,x2=13.

,「xW8,且x—1W9,原方程的解是x=6.

12.判断卜列问题是否为排列问题.

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信.

解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所

以不是排列问题；

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；

(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于

排列问题；

(6)4给3写信与8给/写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.

所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题.

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人教A版高中数学选修2-3知能训练

知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯

不相邻，则不同的开灯方案有（）

A.60种B.20种

C.10种D.8种

解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C：=10.

2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同

时参加，则不同的选派方案共有（）

A.25种B.35种

C.820种D.840种

解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有Cg种选法；男生甲不参加，

女生乙参加，有C5种选法；两人都不参加，有点种选法.所以共有2仁+仁=25（种）不同的

选派方案.

3.（2010年高考大纲全国卷I）某校开设，类选修课3门，8类选修课4门，一位同学

从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

A.30种B.35种

C.42种D.48种

解析：选A.法一：可分两种互斥情况：4类选1门，8类选2门或Z类选2门，8类选

1H,共有C；戢+C纪［=18+12=30种选法.

法二:总共有©=35种选法，减去只选/类的武=1（种），再减去只选8类的C：=4（种）,

故有30种选法.

4.（2011年高考江苏卷）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另

一个数的两倍的概率是.

解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C；=6,满足一个数是另一个数两倍的组合

21

为{1,2},{2,4},故尸=%=?.

答案：I

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为（）

A.C；燥B.AQ4

C.甯D.

解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A；.

2.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有（）

A.480B.240

C.120D.96

解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，

.,•分法数为CiAl=240.

3.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1

名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A.14B.24

C.28D.48

解析：选A.6人中选4人的方案有C£=15（种），没有女生的方案只有一种，所以满足要

求的方案总数有14利1

4.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有（）

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A.36个B.72个

C.63个D.126个

解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的

交点即为所求，所以，交点有C：=126（个）.

5.（2010年高考大纲全国卷H）将标号为12,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，

若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（）

A.12种B.18种

C.36种D.54种

解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C；种方法，再将剩余的4张卡片放入另外

两个信封中，有C久;种方法，所以共有C；C；C=18种方法.

6.如图所示的四棱锥中，顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点

P在同一平面内，不同的取法种数为（）

A.40B.48

C.56D.62

解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：

第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4d种取法；

第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2甫种取法；

第3类，过点P的四条棱中，每•,条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共

面，有4c种取法.

所以，满足题意的不同取法共有4d+20+4©=56（种）.

二、填空题

7.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有

种.

解析：分两类，有4件次品的抽法为C；C：6（种）；有三件次品的抽法有C：C：6（种），所以

共有C：Ci6+CM=4186种不同的抽法.

答案：4186

8.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭

档的抽派方法数为.

解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有

=80（种）.

答案：80

9.2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其

中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，

拯救心脏”，不同的分配方案有_______种.（用数字作答）

解析：分配方案有里之右」°义尸6=90（种）

答案：90

三、解答题

10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2,实际上可转化为先将四个

「10102

不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有依T种），然后将这

三组再加上一个空盒进行全排列，即共有笔产•A：=144（种）.

11.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？

解：法一：共分三类：

第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C；种；

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第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A：种；

第三类:有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C]种,故共有C；+A]+@=8%种）.

法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计），从这9个空中任

选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有C$=84种放法.故共有84种不同的

选法.

12.如图，

在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点G、G、C3、G、C6,直径

上有异于/、8的四个点。卜功、。3、

（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含Ci点的有多少个？

（2）以图中的12个点（包括/、8）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

解：（1）可分三种情况处理：

①C|、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；

②G、。2、…、。6中任取一点，。2、。3、D.中任取两点可构成一个三角形；

③G、C2、…、C6中任取两点，。2、4、中任取一点可构成一个三角形.

二爆+Cd+CfiCi=116（个）.

其中含G点的三角形有C：+C；・C；+C：=36（个）.

（2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，

二共有〈+C出+C纪看=360（个）.

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知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.计算C：+或+C；等于（）

A.120B.240

C.60D.480

解析：选A.原式=C；+C；=C：（）=120.

2.若C1i-C=C3则〃等于（）

A.12B.13

C.14D.15

解析:选C.c3Y=C*即C3=d+C=C%,所以〃+1=7+8,即〃=14.

3.某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间

的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是（）

A.C5+CI+C3B.CiCsCl

c.A；+A：+A；D.C：6

解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C：,二年级比赛的场数是C：,三年级比赛的

场数是6,再由分类加法计数原理可求.

4.把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方

法有种.

解析：Cg=56.

答案：56

♦♦课时训练♦.

一、选择题

1.下面几个问题中属于组合问题的是（）

①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3

构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法.

A.①③B.②④

C.①②D.①②④

答案：C

2.已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶

点的所有三角形的个数为（）

A.3B.4

C.12D.24

解析：选B.C：=4.

3.C?+C：+C升戌+…+的值为（）

A.C21B.C20

C.doD.&

解析：选D.原式=（C：+C：）+C：+或+…+C；］

=（c）+c］）+c5“+cX

=（（4+式）+…+c^=c；；=c$,7=d,.

4.若A”12%则〃等于（）

A.8B.5或6

C.3或4D.4

解析：选A.A：=〃（〃-1）（〃-2）,1）,

1）（〃-2）=6〃（〃一1）,

又且〃23.解得〃=8.

5.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则

不同选法的种数为（）

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A.9B.14

C.12D.15

解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C：=l种选法；

第二类张、王两人只有1人参加，有C：Ci=8种选法.故共有C：+C；XC彳=9种选法.

法二：间接法：燥一a=9(种).

6.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()

A.A：()种B.品种

C.C；oA；o种D.30种

解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C：°.

二、填空题

7.若C>=C]则Cj『=.

解析：".-C,I/=C^,13=w—7,.'.«=20,

••.C^=C^o=19O.

答案：190

8.C]+C；+C；+…+C：o=.

解析：原式=或+禺+戏4—PCio

=C：+C：+…+C；o=C：+C：+,,,+Cio=C]i=165.

答案：165

9.从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有

女生，则不同的选法共有

种.

解析：(间接法)共有C；—禧=34种不同的选法.

答案：34

三、解答题

10.若C〉C需求〃的取值集合.