人教A版高中数学选择性必修第一册重点训练：椭圆离心率题型总结分类

9.椭圆离心率题型

1>|'入：'Li'-卒、dtlj......................................................................................................................1

2.利用椭圆第一定义求离心率.............................................3

3.焦点三角形与余弦定理..................................................4

4.顶角直角三角形型......................................................7

5.焦半径与第二定义.....................................................10

6.第三定义与中点弦.....................................................12

7.焦点三角形：双底角型.................................................14

8.焦点三角形：双余弦定理型.............................................17

9.焦点弦与定比分点.....................................................20

10.焦点圆..............................................................23

11.椭圆与圆............................................................25

1.离心率基础

【典例分析】

如果椭圆工+二=1(1>-8)的离心率为e=1,贝心=()

人+892

544

A.4B.4或-7C.--D.4或-二

455

【答案】B

【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a乃的表达式，进而求得c的表达式，然

后根据离心率得到关于k的方程，求解即可.

r2v21

【详解】解：因为椭圆」一+匕=1a>-8)的离心率为e=7,

A+892

当无+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得:

1

=-Jk+2>,b=3,c=4a1-b2=解得k=4,

y[k+8~2

当0v&+8V9时，椭圆焦点在>轴上，可得:

a=3,b=-Jk+8,c-y/a2—h2=yj\—k,e=—=—~~—=—,解得％=一--.

a324

Z=4或火=-2.故选：B.

4

【变式训练】

1.已知桶圆=1(^>0)的离心率e=半,则，”的值为.

【答案】g或3

【分析】分别对焦点在*轴和)'轴讨论，结合离心率求解，〃即可.

r2V2

【详解】已知椭圆方程为二+乙=1(%>0且机工5).当焦点在x轴上，即0<〃?<5时，有

5m

a-y/5,b=\/m,

则。=痒正依题意得涔值=巫，解得胆=3.当焦点在y轴上，即机>5时，有

V55

a=\[m,b=5/5

贝―而二？，依题意有年=叵解得〃?=学，即加的值为3或今

\Jm533

22

2.方程」一+上=1表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是.

in-3团―4

【答案】(0,1);

【分析】根据椭圆的标准方程求解.

[m-4>0

【详解】由题意《)且初一3w/n-4,解得加>4,所以m・3>m-4,故焦点在x轴上。

[w-3>0

"a?=m-3,/?2=m-4

c2=a2-b2=1,e=/3(0,1)

22

3.在平面直角坐标系xOy中，若椭圆氏§+/=1(〃>匕>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰

为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是.

【答案】显

2

【分析】由题易得6=。，再利用。2=。2一从计算即可.

【详解】由己知，h=c,所以a=E^=6c，故离心率为e=£=虫.

a2

故答案为：立.

2

2.利用椭圆第一定义求离心率

【典例分析】

已知FK分别是椭圆提+卷=1(a>〃>0)的左、右焦点，尸为椭圆上一点，且

若归用=G|p用，则椭圆的离心率为()

A.指一6B.2-百c.V3-1D.且

2

【答案】C

【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.

【详解】设|P闾=加，则|尸用=6机，由椭圆定义知：(6+l)m=2a；

尸耳_LPK，.•.附「+忱用2=忻用2,g|j22.,

4m=4C(M=C

.•.(百+l)c=2a,.••椭圆的离心率《=5=高=百_1.故选：C.

【变式训练】

22

1.已知椭圆C:三+营=l(a>b>0)的左、右焦点分别为6,K，P为椭圆c上一点，且

7F

N-PK=§,若耳关于/耳。与平分线的对称点在椭圆。上，则该椭圆的离心率为

【答案】乎【详解】因为久关于/尸建居的对称点Q在椭圆。上,则

Pf；=PQ,；/片尸。=6(),.•.A£PQ为正三角形，.•.6Q=6P，又

：FiQ+F[Q=Ff+F2P=2a,;.F2Q=F2P,

所以PQLx轴，设「工="则P耳=2/，6E=Qf,即

2c=gt2c_cVJ

n=—=e=-——,口义.「’不为—.

2a=3t2aa3t33

2..已知椭圆C的左、右焦点分别为耳，的，直线AB过耳与该椭圆交于A,B两点,当尸“8

为正三角形时，该椭圆的离心率为（）

A.立B.立C.—D.—

4332

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.

【详解】设正三角形RAB的边长为加，

22

设椭圆的标准方程为：「+4=1（。>8>0）,设左、右焦点分别为邛-。,0），玛（c,0）,

a~b~

设3耳=工，则有4耳=加一工，由椭圆的定义可知：BFi+BF2=2a=>x+m=2af

■rr

在，中，由余弦定理可知：F^=BF；+BF^-2BFt-BF2cos-,

24,162c2。4。1.2Cy/3ri、上

4Ac-=—H---a~-2---------=>矿=3c'~=>e=—=—故选：BD

99332a3

22

3.已知椭圆C：=+==1（a>b>0）的左、右焦点分别为B,尸2,点尸为C上一点，若线

ah

段尸石的中点在y轴上，且NPEK=30。，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.3C.1D.叵

6（）33

【答案】D

【分析】由线段"的中点在y轴上，得尸用上》轴，由通径长得|P闻，由直角三角形得仍同，

然后由椭圆定义得。力,关系，转化可得离心率.

【详解】由已知可得轴，附|=与，又々和=30",则附|=2飓=手，

2a=\PF]+\PF^—,:.3b2=2a2,e=£=Jl—与=立.故选：D.

aa\a~3

3.焦点三角形与余弦定理

【典例分析】

22

己知尸是椭圆5+3=l（a>b>0）的一个焦点，若直线y=H与椭圆相交于A,8两点，且

a2b，

ZAFB=60°,则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（弓,1）B.（0,奉C.（0,1）D.（；，1）

【答案】A

【分析】将A，8与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用

椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.

【详解】如图设耳尸分别为椭圆的左、右焦点，设直线卜=区与椭圆相交于4,8,连接

AF1,AF,BFt,BF.

根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.

由椭圆的定义有：|A周+|AF|=2a,|即|=2c,4；AF=120。

由余弦定理有：目2_2|AKHAF|cosl20。

即4c2=（同+|何2一的.阴邓用+阴）2一（同；1凹]

所以4c2训A用+1AF|fJ包出竺1]=4a2-a2=3/

当且仅当时取等号，又、=丘的斜率存在，故43不可能在y轴上.

所以等号不能成立，即即£>3,所以l>e>走故选:

a242

【变式训练】

22

1.已知产是椭圆E：£+}=l（a>6>0）的左焦点，经过原点。的直线/与椭圆E交于尸，Q

两点，若仍?|=3依尸且NPfQ=120。，则椭圆E的离心率为（）

A.—B.；C.立D.立

4242

【答案】A

【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得。和c的关系，即可求得椭圆的

离心率.

【详解】解：设椭圆的右焦点F'，连接PF',QF',根据椭圆对称性可知四边形Pb'Q为平

行四边形，

则|QF|=|PF|，且由NPFQ=120。，可得/尸尸尸=60。，

1a

所以曰+|PFl=4|Pk|=2a,贝iJ|PF[=：a,|PF|=ja

由余弦定理可得

2

/耳尸片=§兀，则该椭圆离心率的取值范围是.

【答案】pg,l）

【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理得到耳小入尸=4从，再由基本不等式得到464a,

转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.

【详解】由椭圆的定义可知：PFt+PF2=2a,

在居中，由余弦定理得：

cn，ppF_F^+F^-F^_^P+F2P^-2FxPF2P-F^_^-2F,PF2P_1

2F\PF2P2F1PF2P2F]PF?P2

所以々P•用P=4/,又耳p.匿尸4（6P；.尸）=4,即劭202,当且仅当K尸=^P时等号

成立，

故4/-4C24a2,所以3a244c2,e2＞|,解得：/[乎」）.故答案为：[等』）

22

3.已知椭圆方程为千■+£=1（。＞人＞0）,左、右焦点分别为A、F”尸为椭圆上的动点，若

2片尸鸟的最大值为年，则椭圆的离心率为.

【答案】3

2

【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，，再利用公式e=可求得该椭圆的离

心率的值.

【详解】由椭圆的定义可得|p6|+|「段=2%

|P用2+附2平周2（冏|+归周丫一忻楼-2附|.|明

由余弦定理可得cos/月产鸟=

2|利•尸图2附”尸身

4a2-4c21、4/4力22b2

，—[-------------------------]—------]—

2|尸用尸身~2J|Pf；|+|Pf；|V2//

因为N耳尸鸟的最大值为则与一l=cos型=-,，可得与=J.,

3a232a24

因此，该椭圆的图心率为e=£=1—?1=J1一冬=-

4.顶角直角三角形型

【典例分析】

22

已知椭圆,+}=l（a>b>0）上一点A,它关于原点的对称点为8,点尸为椭圆右焦点，且

满足AFLBF,设立48尸=口,且aw—,yL则该椭圆的离心率。的取值范围是（）

【答案】B

【分析】设椭圆得左焦点为F'，连接AF',8F,则四边形AMU为矩形，从而有

\AB\=\FF'\=2c,由NABF=a,可得|瓶|=|明sina,|即|=|Afi|cosa,再根据椭圆的定义计

算即可得解.

【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为尸'，连接AF'IF',

则四边形A必尸为矩形，则|阴=|Wl=2c,|AF|=|M[,所以忸耳+怛F[=|BF]+|AF|=2a,

在RtaARF中,FlIZABF=a,W|-4^1=|sinar=2csina,|BF\-\AB\COSa-2ccosa,

c_]]「、

所以2rsina+2ccosa=2a,所以〃sina+cosa&sin（a+工），因为aw—,所以

itit7兀]

a+—wmJ

4

所以0sin（a+jw

【变式训练】

1.设椭圆C:二+1•=l(“>b>())的右焦点为F，椭圆C上的两点A,8关于原点对你，且满

ab

足E4-F8=0，|FB|<|FA|<V3|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为()

A.［制B.［冬gC.［73-1,1)D.性用

【答案】B

【分析】设椭圆的左焦点尸'，由已知条件知四边形AFBF'为矩形，利用椭圆的定义和勾股定

理化简得到再根据网引附4阴雨，得到画的范围，然后利用对勾函数的值

nmb~〃

域得到，•的范围，然后由e=

求解.

【详解】如图所示:

设椭圆的左焦点尸'，由椭圆的对称性可知，四边形

A反/为平行四边形，

又FAFB=U，即必，必，所以四边形AFBk为矩形，阴二|ET|=2c,

设|AF[=〃，|人目=机，在直角心43/中，6+〃=2々，W+〃2=4（?,得加2=2从，所以

mn2c2人加，殂12c2

—+—=—»令一"得「+-=1-，

nmb-ntZr

J（.\FB\<\FA\<\/3\FB\,得所以，，所以%£

即匕£126-3，!],所以二』工,4-26]所以椭圆C的离心率的取值范围为

aL2Ja\_2_

e=*e[#，道-1,故选：B

22

2.设椭圆*+方=1S>QO）的左、右焦点分别为小尸”P是椭圆上一点，|尸耳|=川尸国,

IJT

（-<A<2）,NKPE=5,则椭圆离心率的取值范围为（）

儿（。当B.吟与C.[|/D.争）

【答案】B

氏+1

【解析】设6（-。，0）,片（c,0）,运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=令和=4十1,

可得2=%-1,即有薪=2（5-；）2+；，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求

范围.

【详解】解：设耳（-c,0）,K（c,O）,由椭圆的定义可得，|「耳|+|尸马|=2°,可设|尸乙|=八

可得|「£|=力，

即有。+)=2°,①由/£尸鸟=],可得|PA『+|PEF=4C2,即为(万+1)r=4/,②

—->A~+1.

由②+①2,可得e-=75~八？，令〃?='+1可得4=加-1,即有

(A+l)2

224-1m~-2/w+2.11->1

「r-=2(­v+5,

。+1)2

由:驰2,可得到3,即判|.则当…2时，取得最小值卜当加卷或3时,

取得最大值

9

即有g教好|«解得：自领力g,所以椭圆离心率的取值范围为[孝，当1.故选：B.

22

3.设椭圆C:=+[=l（a>b>0）的两焦点为片，匕若椭圆C上有一点尸满足NF\PF[=90°,

a-b-

则椭圆C的离心率的最小值为（）

A.旦B.且C.-D."

2333

【答案】A

【分析】由椭圆的几何性质求解

【详解】由椭圆的几何性质知当点P在短轴顶点时，/耳尸用最大，设短轴顶点为B,则

ZF,BF>90°,M->sin45°=—，

2a2

故选：A

5.焦半径与第二定义

【典例分析】

已知椭圆C：£+工=13>6>0）的左，右焦点匕，居，过原点的直线/与椭圆C相交于M,

a-b-

N两点.其中M在第一象限.可用，熙,则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（0,-^^—JB.（0,^6—2]

C.（0,6-11D.（马6_11

【答案】D

【分析】由题设易知四边形叫叫为矩形，可得2alM6|+2/=0,结合已知条件

有上>|华12,6-1）4即可求椭圆c的离心率的取值范围.

【详解】由桶圆的对称性知：|N£|=|gl，而ISI+I用耳1=2”,

又|刚=忻闾,即四边形岫然为矩形,

所以|MK『+|M£『=4C2,则21M居『-4a|M6|+4]=布且M在第一象限，整理得

222

\MF2^-2a\MF2\+2b=0,A=a-2b>0

所以|外|=。—，片-»2,又摆=需=碧露之手即〃>|“月[2（6-1%,

2

附用附用2a-\MF2\3/

二2尸整理得K'/jG所以冬

综上，,

【变式训练】

222

1.设K，K分别为椭圆二+4=1（。＞人＞0）的左、右焦点，若在直线x=-2（c为半焦距）上

cTb"c

存在点尸，使伊耳I的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）

【答案】B

【分析】根据题意得到I"6|22c,得到《-“42c,求得£士且，进而求得椭圆离心率的范

ca3

围.

【详解】如图所示，椭圆5+4=1,可得焦距忖凰=2c,

因为在宜线x=-三上存在力:P,使|尸耳|的长度恰好为椭圆的焦距，

C

可得|M耳区2c,即《_c42c,可得a2M3c之，即421，解得且

ca3a3

是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

A1R百C3D1

A.-4D.2C.-4D.-2

【答案】C

【分析】由△尸2/用是底角为30。的等腰三角形，把仍园=忻用用表示出来后可求得离心

率.

a

【详解】由题意可得|P闾=|月段，^（c-,0）,\PF2\=2\EF2\=2（^a-c）,如图，

NP耳玛=/丹尸舄=30。，则/尸乙£=60。，NgPE=30。所以2§a-c）=2c,3a=4c,

3

e=：.故选：C.

4

6.第三定义与中点弦

【典例分析】

若椭圆,nr?+犯2=1（加>0,〃>0）与直线丫=1_》交于人，B两点，过原点与线段A3中点的连

线的斜率为则椭圆的离心率为（）

A.|B.—C.BD.—

2222

【答案】B

【分析】把y=i—x代入椭圆出?+〃y2=i得加/+〃。_*）2=1,由根与系数的关系可以推出

线段A8中点坐标为（』一，』一］，再由原点与线段A3中点的连线的斜率为J，能够算出

\m+nm+nJ2

生=:，进而利用离心率的计算公式求出即可.

n2

【详解】解：把y=1-X代入椭圆加t：2+〃y2=］得如+〃。一力2=i,

整理得（加+〃）12-2%+〃-1=0.设A（%,yJ,3（方,%），则为+M=----,弘+必=2------.

一m+nm+n

线段AB中点坐标为（'一,1一］,••・原点与线段AB中点的连线的斜率

〈加+〃m+nJ

tn

k=一+〃="=J_

nn2,

m4-n

人__,J_11111

由椭圆了了一，可知/=上，b2=~,则。2=“2-62=_1-_1.则椭圆的离心率

mntnn

mn

故选：B.

【变式训练】

22

1..已知椭圆C:「+4=l（a>〃>0）上关于原点对称的两点为4,8,点M为椭圆C上异于4,

CTb-

8的一点，直线AM和直线8M的斜率之积为-!，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.；C.走D.叵

4224

【答案】C

【分析】设“（X。/。），代入椭圆的方程，表示出"，由原M•&.=-!即可得据此即可

4a

求出离心率.

【详解】由已知可设A（-a,0）,8（”,0）.

设〃（4,几），由题设可得,与+*=1,所以巾再（a?_X：）.

aba''

因为&-k:%%B/（“FL1，

xQ+axQ-axQ-axQ-aa4

所以4=L则02=£=七生=1一上=3,所以”也.

a24a2a2a242

2.已知直线x+〉-l=0与椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）相交于A,B两点，且线段

AB的中点M在直线/：x-2y=O上，则椭圆C的离心率为（）

A.—B.BC.72D.；

222

【答案】A

【分析】将直线x+y-l=0代入椭圆方程整理得关于x的方程，运用韦达定理，求出中点坐

标，再由条件得到6=力2,再由“，hc的关系和离心率公式，即可求出离心率.

【详解】解：将直线x+y—1=0代入椭圆方程得，

b2x2+a2（\-x）2=a2b2,即（从+a2）x2-2a2x+a2-a2b2=0,

设4%,y）,8*2，%），贝1」大+%=^~~7，

a-+h-

2»2

即A3中点的横坐标是=J,纵坐标是一J,

a~+ha-+b~

由于线段A3的中点在直线/：x-2y=（）上，则/=处2,又从="一02,

则〃=2/,e=-=—,即椭圆的离心率为".

a22

2

3.若A,B分别是椭圆E:f+匕v=1,（机＞1）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A,8的

m

4

任意一点，若直线A尸与5P的斜率之积为-一，则椭圆的离心率为.

m

【答案】立

2

4v~

（分析】点PCxo,y0）,利用直线4P与直线的斜率之积为，结合点P在椭圆E:V+工=1

mm

上，求出〃?，利用离心率公式即得解.

【详解】设直线AP、2尸的方程为歹=&的（》—1）,y=&「（x+l）,点以），kAP=

脸=上

%+1

则&/=缶=4①'

,22

又点P在椭圆E:Y+匕=1上，x（）2-l=-迎②,

min

由①②得，m2=4,,■•加.•.zn=2.即离心率6=£=2=也

aV22

7.焦点三角形：双底角型

【典例分析】设P为椭圆上一点，且NPK6=30。,/?g片=45。，其中K，玛为椭圆的两个

焦点，则椭圆的离心率e的值等于（）

A.（2+伪。+aB,（2-夜）（1+如

22

C（2+夜）（百-1）D（2-⑶回1）

*2,2

【答案】B

【分析】设|尸耳|=闻「用=〃，利用正弦定理，求得办“与。的关系，进而求得椭圆的离心率,

得到答案.

【详解】设|P耳卜闾尸闻="国闾=2c,

在△「"之中’由正弦定理得磊n_2c

sin30sin105

./口m+n2c

可\j'=

sin45+sin30sin105

2c

又由IMI+I根卜小〃=2d所以再Ef

sin105

G01血

c_sin105_sin(60+45)_2X2+2%2

asin45+sin30sin45+sin30-Jl1

T+2

瓜+应(2-夜)(1+扬

2(>/2+1)-2

【变式训练】

22

1.设椭圆*■+/=1（“>力>0）的左、右焦点分别为「、鸟，且|£©=2c,若椭圆上存在点

M使得在中，列上"匹=包工丝过，则该椭圆离心率的取值范围为.

ac

【答案】>/2-1<e<\

【分析】设/MK6=a,\MF]\=m.\MF2\=n9根据题意由正弦定理化简可

得"=关，再根据a-c<|g|<a+c列式，结合离心率公式求解即可.

【详解】设/M£g=a,/M8耳=夕，|岬|=6，|M同=〃.

〜八”厂厂।।「A.…E+mnsinZMFRsinZ.MF.F,cm2a-n

在△MF罔中，由正弦定理有二二—，且-------」=-------」，n则il一=一=-----,

sin/sinaacann

解得〃=----.由于〃一C<|M居|<a+C,即（a+c）（a—c）v2〃2<（Q+C）~.

a+c

又储—c2V2以2恒成立,则有缶<〃+c，得血-l<e<l.

故答案为：>/2-1<e<1

2.已知椭圆E的两个焦点分别为工，点P为椭圆上一点，且tanP/谯=§,tanP/记=-3,

则椭圆E的离心率为一.

【答案】

4

【分析】由题意得到tanPFtF2tan尸尸/=一1,即3_LPF2,进而求得归用=黑，归周=芸,

V10M（）

8c

结合|P制+|P闻=2%得至IJF=2"，即可求得椭圆的离心率.

【详解】因为tanP6K=；,tanP^耳=-3,则tan2石名tan2乙6=-1,所以尸耳，尸鸟,

31

且cosPKK=sinPf；居=y,所以

|明|=旧用cosNP/第=不二,归周=旧居卜出/2/笆=不

\!\\）5/10

乂由阀|+仍同=2"，即券+条■=？〃,即靠二凡所以”］乎.故答案为：f

vV1U

22

3.设P为椭圆5+力1C”＞。）上一点,两焦点分别为A,6，如果NPKK=75。,

/尸入K=15。，则椭圆的离心率为（）

「代D.B

B.—

A-T322

【答案】A

【分析】利用正弦定理可求萼然回的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的

I耳引

离心率.

【详解】设椭圆的半焦距为半则忻q=2c.

在AP6居”」，由止弦定理有一因一=—胆一=忸闻,

sinNP巴耳sinZPF^sinZFtPF2

所以把1=幽_=上囿故阀I+-I幽

sin15°sin75°sin900'sin150+sin75°sin900'

整理得到粤华1=sin=°+sin75。=应疝（15。+45。）=逅,

归图sin900''2

故网=立即《=亚故选:A.

2c23

8.焦点三角形：双余弦定理型

【典例分析】

已知椭圆C的焦点为%F”过"的直线与C交于A,B两点，若M用=忻引=京％|,则

C的离心率为（）

A.—B.@C.yD.-

2323

【答案】C

【解析】由题意可表示出A片、BF、、叫，在在AA耳巴和△明耳中利用余弦定理，再根据

cosNA7M+cosNMg=0,得到方程，解得.

2cAFt=2a-2c,%=?c,BF2=2a—^c

在反耳6和片中利用余弦定理可得

AF^=AF；+F.F.；-2AFt-FtF2cosZAF,F2oBF^=BF'+-2BF,-F,F2COSZB^/S

即（Ze?=（2«-2c丫+（2cp-2（2a-2c）-2ccosZAFtF2

-2—C-2C-COSZ/1FF,

m=（沙㈤5-

2

（2c）2-ha-|c

.cosNA-F+cosZAFF=0（2"2c）+（2c）—（2c）

2t2=0

2（2a-2c）・2c

2--c-2c

5

化简可得2c°+9ac-5a2=0同除/得：2e?+9e-5=0解得e=1或e=-5（舍去）故选：C

2

【变式训练】

1.已知椭圆C:]+/=l（a>6>0）的上顶点A（（U）,左右焦点分别为耳，尸2连接做，并延

长交椭圆于另一点P,若|融|=|尸闻，则椭圆C的离心率为（）

-B.-C.昱D.逅

3636

【答案】C

【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得|「耳|、归月|的长，根据三角函数定义，求得

8$4耳。=£根据余弦定理，可求得COSNPKE，根据两角的关系，列出方程，代入离心率

a

公式，即可得答案.

【详解】由题意得|。制=。,|。4|=匕,所以卜用=a,则|4"=|A娼+归用=a+|P制，

由椭圆的定义可得|PK|+|P&=2a,所以|P段=2a-|P娟，因为|网=|尸闾,

所以4+归用=24-炉周，解得|「用=£,|尸周=半，在RfA。月中，cosNA耳0=2,

在△「空中，cosNP.」时:呷「手、回”'信）一空£因为

2忖用归用2x@x2c加

2

NA《O+N尸耳鸟二；r,

所以cosNA4O=-cos/PKK，即J//",所以片=3^2所以^=9=£.=@.故选:

aaca\a-3

C

r22

2.楠圆。:]+方v=1（a>6>0）的左焦点为点F,过原点。的直线与椭圆交于尸，。两点，若

NP『0=12O。，|OF|=6,|。尸|=近，则椭圆C的离心率为（）

A73Rx/3「26门R

2333

【答案】B

（分析】设F'为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性,得到|PF|=|QF'|=叫尸尸|=|QF|=2所加,

分别在△打?尸和aFQF,利用余弦定理列出方程组，求得。=3,结合离心率的定义，即可

求解.

【详解】解：设尸为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形P/^QF'为平行四边形，

^\PF\=\QF'\=/n,|PF'|=\QF\=2a-m,在△PQ尸中，归@=2|0“=2*夕=2夕，

则|+1尸Q「-21PF||FQ|cosNPFQ=|=28,即加+(2a-x)2+x(2a-x)=28

在“F0F中，ZFPF'=180-NPFQ=60，贝ij|PF「+|PF『-2|PF||PF1COSNFPF'=|"'「=12,

即川+(2a-x)2-x(2a-x)=12,联立方程组2工小\一，.，解得a=3,

m2+C2ax)2-x(2a-x)=12

22

3.已知F2,B分别是椭圆C:^+}=l(a>"0)的左焦点、右焦点、上顶点，连接B乙并

延长交C于点尸，若△尸［8为等腰三角形，则C的离心率为()

A.-B.yC.立D.—

3232

【答案】C

【分析】根据题意和椭圆的定义可得|即=|P制，进而求出|「用=5,忸尸|=户用=,

,利用余弦定理求出cosNBF?F、cosZPF2F,结合NB/^F+ZPF2F=》列出关于“与。的方程，

解方程即可.

【详解】由椭圆的定义，得怛制+|%|=2%由椭圆的对称性，^\BFt\=\BF2\=a,

设|尸闾=加，则|叫=°+旭，乂|P£|+|P闾=2%所以归耳|=2«-帆，因为，尸耳8为等腰三