高中排列组合经典例题

运用两个基本原理

例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果

例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A．24个个个个30。

例2．(1995年上海)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．

72

例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.

A33·A72＝252

例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个

例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法

特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。

36三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．

例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有()种．(结果用数值表示)

A55A33A22=1440(种).

例8．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

例9．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法例10．5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法练习3四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种答案：A44·24=384

五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．

例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有()个．(用数字作答)

例12．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种.

例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法

例14．5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法

练习4．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种答案：2A44·A44

例15．马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种

练习5从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法

答案：C83。

六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种

例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

A74种排法

元素定序，先排后除或选位不排或先定后插

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。

例18．5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况

练习6要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法

七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。

例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种

A77

八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例20.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）A．6.9C

B

九、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例21．方程a+b+c+d=12有多少组正整数解

例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况

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例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法

2

210C21

相同元素进盒，用档板分隔

例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法C94注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。

练习9从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法

C119

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意