考研数学二(微分中值定理及其应用)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足=－1，则x=0A．是f(x)的驻点，且为极大值点．B．是f(x)的驻点，且为极小值点．C．是f(x)的驻点，但不是极值点．D．不是f(x)的驻点．正确答案：C解析：本题应先从x=0是否为驻点入手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．由=0，从而f(0)=0，f’(0)==－1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内＜0；由于1－cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选C．知识模块：微分中值定理及其应用2．设f(x)在x=a处连续，且=2，则f(x)在x=a处A．不可导．B．可导且f’(a)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：D解析：由f(x)在x=a连续=>=(a)．又根据极限的保号性，即f(x)－f(a)＞0．因此f(a)为极小值．故选D．知识模块：微分中值定理及其应用3．设f(x)可导，恒正，且0＜a＜x＜b时恒有f(x)＜xf’(x)，则A．bf(a)＞af(b)．B．abf(x)＞x2f(b)．C．af(a)＜xf(x)．D．abf(x)＜x2f(a)．正确答案：C解析：A，B，D分别改写为因此要考察的单调性．因为=>A，B，D均不对．选C．或由正值函数在[a，b]单调上升=>xf(x)=在[a，b]单调上升=>C对．选C．知识模块：微分中值定理及其应用4．曲线y=f(x)=的拐点有A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：B解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f”(x)=0，解得x1=0，x2=2；f”(x)不存在的点是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，f(x)在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．知识模块：微分中值定理及其应用填空题5．曲线y=(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐点是________．正确答案：(0，0)解析：这里y(x)在(－∞，+∞)连续，(y’(0)，y”(0)均不)，y(x)在x=0两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点．知识模块：微分中值定理及其应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6．求函数y=x+的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点．正确答案：(Ⅰ)定义域x≠±1，间断点x=±1，零点x=0，且是奇函数．(Ⅱ)求y’，y”和它们的零点．由y’=0得驻点x=0，；由y”=0得x=0，由这些点及间断点x=±1把函数的定义域按自然顺序分成．由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点．因此，单调增区间是，单调减区间是；极大值点是x=，对应的极大值是，极小值点是，对应的极小值是；凸区间是(－∞，－1)，(0，1)，凹区间是(－1，0)，(1，+∞)；拐点是(0，0)．涉及知识点：微分中值定理及其应用7．在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?正确答案：设外切圆锥体的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO=φ，则tanφ=，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求f(r)=的最小值点．由于因此，当时圆锥体体积最小．涉及知识点：微分中值定理及其应用8．证明函数f(x)=在(0，+∞)单调下降．正确答案：f(x)=，则下证2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)＜0(x＞0)．令t=2x，则x＞0时t＞1，2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)=tlnt－(1+t)ln(1+t)g(t)．由于g’(t)=lnt－ln(1+t)＜0(t＞0)=>g(t)在(0，+∞)单调下降，又=0=>g(t)＜0(t＞0)．涉及知识点：微分中值定理及其应用9．设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1，则正确的是(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(－1)f”(x)－xf’(x)=ex－1，则下列说法正确的是(A)f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．(B)f(0)是f(x)的极小值．(C)(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．(D)f(0)是f(x)的极大值．正确答案：(Ⅰ)由条件=1及f’(x)在x=0连续即知=f’(0)=0．用洛必达法则得型未定式极限因=f”(0)，若f”(0)≠0，则J=∞与J=1矛盾，故必有f”(0)=0．再由f”‘(0)的定义得=>f”‘(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，现考察f”(0)．由方程得又f”(x)在x=0连续=>f”(0)=3＞0．因f(0)是f(x)的极小值．应选(B)．涉及知识点：微分中值定理及其应用10．设a＞0，求f(x)=的最值．正确答案：f(x)在(－∞，+∞)上连续且可写成如下分段函数由此得x∈(－∞，0)时f’(x)＞0，故f(x)在(－∞，0]单调增加；x∈(a，+∞)时f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)单调减少．从而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(－∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a－x)2－(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(－∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(－∞，0)单调增加，在(a，+∞)单调减少，又f(x)在[0，a]的最小值=0，因此f(x)在(－∞，+∞)上无最小值．涉及知识点：微分中值定理及其应用11．设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?正确答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f’(x)－．两边乘积分因子μ=(取其中一个)，得，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件得2=，则C=4－a．因此，f(x)=ax2+(4－a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．a，有f(0)=0，f(1)=．又f’(x)=3ax+4－a，由此易知－8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋转体的体积．(Ⅳ)求V(a)的最小值点，由于则当a=－5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．涉及知识点：微分中值定理及其应用12．当x≥0，证明∫0x(t－t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．正确答案：令f(x)=∫0x(t－t2)sin2ntdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x－x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t，于是当x≥0时有f(x)≤f(1)=∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt=涉及知识点：微分中值定理及其应用13．设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．正确答案：要证f(x)＞0exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)=>exf(x)在[0，+∞)单调上升=>exf(x)＞exf(x)｜x=0=0(x＞0)=>f(x)＞0(x＞0)．涉及知识点：微分中值定理及其应用14．求证：(x∈(0，1))．正确答案：改写右端对f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]区间用柯西中值定理：注意函数在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用15．设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：(Ⅰ)ap+bp＞21－p(a+b)p(p＞1)；(Ⅱ)ap+6p＜21－p(a+b)p(0＜p＜1)．正确答案：将ap+bp＞21－p(a+b)p改写成．考察函数f(x)=xp，x＞0，则f’(x)=pxp－1，f”(x)=p(p－1)xp－2．(Ⅰ)若p＞1，则f”(x)＞0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，其中t=得：a＞0，b＞0，a≠b，有(Ⅱ)若0＜p＜1，则f”(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，其中涉及知识点：微分中值定理及其应用16．设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f’(x)在(a，b)至少有两个零点．正确答案：f(x)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到．由f(x)的可导性，必有f’+(a)≤0，条件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到．同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到．因此，f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点．又f(x)在[a，b]可导，在极值点处f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用17．设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=axx+bx+c的交点不超过三个．正确答案：令f(x)=ex－axx－bx－c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4．由于f(x)在[x1，x4]上可导，由罗尔定理可知f’(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)内至少各有一个零点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f’(x)在[ξ1，ξ3]上可导，由罗尔定理可知f”(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)内至少各有一个零点η1，η2．同样地，由于f”(x)在[η1，η2]上可导，由罗尔定理可知f”‘(x)在(η1，η2)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(－∞，+∞)使得f”‘(ζ)=0，而f”‘(x)=ex＞0(x∈(－∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．涉及知识点：微分中值定理及其应用18．设f(x)在[x1，x2]可导，0＜x1＜x2，证明：ξ∈(x1，x2)使得正确答案：令F(x)=，则f(x)在[x1，x2]可导，又因此，由罗尔定理，ξ∈(x1，x2)，使得即f(ξ)－ξf’(ξ)=1．涉及知识点：微分中值定理及其应用19．求证：方程lnx=在(0，+∞)内只有两个不同的实根．正确答案：即证f(x)=在(0，+∞)只有两个零点．先考察它的单调性：由于f(x)在(0，e)与(e，+∞)分别单调上升与下降，又f(e)=＞0，故只需证明：x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因则x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别只有一个零点，即在(0，+∞)内只有两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用20．求函数y=的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．正确答案：定义域：x≠1．=>单调增区间(0，1)；单调减区间(－∞，0)∪(1，+∞)；极小值点x=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用21．证明：arctanx=(x∈(－∞，+∞))．正确答案：令f(x)=arctanx－，则=>f(x)为常数．又f(0)=0=>f(x)≡0，x∈(－∞，+∞)．涉及知识点：微分中值定理及其应用22．设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．正确答案：若不然=>x∈(a，b)，f’(x)≤0=>f(x)在[a，b]单调不增=>x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)=>f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]为常数，矛盾了．涉及知识点：微分中值定理及其应用23．设当x＞0时，方程kx+=1有且仅有一个解，求k的取值范围．正确答案：设f(x)=kx+－1，则(Ⅰ)当k≤0时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又故f(x)此时只有一个零点．(Ⅱ)当k＞0时，由f’(x)=0得x=，由于f”(x)＞0，x=是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当时，有k=，此时方程有且仅有一个根；当k≠时，方程无根或有两个根．因此，k的取值范围为k≤0及k=涉及知识点：微分中值定理及其应用24．设f(x)在[1，+∞)可导，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．正确答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，要证f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1=>F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，又F(x)在[1，+∞)连续=>F(x)在[1，+∞)单调下降=>F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x>1)．涉及知识点：微分中值定理及其应用25．设f(x)在[0，1]可导且f(1)=，求证：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．正确答案：令F(x)=f(x)，则F(x)在[0，1]可导，且因此，由罗尔定理，，使得F’(ξ)==0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．涉及知识点：微分中值定理及其应用26．设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f”(0)存在．求证：正确答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由于当x＞0时，有＜1；当－1＜x＜0时，有1＜，故由夹逼定理知，．于是涉及知识点：微分中值定理及其应用27．(Ⅰ)设f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])连续，在(x0，x0+δ)((x0－δ，x0))可导，又，求证：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)设f(x)在(x0－δ，x0+δ)连续，在(x0－δ，x0+δ)／｛x0｝可导，又=A，求证：f’(x0)=A．(Ⅲ)设f(x)在(a，b)可导，x0∈(a，b)是f’(x)的间断点，求证：x=x0是f’(x)的第二类间断点．正确答案：(Ⅰ)f’+(x0)=A．另一类似．(Ⅱ)由题(Ⅰ)=>f’+(x0)=f’－(x0)=A=>f’(x0)=A．或类似题(Ⅰ)，直接证明(Ⅲ)即证中至少有一个不．若它们均存在，，