考研数学三(线性代数)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以口1，口z，口s，at线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选B．知识模块：线性代数2．设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．A．β4不能由β1，β2，β3线性表示B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定正确答案：C解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以口。可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一线性表示，选C．知识模块：线性代数3．设A=(α1，α2，…，αm)，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则()．A．m＞nB．m=nC．存在m阶可逆阵P，使得AP=D．若AB=O，则B=O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组Ax=0只有零解，故若AB=O，则B=O选D．知识模块：线性代数4．下列命题正确的是()．A．若向量α1，α2，…，αn线性无关，A为n阶非零矩阵，则Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关B．若向量α1，α2，…，αn线性相关，则α1，α2，…，αn中任一向量都可由其余向量线性表示C．若向量α1，α2，…，αn线性无关，则α1+α2，α2+α3，…，αn+α1一定线性无关D．设α1，α2，…，αn是n个n维向量且线性无关，A为n阶非零矩阵，且Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关，则A一定可逆正确答案：D解析：(Aα1，Aα2，…，Aαn)=A(α1，α2，…，αn)，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以矩阵(α1，α2，…，αn)可逆，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαn)=r(A)，而Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关，所以r(A)=n，即A一定可逆，选D．知识模块：线性代数5．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．A．α1，α2，…，αm中任意两个向量不成比例B．α1，α2，…，αm是两两正交的非零向量组C．设A=(α1，α2，…，αm)，方程组AX=0只有零解D．α1，α2，…，αm中向量的个数小于向量的维数正确答案：C解析：向量组α1，α2，…，αm线性无关，则α1，α2，…，αm中任意两个向量不成比例，反之不对，故A不对；若α1，α2，…，αm是两两正交的非零向量组，则α1，α2，…，αm一定线性无关．但α1，α2，…，αm线性无关不一定两两正交．B不对；α1，α2，…，αm中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D不对，选C．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是()．A．A的行向量组一定线性无关B．非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解C．ATA一定可逆D．ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n正确答案：D解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，选D．知识模块：线性代数7．设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A解析：设A，B分别为m×n及n×s矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)＜n．r(B)＜n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，选A．知识模块：线性代数8．设α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，则()．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=rC．若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βs，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选C．知识模块：线性代数9．设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是()．A．r(A)=sB．r(A)=mC．r(B)=sD．r(B)=n正确答案：A解析：设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．知识模块：线性代数10．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1一η2)D．AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2)正确答案：C解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n一1，l，η2一η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．知识模块：线性代数11．设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是()．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(3)(4)正确答案：B解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n一r(A)≤n一r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．知识模块：线性代数12．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()．A．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解正确答案：A解析：仙为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．知识模块：线性代数13．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()．A．r(A)=mB．r(A)=nC．A为可逆矩阵D．r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．知识模块：线性代数填空题14．设，则α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为________，其余的向量用极大线性无关组表示为________．正确答案：解析：(α1，α2，α3，α4)=则向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为α1，α2，且知识模块：线性代数15．设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=0，则a=________，b=________．正确答案：2，1解析：A→，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．知识模块：线性代数16．设η为非零向量，A=，为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为________．正确答案：3，k(一3，1，2)T解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程组AX=0的通解为k(一3，1，2)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(I)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5—α4的秩为4．正确答案：因为向量组(Ⅰ)的秩为3，所以α1，α2，α3线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α4可由向量组α1，α2，α3线性表示．因为向量组(Ⅲ)的秩为4，所以α1，α2，α3，α5线性无关，即向量α5不可由向量组α1，α2，α3线性表示，故向量α5-α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α5一α4线性无关，于是向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．涉及知识点：线性代数18．设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证明：Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆．正确答案：令B=(α1，α2，…，αn)，因为α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，所以r(B)=n．(Aα1，Aα2，…，Aαn)=AB，因为r(AB)=r(A)，所以Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即A可逆．涉及知识点：线性代数19．设α1，α2，…，αn为n个n维列向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是正确答案：令A=(α1，α2，…，αn)，ATA=，r(A)=r(ATA)，向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是r(A)T=n，即r(ATA)=n或｜ATA｜≠0，从而α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是≠0．涉及知识点：线性代数20．设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．正确答案：由α1，α2，…，αt线性无关→β，α1，α2，…，αt线性无关，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，∵β，α1，α2，…，αt线性无关∴→k=k1=…=k1=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关涉及知识点：线性代数21．设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．正确答案：设α1，α2，…，αn线性无关，对任意的n维向量a，因为α1，α2，…，αn，α一定线性相关，所以α可由α1，α2，…，αn唯一线性表示，即任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．反之，设任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示，取，则e1，e2，…，en可由α1，α2，…，αn线性表示，故α1，α2，…，αn的秩不小于e1，e2，…，en的秩，而e1，e2，…，en线性无关，所以α1，α2，…，αn的秩一定为n，即α1，α2，…，αn线性无关．涉及知识点：线性代数22．设A为n阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．正确答案：令l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0(*)(*)两边同时左乘Ak-1得l0Ak-1α=0，因为Ak-1α≠0，所以l0=0；(*)两边同时左乘Ak-2得l1Ak-1α=0，因为Ak-1α≠0，所以l=0，依次类推可l2=…=lk-1=0，所以α，Aα，…，Ak-1α线性无关．涉及知识点：线性代数23．设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量。正确答案：(1)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1α1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1α1-l2β2．令y=k1α1+k2α2=-l1α1-l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1α1+l2β2=0，所以γ=kα1一3kα2=一kβ1+0β2．涉及知识点：线性代数24．设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．正确答案：令A=，因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n一1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．涉及知识点：线性代数25．设齐次线性方程组，其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．正确答案：D==[a+(n一1)b-](a一b)n-1．(1)当a≠b，a≠(1一n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其通解为X=k1(一1，1，0，…，0)T+k2(一1，0，1，…，0)T+…+kn-1(一1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令A=，当a=(1一n)b时，r(A)=n一1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．涉及知识点：线性代数26．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=且AB=O，求方程组AX=0的通解．正确答案：由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(k1，k2为任意常数)；(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为C(C为任意常数)，；当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由A→(k1，k2为任意常数)．涉及知识点：线性代数27．a，b取何值时，方程组有解?正确答案：(3)a=1，b=一1时，通解为X=k1(1，一2，1，0)T+k2(1，一2，0，1)T+(一1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．涉及知识点：线性代数28．A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．正确答案：方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．涉及知识点：线性代数29．设(I)，α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=，r(B)=2．(1)求方程组(I)的基础解系；(2)求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；(3)(I)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．正确答案：(I)方程组(I)的基础解系为(2)因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；(3)方程组(I)的通解为k1ξ1+k2ξ2=一k2=k2，取k2=k，则方程组(I)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(一1，1，1，1)T(其中k为任意常数)．涉及知识点：线性代数30．设(1)求(I)，(Ⅱ)的基础解系；(2)求(I)，(Ⅱ)的公共解．正确答案：涉及知识点：线性代数31．，问a，b，c取何值时，(I)，(Ⅱ)为同解方程组?正确答案：涉及知识点：线性代数32．正确答案：令，方程组(I)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及=0．若方程组(I)有解，则r(A)=r(A｜b)，从而r(AT)=，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(AT)=，从而r(A)=r(A｜b)，故方程组(I)有解．涉及知识点：线性代数33．正确答案：则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(I)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1=Aβ2=…=Aβn=0→A(β1，β2，…，βn)=O→ABT=O→BAT=0．→α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．涉及知识点：线性代数34．设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．正确答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n一r(AB)≥n一r+1，r(AB)≤r一1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．涉及知识点：线性代数35．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．(1)证明=n；(2)设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．正确答案：(1)因为n=r(CA+DB)=(2)因为只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．涉及知识点：线性代数36．设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．正确答案：设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜=0，于是A*b=A*AX=｜A｜X=0．反之，设A*b=0，因为b≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n一1．因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n—1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系．因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)==n一1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．涉及知识点：线性代数37．证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．正确答案：令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n—r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n—r(AB)≥n—r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB)T]=r(AB)一r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}