极坐标计算二重积分_第1页
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文档简介

关于极坐标计算二重积分什么是极坐标?在平面内取一个定点O，引一条射线OX，这样就建立了一个极坐标系。叫做极点。叫做极轴,对于平面内任一点M,记|OM|=r,XOr

M（r，

）就叫做点M的极坐标。∠XOM=

,平面上任一点（r，

）第2页,共18页，2024年2月25日，星期天一、极坐标与直角坐标系的关系两坐标系中变量间关系：第3页,共18页，2024年2月25日，星期天

设积分区域

D为平面有界区域,并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形见下图.二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化第4页,共18页，2024年2月25日，星期天图中分割的其中一小块的面积为略去高阶无穷小

则有

r

r

,故d=rdrd

.于是,二重积分第5页,共18页，2024年2月25日，星期天二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形1、区域特征如图D：第6页,共18页，2024年2月25日，星期天2、区域特征如图D：第7页,共18页，2024年2月25日，星期天极坐标系下区域的面积3、区域特征如图第8页,共18页，2024年2月25日，星期天例1

将化为在极坐标系下的二次积分。1）4）2）3）第9页,共18页，2024年2月25日，星期天1）解：在极坐标系中，闭区域D

可表示为第10页,共18页，2024年2月25日，星期天2）在极坐标系中，闭区域D

可表示为第11页,共18页，2024年2月25日，星期天3）在极坐标系中，闭区域D

可表示为第12页,共18页，2024年2月25日，星期天4）在极坐标系中，闭区域D

可表示为第13页,共18页，2024年2月25日，星期天

例2求D:x2+y2

R2

(R>0).解在极坐标下D:0

r

R,0

2.

利用极坐标计算二重积分第14页,共18页，2024年2月25日，星期天

例3求D:x2+y2

2ax(a>0).

解积分区域D如图,在极坐标下D:0

r2acos

,第15页,共18页，2024年2月25日，星期天

例4求(a>0).

解积分区域D见图,采用极坐标计算,原式=y=xx2+y2=2ay第16页,共18页，2024年2月25日，星期天

例5求的值.

解考虑区域D:0

x+,0y+

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