2020-2021学年淮南市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年淮南市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.“/x-1/<2成立"是"xQ—3）<0成立”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2,双曲线/一4必=1的离心率为（）

A.-B.-C.匹D.遗

3422

3.先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果记为（a,b）,其中a表示第一次抛掷的结果，b表示第

二次抛掷的结果，则函数/（%）=x3+ax2+b%+c有极值点的概率为（）

A-iB.（C4D.1

4,下列对一组数据的分析，不正确的说法是

A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定

B,数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定

D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

5.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始

时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一

个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部，

其高度为圆锥高度的|（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02°巾3的沙，且细沙全部漏

入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥沙堆.以下结论正确的是（）

A.沙漏的侧面积是166加力12

B.沙漏中的细沙体积为10247TC7H3

C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为1.2CM

D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（兀-3.14）

6.某居民小区年龄在20岁到45岁的居民共有150人，如图是他们上网情况的频率分布直方图，现

已知年龄在［30,35）,［40,45］的人数分别是39、21人，则年龄在［35,40）的频数（）

22

7.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：京+a=1的下顶点，M,N在椭圆上，若四边形。PMN

为平行四边形，a为直线ON的倾斜角，若ae（当，壬，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（f,l）B.（冬泉C.（0,f）D.（0,净

8.下列命题中，错误命题是（）

A.“若工则a>b>0”的逆命题为真

ab

B.线性回归直线y=+。必过样本点的中心GJ）

c.在平面直角坐标系中到点（1,0）和（0,1）的距离的和为迎的点的轨迹为椭圆

D.在锐角AABC中，有sin24>cos2B

9.已知圆柱的母线长与底面的半径之比为鱼：1,四边形4BCD为其轴截面，若点E为上底，面圆

弧触的中点，则异面直线DE与2B所成的角为（）

AjB二C.gD/

10.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下X,对应值表：

X123456

f(x)132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8

函数/（%）在区间［1,6］上有零点至少有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.已知点4(2,—1,3),B(3,l,2),贝=

12.命题“对任意的久6R,/+1<0"的否定是

13.一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视

图为矩形，则其表面积为

14.在平面直角坐标系xOy中，点4是椭圆巳+?=1上动点，点P在直线02上，且方才.3？=6，则

线段0P在x轴上的投影的最大值为.

三、解答题(本大题共5小题，共44.0分)

15.2013年9月20日是第25个全国爱牙日.某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患踽

齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患蹒齿和不患蹒齿分类，得汇总数据：不常

吃零食且不患龈齿的学生有60名，常吃零食但不患龈齿的学生有100名，不常吃零食但患躺齿

的学生有140名.

P(K2>fco)0.0100.0050.001

ko6.6357.87910.828

能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患齿禹齿有关系？附:

々2_n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*

16.已知函数/'(x)=-ja/+(a—1)比+伉比，aER.

(1)讨论/'(X)的单调性；

(2)证明:当x6(0,1)时，f(l-x)</(l+x)；

(3)若函数有两个零点打，x2,比较「(詈)与0的大小，并证明你的结论.

17.如图，在三棱柱ABC-4/的中，4B，侧面BBiQC,已知=2,AB=V2,SC=1/BCJ=j

(1)求证：CrB1平面&BC；

(2)试在棱CCi(不包含端点C,6)上确定一点E的位置，使得

18.已知函数/(x)=--a/一万+a,其中a为实数.

(1)求导数(。)；

(2)若/(―1)=0,求f(x)在［-2,3］上的最大值和最小值；

(3)若人久)在(-8,-2］和［3,+8)上都是递增的，求a的取值范围.

19.设点P(—2,1)在抛物线/=2py(p>0)上，且到圆C：/+(y+b)2=1上点的最小距离为1.

(I)求「和b的值；

(n)过点尸作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点4,B,若直线与圆C交于不同

两点M,N.

①证明直线4B的斜率为定值；

(讥)求4PMN面积取最大值时直线4B的方程.

参考答案及解析

1.答案：B

解析:试题分析：首先解出两个不等式,再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的，由氏-1|<2,

得一l<x<3,由久(％-3)<0,得0<x<3,故选艮

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

2.答案：C

2

解析：解：双曲线的标准方程为/一v卷=1,

4

则焦点在久轴上，且a=1,b2=；,

贝H=a2+b2=1+-=

44

则禺心率e=-=—9

a2

故选：c

将双曲线化为标准方程，结合双曲线离心率的定义进行求解即可.

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的标准方程求出a,6,c是解决本题的关键.比较基

础.

3.答案：D

解析：解：先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果有36种.

函数;'(©有极值点，需使/(久)=3x2+2ax+b=。有两个不同的根，

故4a2—126>0,即a2>3b.当a=2时,有1种；

当a=3时，有2种；当a=4时，有5种；

当a=5时，有6种；当a=6时，有6种，

故函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点的概率为：

P=-1-+2-+--5+-6-4--6=5

l369

先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果有36种.函数f(x)有极值点，需使((X)=3/+2ax+

b=0有两个不同的根，由此能求出函数/'(X)=%3+ax2+bx+c有极值点的概率.

本题考查极值点、古典概型等基础知识，意在考查基本运算能力和转化化归思想的运用，是中档题.

4.答案:B

解析：试题分析：由方差（标准差）的概念知，数据方差（标准差）越小，样本数据分布越集中、稳定,

数据极差越小，只是说明数据的最大和最小的差别小，并不代表数据的分布集中情况，故选c

考点：本题考查了统计的运用

点评：掌握极差、平均数、标准差、方差的概念是解决此类问题的关键，属基础题

5.答案：D

解析：

本题考查命题真假的判断，涉及到圆锥的侧面积、体积等基础知识，考查运算求解能力、空间思维

能力等核心素养，是中档题.

根据圆锥的侧面积公式、体积公式计算沙漏侧面积和细沙体积，根据细沙体积不变计算细沙落下后

的高度，根据体积计算沙时.

解：对于4,沙漏的侧面积为s=2itRL=2兀•：-J82+（I）?=32V^mn3,故A错误；

对于8,设细沙在上部时，细沙的底面半径为r,贝卜=|x4=|cm,

所以细沙的体积为％=?兀x$2x£=噤兀cm3,故2错误；

对于C,设细沙流入下部后的高度为色,根据细沙体积不变可知：

-7Tx（-｝义fl】=解得九i=2.4cm,故C错误；

3\2718127

对于。，该沙漏的一个沙时为：9卢+0.02=卫等上x50p1985秒，故。正确.

ol81

故选：D.

6.答案：C

解析：解：根据频率分布直方图得；

该居民小区年龄在［30,45）内的频率为

1-（0.024-0,06）x5=0.6,

所以，该年龄段的人数是

150x0.6=90人；

所以，年龄在［35,40）的频数为

90-（39+21）=30.

故选：C.

根据频率和为1,求出年龄在［30,45）内的频率以及频数，即可求出年龄在［35,40）的频数.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率t的应用问题，是基础题目.

样本谷里

7.答案：D

__v

解析：解：联立=a2b2,解得%=君量，

联立生f2：2=a2b2,解得川=言\

可得外一3^=*葭+/=口，化为：。=百6,r/>x

可得e=”J1一(今2=圣'V

同理：把直线方程y=-g无，y=—gx—a与椭圆方程分别联立，

可得：而一%=备+*=口,化为a=b,

此时椭圆不存在.

.•椭圆C的离心率的取值范围为(0,净.

故选：D.

(V=—X(V=­X—a

联立72V2+Q2%2_力2,解得，N，联立182V2%02%2_Q2力2,解得，利用"一丫"=。，化为

I。yru.A-u.uy।u.A-Ltu

a=<3b,求得椭圆离心率；同理把直线方程丫=-号x,y=-gx-a与椭圆方程分别联立，再由

yN-yM^a,化为a=6,可得椭圆离心率大于0成立，即可求出椭圆离心率的范围.

本题考查了直线与椭圆相交问题、离心率计算公式、平行四边形的性质、相互平行的直线斜率之间

的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.答案：C

解析：

本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形.是基本知识的考查.

利用逆命题的真假判断选项A的正误；回归直线方程的性质判断B的正误;椭圆的定义判断C的正误；

三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；

解：选项4“若冷，则a>6>。”的逆命题为：若a>b>。，则!■显然是真命题；

选项8：线性回归直线？=+G必过样本点的中心，所以8正确；

选项C：因为点(1,0)和(0,1)之间的距离为鱼，所以在平面直角坐标系中到点(1,0)和(0,1)的距离的和

为鱼的点的轨迹为线段，所以C不正确；

选项D：在锐角A4BC中，有a+8>M贝吟>4>,一B>0,所以1>sinA>sin©-B)=cosB>0,

可得siMa>COS2B,所以。正确；

故选：C.

9.答案:D

解析：解：连接。E,OF,

E是卷的中点，二F是比的中点，

•••CDLOF,X---EF100,EFLCD,

■：CDOOF=0,OFu平面。EF,CDu平面。EF,

•••CD_L平面。EF,OEu平面。EF,OD1OE,

-：AB//DO,.•.异面直线DE与力B所成的角为NEDO,

设4D=1,则。D=限，；.CD=/，OF=―,EF=1,

22

OE=J12+净=

V6_

•••tan^EDO=迫=壬=5

ODv2

2

0<乙EDO<n,/-EDO=

故选：D.

通过平移线段法得到NEDC是异面直线DE与AB所成角，再证明CD1平面OEF,得证OD1OE,进而

求出。E,。。的长度，即可求出NEDO的大小.

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查直

观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题.

10.答案：D

解析：解:因为函数满足”2)/(3)<0,/(3)/(4)<0,7(4)/(5)<0,

所以函数〃久)在区间［1,6］上有零点至少有3个零点，

故选：D.

直接利用核对零点判定定理推出结果即可.

本题考查函数的零点判定定理的应用，是基础题.

11.答案：V6

解析：解：AB=(1,2,-1).

\AB\=\AB\=Vl2+22+(-l)2=V6.

故答案为：A/6.

计算四，利用摸的计算公式即可得出.

本题考查了向量坐标运算法则、模的计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于

基础题.

12.答案：存在xeR,/_/+]>()

解析：因为利用全称命题的否定为特称命题可知其否定为：

存在xeR,/+1>0。

13.答案：3兀+4

解析：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，(沿中轴线切开)

由题意可知，圆柱的高为2,底面圆的半径为1,

故其表面积为S=2x|7ixl2+2x2+|x27rxlx2=37r+4

故答案为：3兀+4

原几何体为圆柱的一半，且高为2,底面圆的半径为1,表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧

面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案.

本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基

础题.

14.答案：V3

解析：解：•••点P在线段。4的延长线上，

二设加=4瓦5(/1>1)，由瓦？•丽=6，得川土？『=6，可得a=看，

设2(x,y),P(m,n),

666%24

可得m=/Lr=——~•X=-----------2~•X=3——

29

%+y%2+(4告)-X+43x+—x

研究点P横坐标巾的最大值，根据力点在椭圆上，设久6(0,4),

可得3x+^x>2J3x-=8V3,当且仅当3x=?取等号,

2424

•••m==遍.

3X+£-8V5

由此可得：当且仅当3'=?,即4点横坐标一竽时,P点横坐标的最大值为后

故答案为：V3.

f-24

根据向量共线定理设设行=2示，得4=春，设4(x,y)，P(m,n),得小=丘=豆甘，由此借助

均值定理能求出线段0P在x轴上的投影的最大值.

本题已知椭圆上的动点满足的条件，求点P横坐标的最大值.着重考查了向量的数量积及其运算性质、

向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题.

15.答案：解：由题意可得列联表：

不常吃零食常吃零食总计

不患齿离齿60100160

患脯齿140500640

总计200600800

因为1=吗黑以黑Z*16.667>10,828.

所以能在犯错率不超过0.001的前提下，为该区学生常吃零食与患蹒齿有关系.

解析：先作出2x2列联表，再利用公式求出K2的值，与临界值比较，即可得到结论.

本题主要考查了独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题.

16.答案：解：(l)f(x)=-ax+(a-1)+^=9+严-。,(久>。).

①a20时，/Q)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减；

②a<0时，/'(x)=0的两根为一，，1

若一(=1,即a=-l时，/(%)在(0,+8)上递增；

若—,即a<—1时，/(%)在(0,—》上递增，(一11)上递减，(1,+8)上递增；

且/(—，)=一1+/+In(-：)<0,故此时/(x)在(0,+8)上有且只有一■个零点.

若一1>1,即—l<a<0时，/(%)在(0,1)上递增，(1,一：)上递减，(―，+8)上递增;

且/(I)=：—1<0,故此时/(久)在(0,+8)上有且只有一个零点.

综上所述：a<—1时，/(%)在(0,-9上递增，(一11)上递减，(1,+8)上递增；

a=-l时,f(x)在(0,+8)上递增；

-l<a<0时，/(久)在(0,1)上递增，(1,一》上递减，(一1+8)上递增；

a20时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减；

(2)证明：/(1-%)</(1+%)

11

—2a(1-%)2+(0—1)(1—%)4~ln(l—%)<——cz(l+—1)(1+%)+ln(l+%)

02%+ln(l—x)—ln(l+%)<0,

设<9(%)=2%+ln(l—%)—ln(l+%),xE(0,1).

・

•”•g''()%)=2——l-x----l-+-x=—l-—x2i<0-

•••g(%)在％e(0,1)上单调递减，

・•.g(%)<g(0)=0得证.

(3)由(1)知，函数/(%)要有两个零点汽i，冷，贝，/⑴=2一1>0，

a>2.

不妨设0<%1<1V%2，

・・•由(2)得f(2-%2)=/(1+1-%2)>/(%2)=/(%1)=0.

•••2—%2>，

・・.—<1.

2

>0.

解析：⑴/⑴=_a久+(a_1)+；(ax+?d),(尤>0).对a分类讨论，即可得出函数f(x)的单

调性.

1r1o

(2)/(1-%)</(!,+x)。—5a(1—x)+(a-1)(1-%)+ln(l-%)<—5a(1+%)+(a—

1)(1+x)+ln(l+久)=2x+ln(l—x)—ln(l+x)<0,设g(x)=2x+ln(l—x)—ln(l+x),x6

(0,1).利用导数研究函数的单调性即可证明结论.

,(a>0

(3)由(1)知，函数f(久)要有两个零点X1，%2,贝=q_]>0,可得a>2.不妨设0<久1<1<%2，

利用(2)的结论可得：/(2—久2)=/(1+1—工2)>/(%2)=/(%】)=。，进而得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式

的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

17.答案：解：(/)证明：侧面BBiQC,.•.力

在ABCiC中，BC=1,CQ=BBr=2,NBCQ=g,

由余弦定理得BC/=BC2+CCl-2BC-CQCOSg=l2+22-2x1x2Xj=3,.-.5^=73.

故有8c2+BCl=CCf,•••CrB1BC,

WCnXF=BS.AB,BCu平面ABC,

C±B1平面ABC.

(〃)如图所示：以线段BN1为直径画圆。，分别交线段CQ于点E、Q./\

下面说明点E、&是上述所画的圆与线段CG的交点.-TV—

5ss

①BiG=OB1—1,Z.OB1C1=.-.AOBiG是正三角形，二。。1—1，(

即点G在所画的圆上.

②作。K1CG，垂足为K,取EK=KG，则点E也在所画的圆上.

・；0E=。6=1,.•.点E也在所画的圆上.

•••CCJ/BBi，・•.NOBE=NOBiG=g,.•.△OBE是正三角形，.•.EB=1,

EB=BC=1,又乙BCE=pBCE为正三角形，:CE=1,即E点是线段CC1的中点.

下面证明点E满足条件.

-AB1侧面BBiGC,B［E1BE,据三垂线定理可得当E1AE.

故线段CG的中点E即是要求的点.

解析：(I)要证明c/1平面ABC,根据线面垂直的判定定理可知：需要证明QB垂直于平面4BC内

的两条相交直线即可.由已知力B1侧面BBiGC,即可得到481BC1；在ACC/中，先使用余弦定

理求出BCi的长，进而再使用勾股定理得逆定理即可证得BQ1BC.

(口)由于48，侧面BBiGC,要在线段CG上找一点E,满足B1E14E,根据三垂线定理，只要E点满

足B1E1BE即可.若以线段为直径画圆与线段CC1的交点(去掉点C、Q)即可满足要求.

本题综合考查了线面垂直的判定定理和性质定理及三垂线定理，深刻理解以上定理是解决问题的关

键.

18.答案:解：(1)/'(久)=3/一2a久—1(3分)

1)—3+2a—1—0a=—1/(x)—x3+x2-x—1/z(x)=3x2+2x—1

由.•.f'(x)=0可得久=［或x=-1

又f©=-||./(-2)=-3J(3)=32,/(-l)=0

.­•在［—2,3］上的最小值为—3.(9分)

⑶・・,/'(%)=3x2-2ax-1图象开口向上,且恒过点(0,-1)

由条件可得：・・.((-2)N0,11+4a20即：a2-今由尸⑶20得awf

43

a的取值范围是(14分)

解析：(1)由已知中函数f(x)=x3—&/—尤+a,根据导数求解公式，代入即可求出导数((久)；

(2)若/(-1)=0,我们构造关于a的方程，解方程，即可求出参数a的值，进而求出(。)的解析式,

分别函数的在各区间上的符号，求出区间［-2,3］的最值点，代入即可求出［-2,3］上的最大值和最小值;

⑶由若/(x)在(一8,-2］和［3,+8)上都是递增的，结合已知中((%)=3久2-2ax—1图象开口向上,

且恒过点可转化为((-2)20,解不等式即可求出a的取值范围.

本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，简单复合函数的导数及函数的单调性与导数

的关系，其中根据函数的单调性与导函数值之间的关系，将问题转化