人教版八年级数学上册讲义(全册)

八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1.三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.

△ABC中，边：AB,BC,AC或c,a,b,

顶点：A,B,C.

内角：4A,乙B,ZC..

二、三角形的边

1.三角形的三边关系：（证明所有几何不等式的唯一方法）

⑴三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a

⑵三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形.

L2确定三角形第三边的取值范围:两边之差（第三边〈两边之和.

2.三角形的主要线段

2.1三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

A

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

A

2.3三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1三角形内角和定理

结论1：AABC中：4A+2B+乙C=180。*三角形中至少有2个锐角

A

结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.※三角形

中至多有1个钝角

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在AABC中，ZC=180°-(ZA+ZB)

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角.

如：4ABC中，已知4A：ZB：乙C=2：3：4,求乙A、ZB.ZC的度数

2三角形外角和定理

2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三

2.2性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

2.3外角个数：

过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等)，可见一个三角形共有6个外角

四、三角形的分类

(1)按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形

⑵按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形

五多边形及其内角

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的对角线

(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。

(2)n边形共有2条对角线。

4、n边形的内角和等于(n-2)18(T(nN3,n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360。

*多边形外角和恒等于360。，与边数的多少无关.

*多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角(如矩形)；

*多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.

5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360。；相邻的多边形有公共边。

【考点三】判断三角形的形状

8、若AABC的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断AABC的形状。

9、已知a,b,c是aABC的三边，且满足a+b+c=ab+bc+ca,试判断AABC的形状。

10、若4ABC的三边为a、b、c(a与b不相等)，且满足a-ab+ab-ac+bc-b=O,试判断AABC的形

状。

二、三角形角有关计算

1.如图4ABC中AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点0,如A=50°,CC=70°求4DAC/AOB

c

解：AD是4ABC的高/C=70。

ZDAC=180°-90o-70o=20°

•/ABAC=50°

ZABC=180o-50°-70o=60°

AE和BF是角平分线

/.乙BA。=25°,4ABO=30°

ZAOB=180o-25°-30o=125°

2.如图，AABC中，D是BC边上一点,Zl=Z2,Z3=Z.4,ZBAC=63°,求乙DAC的度数

B

解设Nl=x'

•••/I=Z2,.\Z2=x0

.♦./3=/l+/2=2x°

又•••/3=/4

Z4=2x°

又•:/2+/4+/BAC=180"

Ajr+2x+630=180°

Ax=39°

/.ZD/4C=63°-39°=24°

解:更长BP史AC于,AD

・；/BPCEZiPDC的外角

；.ZBPC>ZPOC

同及彳#NPDO/A

是ACi!上的高

；./BPC>ZA

3.已知：P是AABC内任意一点.求证：NBPC>4A

4.如图，乙1=42,23=44,ZA=100°,求x的值

A

M:VZ1=Z2Z3=Z4

AZABC=2Z2ZACB=2Z4

♦△ABC中ZA+ZABC+ZACB=180*

AZA+2(Z2+Z4)=180o

VZA=100°

AZ2+Z4=40°

VZ2+Z4+x=180°

:,x=140°

汪明：：BO、CO是NB、/C的平分慢

ZI-Z2Z5-Z4

&△BOC中/BOC+/2+/37X。*

AZ2*Z3-ilf-ZB<M

在△\HC中/A+/ZM'♦/ACR-IXO

:./人+2(/2+/3尸1潮了

/.ZA+2(1XO,-ZBOC>>1W*

ZIMX-90*♦ZA

5.已知aABC的乙B、乙C的平分线交于点0。求证：NB0C=9（T+乙A（角平分线模型）

6.已知：BP、CP是aABC的外角的平分线，交于点P。求证：NP=90。-4A（角平分线模型）

A

证明：；BP、CP是外角平分钱

:.ZI=Z2Z3=Z4

7/EBC是△ABC的外H△PBC中/P+N1+/A180。

，/EBC=NA+NACB.,.Zi+Z3=l«0*・NP

=/A+(18(r-Z3-Z4).'.ZA+180*-2(180*-ZP)

；・ZEBC=Z1+Z2

2Z1=ZA+<180o-2Z3)；・NP=90°-ZA

2Z1+2Z3=ZA+18O°

7.AABC中，4ABC的平分线BD和AABC的外角平分线CD交于D,求证：NA=24D（角平分线模

型）

证明：YBD、CD是角平分线

:.Z1=Z2Z3=Z4

在△BDC中Z4=Z2+ZD

，N3=N2+ND

在△ABC中NACE=NA+NABC

A2Z3=ZA4-2Z2

2(Z2+ZD)=NA+2N2

AZA=2ZD

8ZA0B中，NAOB=90o/OAB的平分线和AABC的外角aOBD平分线交于P,求乙P的度数

X：；AP、BP是向平分线

二N1=N2Z3=Z4

在Z\ABP中N4=/2+/P

在AABO中ZOBD=ZO+ZOAB

.*.2Z3=ZCX2Z2

；・2(/2+/P尸ZO+2Z2

，/O=2ZP

/.ZP=45*

0

9.如图：求证：Z_A+4B+4C=4ADC（飞镖模型）

证明:连接BD并延长到E

VZADE=ZABD+ZA

ZCDE=ZCBD+ZC

VZAD€=Z/\BD+ZCBD

ZABC=ZABD+ZA

:.ZA+ZABC+ZC=ZAD€

第12章全等三角形

一、全等三角形的概念与性质

1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(1)表示方法：两个三角形全等用符号来表示，记作<8<40/402、性质：(1)

对应边相等(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等

二、全等三角形的判定

1全等三角形的判定方法：(SAS),(SSS),(ASA),(AAS),(HL

边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边AAS直角边和

斜边

(HL)

A

AA△

B

△\

三边对应相等的两三角形有两边和它们的夹角对有两角和它两角和及其有一条斜

全等应相等的两个三角形全们的夹边对中一个角所边和一条

等应相等的两对的边对应直角边对

个三角形全相等的两个应相等的

等.三角形全等.两个直角

三角形全

等(HL)

2.全等三角形证题的思路:

找夹角（S4S）

①已知两边＜找直角（〃〃）

找第三边（S55）

’若边为角的对边，则找任意角（/MS）

找己知角的另一边（S4S）

②已知一边一角，

边为角的邻边・找已知边的对角（/MS）

找夹已知边的另一角04s4）

［找两角的夹边（AS4）

③已知两角〈

找任意一边G4AS）

3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等②对顶角相等

③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等

④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等

人等三龟形（SAS）

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示