任意角的三角函数

关于任意角的三角函数1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

OabMPc1.2任意角的三角函数复习回顾第2页,共24页，2024年2月25日，星期天OabMP

yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？导入第3页,共24页，2024年2月25日，星期天

yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒o导入第4页,共24页，2024年2月25日，星期天如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽MOyxP(a,b)探究第5页,共24页，2024年2月25日，星期天3.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M第6页,共24页，2024年2月25日，星期天2.任意角的三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

那么:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。

所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.第7页,共24页，2024年2月25日，星期天（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，无意义，此时轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.说明正切就是第8页,共24页，2024年2月25日，星期天

任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数

直角坐标系中定义锐角三角函数

单位圆中定义锐角三角函数

单位圆中定义任意角的三角函数

第9页,共24页，2024年2月25日，星期天例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?，，

﹒﹒例题巩固第10页,共24页，2024年2月25日，星期天例2已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、＼

于是，∽第11页,共24页，2024年2月25日，星期天

设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即③

叫做的正弦，即

任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广第12页,共24页，2024年2月25日，星期天于是，练习1、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：例题巩固第13页,共24页，2024年2月25日，星期天第14页,共24页，2024年2月25日，星期天第15页,共24页，2024年2月25日，星期天1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-第16页,共24页，2024年2月25日，星期天

例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角.①

②证明：

因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；

又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.

因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.第17页,共24页，2024年2月25日，星期天如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.

？思考第18页,共24页，2024年2月25日，星期天例4确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：（1）因为是第三象限角，所以；（2）因为=，而是第一象限角，所以；练习确定下列三角函数值的符号

（3）因为是第四象限角，所以.第19页,共24页，2024年2月25日，星期天例5求下列三角函数值：

（1）（2）

解：（1）练习求下列三角函数值

（2）第20页,共24页，2024年2月25日，星期天第21页,共24页，2024年2月25日，星期天1.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.2.方法