2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

2020-2021学年北京市石景山区八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.3的算术平方根是（）

A.+VsB.V3C.-VsD.9

2心.下列医院log。设计的图案中，是轴对称图形的是（）

3.下列事件中，为必然事件的是（）

A.明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起

B.成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀

C.从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除

D.从10本图书中随机抽取一本是小说

4.代数式“2x+l在实数范围内有意义的条件是（）

A.尤＞-B.无W-《C.《

222

5.如图所示在△ABC中，A8边上的高线画法正确的是（）

6.下列式子的变形正确的是（）

b_b22号

A.B.-———=«+/?

a+b

c2x-4yx-2y、m-2n

2xxm

7.下列说法正确的是（）

A.无理数是开方开不尽的数

B.一个实数的绝对值总是正数

C.不存在绝对值最小的实数

D.实数与数轴上的点一一对应

8.剪纸是我国传统的民间艺术.如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的

虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

二、填空题（每小题2分）

9.一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的.任

意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是.

10.如果三角形的三边长分别为5,8,a,那么a的取值范围为.

11.如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边

在同一条直线上，则图③中的/1=

12.将分式•'右了约分可得_____,依据为_______.

6x2y

13.若因表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3,则[6]=

14.如图，D,E分别是AB,AC上的点，AD=AE,请添加一个条件，使得△ABEgZvlCD这

个条件可以为（只填一个条件即可）.

15.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引

索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”

译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后,

堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳

索长是多少？”

示意图如图所示,设绳索AC的长为无尺,木柱AB的长用含x的代数式表示为尺,

根据题意，可列方程为.

16.有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源.为了更好地开展垃圾分类工作，

某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查.从中随机抽取部分居民

进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为4B,C,。四个等次，绘制成如图所示的

两幅不完整的统计图.

.人数/人

下面有四个推断：

①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；

②扇形统计图中，表示c等次的扇形的圆心角的度数为72°；

③测试成绩为。等次的居民人数占参测总人数的10%；

④测试成绩为A或2等次的居民人数共30人.

所有合理推断的序号是.

三、解答题（共68分）

17.下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/及直线/上一点P.

求作：直线产。，使得

作法：如图2：

①以点尸为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点A,B；

②分别以点48为圆心，以大于夕3的同样长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点

Q；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接QA,QB.

,

：.PQ±l（）（填推理的依据）.

p1APP1

图1图2

18.计算：^27-7（-4）2+（1-豆）°.

19.计算：3/义］1-五+2而.

x6

20.解方程：-^=1+~2—.

x+3x-9

21.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是区4,C8延长线上的点，且求证:

AE=CD.

D

22.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,请在图中画出2个形状不同的等

腰三角形，使它的腰长为迷，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形

共个.

23.已知/+々=1,求代数式驾

a+2忐r冷的值.

24.关于x的分式方程吗^=2的解是负数，求满足条件的整数相的最大值.

x+1

25.创建文明城市，携手共建幸福美好.某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志

愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%,结果提前4天完成任务.求原计划

每天植树的棵数.

26.某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引

（1）分析数据，补全表格信息:

平均数众数中位数

6——

（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男

生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由.

（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八

年级男生“引体向上”项目测试的合格人数.

27.如图，△ABC中，AC=2AB=6,BC=373.AC的垂直平分线分别交AC,BC于点，

E.

（1）求8E的长；

（2）延长。E交A8的延长线于点E连接C?若M是。尸上一动点，N是CF上一动

点，请直接写出CM+MN的最小值为.

28.如图1,射线A尸〃80,分别作NPA8,NA80的角平分线，这两条射线交于点。，过

点。作一条直线分别与射线AP,直线8。交于点C,。（不与点A,8重合）.

（1）当C£）_L4P时，

①补全图1;

②若AC=a,BD=b,则AB的长为（用含a,6的式子表示）.

（2）当C。与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB,AC,8。之间的数量

关系，并证明.

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1.3的算术平方根是（）

A.±VsB.V3c.-73D.9

解：3的算术平方根是

故选：B.

2.下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（）

解：根据轴对称图形的定义，可知选项3是轴对称图形,

故选：B.

3.下列事件中，为必然事件的是（）

A.明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起

B.成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀

C.从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除

D.从10本图书中随机抽取一本是小说

解：4明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件；

8、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件；

C、从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除，是必然事件;

。、从10本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件；

故选：C.

4.代数式怎互在实数范围内有意义的条件是（）

-《

A.x>B.尤W-5C.x<D.X》

2222

解：由题意得，2X+120,

解得尤

故选：D.

5.如图所示在△ABC中，A3边上的IWJ线画法正确的是（）

解：在△ABC中，A3边上的高线画法正确的是8,

故选：B.

6.下列式子的变形正确的是（）

,,2

.bbB.式2迎2—+6

A.一,

&a2a+b

2x4yX2y

C.-=-D.空空一2〃

2xxm

hh2

解：a、原变形错误，故此选项不符合题意；

aa2

8、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意;

C、空/=空理_=三纹，原变形正确，故此选项符合题意；

。、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意;

故选：C.

7.下列说法正确的是（）

A.无理数是开方开不尽的数

B.一个实数的绝对值总是正数

C.不存在绝对值最小的实数

D.实数与数轴上的点---对应

解：A.无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误;

B.一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误;

C.存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误；

D.实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确；

故选：D.

8.剪纸是我国传统的民间艺术.如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的

虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶

点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱

形的中心剪去一个六边形，可得：

故选：B.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的.任

意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是高.

一2一

解：个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的，

...任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是!■=4，

b2

故答案为：

10.如果三角形的三边长分别为5,8,a9那么〃的取值范围为3<6/<13.

解：由二角形的二边关系可得：8-5<。<5+8,

则3<a<13,

故答案为：3<a<13.

11.如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边

在同一条直线上，则图③中的/1=105°.

解：由题意得，/2=60°,Z3=45°,

则/1=/2+/3=105°,

故答案为：105.

12.将分式辛约分可得_如，依据为分式的基本性质

6xyox

解：“NT（根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以2盯3）,

6x2yJ3x

故答案为：3,分式的基本性质.

3x

13.若印表示实数x的整数部分，例如：［3.5］=3,则4

解：后

.•.4<V17<5,

；.［旧］=4,

故答案为：4.

14.如图，D,E分别是AB,AC上的点，AD=AE,请添加一个条件，使得△ABE04ACD这

个条件可以为48=AC,/AEB=/ADC,/B=/C（只填一个条件即可）.

解：'：AE=AD,ZA=ZA,

根据SAS,可以添加AB=AC,使得AABE空△ACD,

根据ASA,可以添加/AE8=NAZ）C,使得△ABE经△AC。，

根据A4S,可以添加NB=NC,使得aABE之△AC。，

故答案为：AB=AC,ZAEB=ZADC,ZB=ZC.

15.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引

索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”

译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后,

堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳

索长是多少？”

示意图如图所示，设绳索AC的长为无尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为无尺,

根据题意，可列方程为六一（厂3）2=82.

解：设绳索长为x尺，根据题意得：

x-（x-3）2=8，

故答案为：X；X2-（X-3）2=82.

16.有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源.为了更好地开展垃圾分类工作,

某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查.从中随机抽取部分居民

进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B,C,。四个等次，绘制成如图所示的

两幅不完整的统计图.

下面有四个推断：

①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；

②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；

③测试成绩为。等次的居民人数占参测总人数的10%；

④测试成绩为A或8等次的居民人数共30人.

所有合理推断的序号是①②④.

解：①12+30%=40（人），因此调查的人数为40人，即样本容量为40,故①正确；

O

@360°X京=72°,因此②正确；

③“8等”频数40X45%=18（人），“。等”频数为40-12-18-8=2（人），因此

等”所占的百分比为2+40=5%,故③不正确；

④“4等”与“B等”的频数和为12+18=30（人），因此④正确；

综上所述，正确的结论有①②④，

故答案为：①②④.

三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/及直线/上一点P.

求作：直线尸。，使得尸

作法：如图2：

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点A,B-,

②分别以点A，B为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点

。；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接QA,QB.

"：Q\=QB,PA=PB,

：.PQ±l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）（填推理的依据）.

P14p1

图1图2

解：（1）补全的图形如图2所示：

'：QA=QB,PA=PB,

：.PQ±l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）.

故答案为：QB-,PB-,等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.

18.计算：^27-V（-4）2+（1-冗）°«

解：^27-V（-4）2+（1-冗）°

=3-4+1

=0.

患-我+2病.

19.计算：3^12X

解：原式=3-2加+8近

=9m-2V2+8V2

=15瓜

V6

20.解方程：-Ar=i+^—

x+3x<9

解：去分母得：x(%-3)=¥-9+6,

解得：x=l,

经检验x=l是分式方程的解.

21.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是A4,延长线上的点，且求证:

AE=CD.

【解答】证明：:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC^ZBAC=60°,

/.ZABE=ZCAD=180°-60°=120°,

在△ABE与△CAD中，

，BE=AD

<ZABE=ZCAD)

,AB=CA

/.AABE^ACAD(SAS),

：.AE=CD.

22.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,请在图中画出2个形状不同的等

腰三角形，使它的腰长为迷，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形

共5个.

解：如图，满足条件的三角形有5个.

故答案为5.

23.已知/+.=1,求代数式驾-父七+三4的值.

2a+2

a+2a+4a+4

a+1@2-3.&+2

解:原式=

a+2(a+2)2a-1

_a+la2-3

a+2(a-l)(a+2)

-a2T1_a2TQ

(a-l)(a+2)(a_l)(a+2)

2

(a-1)(a+2)

2_

一9，

a+a-2

当a2+a=l时，

9

原式=「7=-2.

1一2

24.关于x的分式方程配詈=2的解是负数，求满足条件的整数爪的最大值.

x+1

解：解分式方程配学=2得尤=巾+2,

x+1

•.•关于X的分式方程"乎=2的解是负数，

x+1

771+2<0且771+27^1,

解得m<-2,

...满足条件的整数m的最大值是-3.

25.创建文明城市，携手共建幸福美好.某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志

愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%,结果提前4天完成任务.求原计划

每天植树的棵数.

解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）尤棵，

比啮*用48004800.

依题思，得：------=4

x7(,1+20%)x

解得：x=2OO,

经检验.x=200是原方程的解，

答：原计划每天植树200棵.

26.某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引

（1）分析数据，补全表格信息:

平均数众数中位数

655

（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男

生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由.

（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八

年级男生“引体向上”项目测试的合格人数.

解：（1）个出现了11次，出现的次数最多，

众数为5个，

把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，

则中位数为与=5（个）.

故答案为：5,5；

（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适，

因为5个大部分同学都能达到.

（3）根据题意得：

24

8000X^=4800（人）.

40

答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人.

27.如图，AABC中，AC=2AB=6,8C=3愿.AC的垂直平分线分别交AC,8C于点D,

E.

(1)求BE的长；

(2)延长。E交AB的延长线于点尸，连接C尸.若M是。尸上一动点，N是b上一动

点，请直接写出CM+MN的最小值为」

解：⑴VAB=3,AC=6,3C=3舍,

.,