2022-2023学年四川省达州市渠县土溪中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市渠县土溪中学八年级（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，

下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的

是（）

2.已知等腰三角形的两边长分别为4ca、8cm,则该等腰三角形的底边长是（）

A.12cmB.8cmC.4cm或8cmD.4cm

3.用提公因式法分解因式463九一9nm3时，应提取的公因式是（）

A.367n3n3B.m3n3C.36mnD.mn

4.一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分

为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品.假设小锋答对了x题，可根据题

意列出不等式（）

A.5%+2（20-%）>75B.5%+2（20-%）>75

C.5%-2（20-x）>75D.5x-2（20-%）>75

5.如图，在MBCD中，对角线AC,BD交于点。，过点。作。E14C交2D于点E,连接EC.若

△CDE的周长为5,贝gABCD的周长为（）

A.8B.9C.10D.11

6.如图，在AABC中，AACB=90°,沿CD折叠ACBD,使点B恰好落在4C边上的点E处,

若乙4=20°,则N8DC等于.

c

7.如果关于％的方程号+=1=$无解，那么血的值为（）

x+2x+2x+2

A.—6B.0C.—2D.—1

8.如图①，在AABC中，乙4cB=90。，AC：BC=4：3,这个直角三角形三边上分别有一

个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再

分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形，图③是2次

操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有正方形

的面积和为（）

9.关于X的一元一次不等式组-I"2-1一比的解集为久<4且关于y的分式方程鸟+

U-%>o

1=汽有整数解，那么符合条件的所有整数小的积为（）

A.0B.12C.4D.5

10.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC

的中点.点p以每秒i个单位长度的速度从点a出发，沿4。向点。运动；

点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动点P

停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t为秒时，以点P,Q,E,。为顶点的四边形是

平行四边形（）

A.1B.1.5C.1或3.5D.1.5或2

二、非选择题（70分）

11.选择适当的不等号填空：若a<b,贝ij-2a-2b.

12.如图，是N28C的平分线，DE148于点E,ShABC=

15cm2,AB=8cm,BC=12cm,则DE=__cm.

13.如图，在四边形ABC。中，AB11CD,ADIIBC,AC,BD相交于

点。.若AC=5,则线段力。的长等于.

14.对于任意两个非零实数a、b,定义新运算“*”如下.•a*6=A〜例如：3*4=»R

-2.若％*y=2,则空竽的值为.

15.如图，已知AABC是等边三角形，AB=3,点。在4C上，

AD=2CD,点E在BC的延长线上，将线段DE绕D逆时针旋转90。

得到线段DF,连接4F，若AF〃BE,则4F的长是.

16.如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=3,E为4B上一点，连

接DE,将AaDE沿DE折叠，点4落在4处，连接&C,若F、G分别

为&C、BC的中点，贝炉G的最小值为.

17.分解因式：

(l)xy-x+y-1；

(2)a(a—2b)+(b—l)(b+l).

18.解分式方程：磊=意气

19.解不等式组

2x>x—1①

(1)

4%+10>%+1②'

'2x—7<5—2%

(2)x】,x-1.

A-1~~

20.如图，在△力BC中，AB=AC,。为2B边的中点，DE1AC于点E,DF1BC于点F,DE=

DF.求证：△ABC是等边二角形.

21.在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下

部分证明过程.

已知：在AaBC中，D、E分别是边力B、4C的中点.求证:

证明：如图，延长DE到点F,使EF=DE,连接CF.

(1)补全求证:

(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程;

(3)若CE=3,DE=4,诺你直接写出边4B的取值范围.

22.阅读并解决问题.

对于形如/+2ax+a?这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(％+口/的形式.但对

于二次三项式/+2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式/+

2a久-3a2中先加上一项a2,使它与/+2ax的和成为一个完全平方式，再减去整个式子

的值不变，于是有：

x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)—a2—3a2=(x+a)2—(2a)2=(%+3a)(x—a).

像这样，先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方

法称为“配方法”.

(1)利用“配方法”分解因式：a2-6a+8.

(2)若a+b=5,ab=6,求：①a2+b2；②+的值.

(3)己知工是实数，试比较/一4x+5与一/+4x-4的大小，说明理由.

23.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的最这时增加了乙

队，两队又共同工作了15天，完成全部工程.

(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？

(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天

共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？

(3)在(2)的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快

多少天能完成总工程.

24.如图，在△ABC中，ABAC=90°,Z5=45°,BC=10,过点4作且点。在点

4的右侧.点P从点4出发沿射线4。方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射

线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E,使得QE=2,连结PE,设点P的

运动时间为t秒.

(1)若PE1BC,求BQ的长；

(2)请问是否存在t的值，使以4,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

25.如图1,D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接力D、BE、CF,三条线段两两

分别相交于。、E、?己知=^EDF=60°.

(1)证明：EF=DF；

(2)如图2,点M是上一点，连接CM,以CM为边向右作ACMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,AGMC=/.GEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M与点。重合时，若CD12。，GD=4,请问在△2CD内部

是否存在点P使得P到△力CD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值;

若不存在，试说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形

重合，所以不是中心对称图形，

选项。能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形，

故选：D.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】D

【解析】解：当腰长为4CM时，4+4=8cm,不符合三角形三边关系，故舍去，

当腰长为8cm时，符合三边关系，底边长为4cm,

故该三角形的底边为4CM,

故选：D.

题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析.

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解

题的关键.

3.【答案】D

【解析】解:4m3n-9mn3

=mn(4m2—9n2)

=mn(2m—3n)(2m+3n).

故用提公因式法分解因式4?713rl_9nm3时，应提取的公因式是租九.

故选：D.

直接利用公因式的定义分析得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有(25-幻道题，由题意得：

5x—2x(20—%)>75,

故选：D.

将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，再由题意知小明答题所得的分数大于等于75

分，列出不等式即可.

本题考查了由实际问题抽象出•元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，

进而找到所求的量的等量关系.本题尤其要注意所得的分数是答对题数所得的分数减去打错或不

答所扣的分数.

5.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

•••OA=OC,AB=CD,AD=BC,

OE1AC,

■■AE=CE,

.•.ACDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+AEAD+CD5,

•••0力BCD的周长=2Q4D+CD),

••.J4BCD的周长为10,

故选：C.

由平行四边形的性质结合。E14C推出AE=CE,得出△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+

CE+AE=AD+CD=5,即可得出结果.

本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

6.【答案】65°

【解析】解：；^ACB=90°,ZX=20°,

•••zB=90°-ZX=70°,

由折叠可知，^DCB=ADCE=45°,

•••乙BDC=180°-70°-45°=65°,

故答案为：65°.

求出NB,NDCB即可解决问题.

本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

7.【答案】A

【解析】解：穹+生=鼻

%+2x+2x+2

去分母，得久—3+x+l=m.

移项，x+x=m—1+3.

合并同类项，得2%=TH+2.

%的系数化为1,得％=5+L

•••关于x的方程沼+号=鼻无解，即该方程有增根X=-2,

%+2x+2x+2

m..0

x=—+1=-2.

■■■m=—6.

故选：A.

先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题.

本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：设AC=4x,贝IJ8C=3x,

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=5x，

•••△ABC的周长为12,

,3%+4%+5%=12,

解得：x=1,

•••AC=4,BC=3,AB=5,

第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52=25x2+50,

第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52=25x

3+50,

第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25x10+50=300,

故选：D.

根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出4C=4,BC=3,AB=5,根据勾股定理计算得出规

律，根据规律解答即可.

本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的

面积和的变化规律是解题的关键.

9【答案】C

【解析】解：4-—”①，

4-%>0@

解①得x<2m+2,

解②得x<4,

•.•不等式组［爪一I"2一1一比的解集为尤<4,

14—x>0

・•・2m+2>4,

Am>1.

y-2+2-yf

两边都乘以y-2,得

my+y—2=3y,

2

••・y=一,

m>1,分式方y程-z+1=z-y有整数解，

TIT—2=-2,—191,29

m=1,3,4,

y—2H0,

•••yW2,

・••TH—2W1,

•••THH3,

：.m=1,4,

•••1x4=4,

故c正确.

故选：c.

不等式组整理后，根据已知解集确定出rn的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方

程有整数解确定出整数巾的值，进而求出之积即可.

本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：••・£•是BC的中点,

BE=CE=^BC=8,

由题意可知：AP=t,则DP=6—t,CQ=3t,

①当Q运动到E和B之间，设运动时间为3

3t—8=6—t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，设运动时间为3

*t•8—3t=6—t,

解得：t=1,

.•・当运动时间t为1秒或33秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形，

故选：C.

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

此题考查了平行四边形的判定.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、

分类讨论思想与方程思想的应用.

n.【答案】>

【解析】解：:a<6,

*'•-2a>—2b,

故答案为：>.

根据不等式的性质，即可解答.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

12.【答案】1.5

【解析】解：过点。作DF1BC于点F,

•••BD是乙4BC的平分线，DE1AB,

：.DE=DF,

AB=8cm,BC=12cm,

ill

s4ABe=SRABD+SABCD=2AB-DE+/C,DF=-DE-(AB+BC)=15cm2,

•••DE=1.5cm.

故答案为：1.5.

首先过点D作DF1BC于点F,由BD是“BC的平分线，DE1AB,根据角平分线的性质，可得DE=

DF,然后由SNBC=SMBD+SABCD郛5DF,求得答案.

此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

13.【答案】|

【解析】"AB//CD,AD//BC,

••・四边形ABCD是平行四边形，

•••AO=CO=1AC,

AC—5,

•••AO==I，

故答案为：

证四边形ABCD是平行四边形，得4。=。。=^力。，即可得出结论.

本题看考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

14.【答案】1011

【解析】

【分析】

根据定义新运算可得:=2,从而可得久-y=2%y,然后代入式子中进行计算即可解答.

yx

本题考查了分式的化简求值，理解新定义的运算方法是解题的关键.

【解答】

解：Vx*y=2,

A-1----1-=c2,

yx

x—y=2xy,

.2022xy_2022xy_1.

•*,x—y-—2nxy=_LUJ__L,

故答案为：1011.

15.【答案】1+?

【解析】解：过点。作G//1AF于G,交BC于点”，

・•.Z,CHD=乙AGD=90°,^DAG=乙ACB=60°,

vAD=2mAB=3,

AD=2,CD=1,

1ii

.'-AG=^AD=1,CH=^CD=

DH=yjCD2-CH2=Jl2-(1)2=

•・•线段DE绕。逆时针旋转90。得到线段。F,

DE=DF,AEDF=90°,

・•・乙HDE+乙CDF=90°,

乙CDF+ZF=90°,

・•・乙HDE=乙F,

在△"DE和△GED中，

ZDHE=乙DGF

乙HDE=乙F,

DE=DF

/.△HDE=AGFD(AAS),

***AF=AG+FG—Id―

故答案为：1+3.

过点。作GH12F于G,交BC于点H,将4G转化为4G+FG,通过A4S可证△HDE三△CT。的HD=

FG,所以分别求出2G和HD的长度即可.

本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等

三角形得到FG=是解题的关键.

16.【答案】1

【解析】解：如图，连接&B,BD,

■-F,G分别为&C、BC的中点，

1

•••FG=-ArB,

当FG的最小时，即4B最小，

•••四边形ABCD为矩形，AB=4,BC=3,

•••AD=BC=3,ZX=90°,

BD=VAB2+AD2=5.

•••△ADE沿DE折叠，

・•.ArD—AD—3,

在4A±BD中有+A±D>BD,

A^B>BD-A^D,

即2/>2,

1

・

•.FG=^ArB>1,

・•.FG的最小值为1,

故答案为：1.

连接由F、G分别为&C、8c的中点可得FG=2&B,在△&BD中有4/+&D2BD,由

勾股定理可得BD,由折叠性质和矩形性质可得&D=4D=BC,即可求解.

本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的FG转化为

17.【答案】解：(1)原式=x(y-1)+(y-1)

=(%+l)(y-l).

(2)原式=a?-2ab+b?—1

=(a—b)2—1

=(a-b+l)(a—b一1).

【解析】(1)根据提取公因式即可求出答案.

(2)先展开，然后根据公式法即可求出答案.

本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型.

18.【答案】解：去分母得：6x=x+5,

解得：x—1,

经检验X=1是分式方程的解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到光的值，经检验即可得到分式方

程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

19.【答案】解:⑴［产271①百

解不等式①，得：x>-l,

解不等式②，得：X>—3,

.•.该不等式组的解集是久>-1；

(2x—7<5—2%①

⑵一<3②，

U-2J

解不等式①，得：%<3,

解不等式②，得：x>—2,

・•.该不等式组的解集是-2<%<3.

【解析】(1)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；

(2)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.

本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.

20.【答案】证明：・・・。为48的中点，

AD=BD.

•・•DELAC,DF1BC,

・•.AAED=乙BFD=90°.

在Rt△ADE^Rt△中，

(AD=BD

IDE=DF'

・•・Rt△ADE=Rt△BDF(HL),

・•・乙A=,

CA=CB,

•・,AB=AC,

AB=BC=AC

・•.△ABC是等边三角形.

【解析】证明得到乙4=48,贝！JC/=然后根据等边三角形的判定方法

得到结论.

本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.

21.【答案】DE//BC,且DE=^BC

【解析】解：(1)求证：DE//BC,且DE=^BC,

故答案为：DE//BC,且DE=：BC；

(2)•••点E是4C的中点，

AE=CE,

在△2。£*和4CFE中，

EF=ED

^AED=乙CEF,

AE=CE

•••△/DEwZkCFE(S/S),

AD=CF,Z-A—Z,ECF,

AD//CF,

•••点。是AB的中点，

•••AD=BD,

・•.BD=CF,

・•・四边形BDFC是平行四边形,

DE//BC,DF=BC,

DE=FE,

:・DE”BC,S.DE=^BC；

(3)vEF=DE=4,CE=3,

BC=2DE=8,

•・•CE=3,

•••AC—6,

BC-ACVABVBC+AC,

即2V14.

(1)根据题意写出求证；

(2)证明AADE三ZkCFE,根据全等三角形的性质得到4。=CF,乙4=NECF,证明四边形BDFC是

平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可；

(3)根据三角形三边关系即可得到结论.

本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作

出辅助线是解题的关键.

22.【答案】解：⑴a?-6。+8,

=m—6a+9—1,

=(a-3)2—1,

=(a—3—1)(。-3+1),

=(a—2)(a—4)；

(2)a2+62,

=(a+b)2—2ab,

=52—2x6,

=13；(2分)

a4+h4=(a2+力2)2—2a2b2,

=132-2x62,

=97；(2分)

(3)v/—4%+5,

=%2—4%+4+1,

=(%-2)2+1>1>0(2分)

—%2+4%—4,

=—(%2—4%+4),

=一(％-2)240(2分)

••・%2—4%+5>—x2+4%—4.(1分)

(若用"作差法”相应给分)

【解析】(1)加1再减1,可以组成完全平方式；

(2)①加2ab再减2帅可以组成完全平方式；②在①得基础上，力口2a2b2再减2a2b2,可以组成完全

平方式；

(3)把所给的代数式进行配方，然后比较即可.

本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方

法，应熟练掌握，(1)实质上是十字相乘法分解因式.

23.【答案】解：(1)•••甲队单独施工30天完成总工程的主

•••甲队单独施工每天完成总工程的4，

设乙队单独施工m天完成全部工程，

由题意得："+15(表+')=1,

解得：m=30,

经检验，租=30是原方程的解，且符合题意

答：乙队单独施工30天完成全部工程；

(2)设甲队工作一天的劳务费为尤元，乙队工作一天的劳务费为y元，

由砧瓦将：(5x+6y=75000)

解得.俨=3。。。

用牛付.(y=10000,

答：甲队工作一天的劳务费为3000元，乙队工作一天的劳务费为10000元；

(3)设甲队施工a天，乙队施工b天，

由题意得：袤+&=1'

整理得：a=90-3b①，

•••总劳务费不超过28万元，

.­.3000a+10000b<280000②,

把①代入②得：3000(90-36)+10000b<280000,

解得：b<10,

,••乙队施工快，在允许范围内乙对施工天数多，总工程完成最快，

b=10时,施工最快，

止匕时a=90-3x10=60,

••・a+5=70,

答：若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程.

【解析】(1)设乙队单独施工机天完成全部工程，由题意：甲队单独施工30天完成总工程的'这

时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程.列出分式方程，解方程即可;

（2）设甲队工作一天的劳务费为%元，乙队工作一天的劳务费为y元，由题意：甲队工作4天，乙队

工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元,

列出二元一次方程组，解方程组即可；

（3）设甲队施工a天，乙队施工b天，由题意得出方程，整理得a=90-3d再由总劳务费不超过28

万元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题.

本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式

的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二

元一次方程组；（3）找出数量关系，正确列出二元一次方程和一元一次不等式.

24.【答案】解：（1）作AM18C于M,设AC交PE于N,如图所示:

z.C=45°=乙B,

AB=AC,

BM=CM,

1

・•.AM=^BC=5,

•・•AD]IBC,

••・乙PAN=Z.C=45°,

•・•PE1BC,

PE=AM=5,PEVAD,

・•.△APN^^CEN是等腰直角三角形，

PN=AP=t,CE=NE=5-t,

CE=CQ-QE=2t—2,

5-t=2t—2,

解得：t所以BQ=8C-CQ=10—2x9=9

(2)存在，t=4或12；理由如下：

若以4,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，

则AP=BE,

t=10-2t+2或t=2t-2—10,

解得：t=4或12,

二存在t的值，使以4B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12.

【解析】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知

识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口.

(1)作AM1BC于M,设AC交PE于N,由已知条件得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出=

CM,由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=|BC=5,证出△"那和仆CEN是等腰直角三角

形，