整体建构解法贯穿化归思想8.2-消元解二元一次方程

教研共同体浙江张宗余名师团队人教版数学七年级上册第二单元同步教研整体建构解法

贯穿化归思想

8.2——消元解二元一次方程徐登峰

嘉兴国际商务区实验中学2024年4月17日0306教材案例处理课标对比研究01单元知识结构02教材地位作用目录Contents浙江初中数学研究04内容目标解析05学生学情分析01课标对比究浙江初中数学研究《义务教育数学课程标准（2011年版）》课标要求①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.③掌握消元法，能解二元一次方程组.《义务教育数学课程标准（2022

年版）》课标要求①能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.②经历估计方程解的过程.③掌握等式的基本性质.④能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程.⑤掌握代入（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组.具体问题现实情境强化真实情境创设：本章从二元一次方程组的定义、解法、应用都是以实际问题贯穿整个单元，每一节课都以问题解决为载体，基于现实问题开展活动，真正能在活动中让学习回归生活，提高解决真实问题的能力，发展模型观念。强化消元思想：不论是代入法还是加减法，还是其他整体思想。内容要求学业要求教学提示①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.③掌握消元法，能解二元一次方程组.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.建立模型观念.方程与不等式的教学.应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表示一元二次方程的系数，感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算术与代数的差异.01课标对比研究浙江初中数学研究《义务教育数学课程标准（2022

年版）》教什么教到什么程度怎么教01课标对比究浙江初中数学研究（1）经历实际问题抽象成二元一次方程概念的过程，掌握方程概念的一般方法，理解方程解的概念，发展抽象能力；（2）掌握消元法，能解二元一次方程组，归纳解二元一次方程组的一般步骤，发展运算能力；（3）经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，认识到方程的现实价值，发展模型观念、应用意识和创新意识。单元教学目标02单元知识结构浙江初中数学研究二元一次方程在整体代数知识结构的位置02单元知识构浙江初中数学研究简易方程小学一元一次方程初中承前启下二元一次方程（组）分式方程一元二次方程二元一次方程在方程知识结构的位置02单元知识结构浙江初中数学研究概念解法应用单元学习路径抽象能力模型观念运算能力推理能力模型观念创新意识学科素养链接内容结构分析03教材地位作用浙江初中数学研究

方程作为刻画现实世界的关键模型，方程单元学习是在未知数和已知数之间建立起来的等量关系，应用广泛且有重要的价值。在人教版教材中，从数的扩充到式的抽象,再过渡到一元一次方程的学习，再到二元一次方程、一元二次方程，这样的教材编排体现了知识螺旋上升的原则。一元一次方程是最简单的代数方程，是所有代数方程的基础，后续学习的其它类型代数方程（组）最终都要化归为一元一次方程．二元一次方程为现实生活中涉及多个未知数的问题建立了数学模型，是一元一次方程的再发展，是线性方程组的基础，它对于解含有两个未知数的问题更有效.通过对二元一次方程组的学习，不但可以巩固解一元一次方程问题，而且可以提高对多元和高次方程问题的认识.由此逐渐发展抽象能力、推理能力、运算能力、模型观念、应用意识和创新意识。浙江初中数学研究内容本质本章内容是整个方程链条中的一环，作为方程体系的中途章，它的研究思路（实例——概念——解法——应用）已经在一元一次方程单元中基本形成，本章的学习首先通过问题激活再现这一研究思路，发挥先行组织的作用，展现出本章全景。方程组是解决多个未知数问题的有利工具，而通过“消元法”将“多元”化为“一元”，使得这一工具可以顺利应用，本章的学习重点体现了方程在“元”这一方向上的发展变化。01思想方法02本章的学习是学生在学习了第三章一元一次方程的基础上进行的，在学习二元一次方程组时，可以类比一元一次方程研究的一般步骤，一般思路和一般方法，整体的规划全单元的学习，增强学习的预见性。同时本章为今后进一步学习不等式组及二次函数等内容奠定了基础.03上下位关系本章不仅重视数学与实际的联系，列方程组和解方程组的方法，而且重视数学知识中蕴含的模型、消元、化归等数学思想方法的渗透.本章所涉及的数学思想方法主要包括两个，一个是由实际问题抽象、推理、模型的思想；另一个是解方程组的过程中所蕴含的消元化归思想，化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决，最终达到化“未知”“已知”的目的.04内容目标解析浙江初中数学研究04内容目标解析1.对于给出的方程组，能够利用消元法进行正确的求解。2.能够根据数量关系列出方程组，解出未知数，解决实际问题。达成标志实际问题数学方程方程的解列方程设未知数解释、检验实际问题的答案解方程数学建模1.建模：从实际问题抽象，构建出数学模型。2.求解：采用“消元”法解二元一次方程组。教学重点浙江初中数学研究

学生在七年级上册已经学习了一元一次方程，对于方程的研究思路和方法有了一定了解，但对于含有多个未知数问题的数学模型（同时也具有多个数量关系的），理解和分析起来还有一定的困难，所以在方程的教学中要实时的引导，分析问题中的数量关系，设多个元建立方程组这样更自然，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显。同时利用消元法解方程组时，消哪个元，选用哪种消元法，也是学生的困惑点。通过本章的学习可以了解从“一元”到“二元”以及“多元”的发展过程，解法步骤就增加了“消元”和“回代”，强调从未知向已知转化的程序化思想。05学生学情分析尝试单元教学，建构二元一次方程组知识结构体系浙江初中数学研究05学生学情分析二元一次方程组的解法（1）06教材案例处理教学内容及其解析地位和作用概念的解析思想方法知识类型本节课在知识结构上起着承上启下的作用.在之前课上，学生已掌握了二元一次方程组的有关概念和一元一次方程的相关基础，本节之后会继续学习二元一次方程组的解法，学生将对“消元”思想和转化“化归”思想有进一步的认识和理解，也为后继学习一次函数等埋下伏笔.本节课的主要知识是二元一次方程组的解法：代入消元法将方程组中的二元化为一元，体会“消元”思想.经历从未知向已知转化的过程，体会将“复杂化为简单”的化归思想.用代入消元法解二元一次方程组，是学生接触到的解方程组的第一种方法，消元体现了“化未知为已知”的重要思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点：用代入消元法求解二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是“消元”.教学目标及其解析1．目标（1）会用代入消元法解简单的二元一次方程组，并能根据二元一次方程组的特点，会观察、比较、分析，选用适当的消元方式使计算简便，发展运算能力。（2）体会解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.2．目标解析达成目标（1）的标志是：会选择适当的方法用“代入消元法”解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.达成目标（2）的标志是：让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.教学问题诊断分析（1）具备的基础（知识、能力）

在知识层面上，学生之前已学习了一元一次方程的相关概念，包括设元、寻找等量关系、求解等，对二元一次方程组的概念也有了初步的了解，学生对二元一次方程组的解法学习并不感到意外，符合学生的认知规律。从情感角度看，七年级的学生已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。但是他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。（2）本课的目标需求（知识、能力）

对于解二元一次方程组的方法需要归纳梳理提炼，使用代入消元法进行计算需要运算能力.（3）可能存在的问题（问题、障碍）

学生不易理解为什么要向一元转化，为什么可以转化，如何进行转化。（4）应对策略（过程、方法）

通过将一元一次方程和二元一次方程组进行对比分析，举多个实例理解代入消元法.创设情境

引入新知问题一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？

追问1：这个实际问题能列一元一次方程求解吗？解：设胜x场，则负（10－x）场.

2x+（10－x）=16.追问2：对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？设计意图：创设真实情境，让学生们主动进入情境，引导学生列二元一次方程组，初步体会二元一次方程组也是刻画现实世界的一个重要模型。再让学生列一元一次方程求解，激活学生的已有经验，探寻二元一次方程组的解法与一元一次方程解法的关联。问题引入，发现规律★

代入法解二元一次方程组2x+(10-x)=16x+y=10，2x+y=16.解：设胜x场，则负（10－x）场，根据题意，得解得x=6.将x=6代入10－x=10－6=4.答：篮球队胜了6场，负了4场.用一元一次方程求解解：设篮球队胜了x场，负了y场.根据题意，得用二元一次方程组求解观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何新思路？y=10-x追问：将2x-y=200中的y换成10-x

的依据是什么？创设情境

引入新知2x+(10－x)=16第一个方程x+y=10说明y=10-x将第二个方程2x+y=16的y换成10-x解得x=6代入y=10-x得y=4思考:从到达到了什么目的?怎样达到的?2x+(10－x)=16x+y=10，

2x+y=16x+y=10，

2x+y=16设计意图：学生经历自主探究、合作交流，在最近发展区内探索新知，体会化二元为一元的化归转化思想。在活动的过程中理解用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的依据是等式的基本性质，用代数式去替换一个未知数的依据是它们表示的含义一致，是等量替换，从而更好地理解算法与算理之间的关系。创设情境

引入新知二元一次方程组一元一次方程消元转化

消除其中一个未知数，将二元一次方程组转化成解一元一次方程的想法，叫做消元思想.将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.设计意图：学生自主得出解题过程，规范解题步骤，并加以归纳用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤小结使算法落地。学生在理解的基础上完成，逐步渗入深层结构，促进深度学习，学生自主探究，自然体会消元法和化归转化的思想。例题演练，掌握新知例1解方程组x-y=3①3x-8y=14②问题1：选择哪个方程进行变形会比较简便，为什么？问题3：方程③可以代入方程①吗？为什么？问题2：用含y的式子表示x，写出解答过程.问题4：问题2中的y=-1代入哪个方程能求得x的值吗？代入哪个方程更简便？问题5：方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看.设计意图：让学生进一步体会用代入消元法解二元一次方程组，先选择一个方程用一个未知数的代数表示另一个代数式。进一步总结和完善用代入法解二元一次方程组的步骤和注意事项。通过一题多解让学生掌握变形的方法，并通过比较优先选择消去系数绝对值是1的未知数，避免产生分数系数，会更加简便。进一步理解“消元”“化归”思想方法。例题演练，掌握新知用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：⑴变形（选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式）；⑵代入求解（把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出未知数的值）；⑶回代求解（把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值）；⑷写解（用的形式写出方程组的解）．小技巧：用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.问题：经过上述例子，你能总结一下二元一次方程组解的步骤吗？问题：选择什么样的方程进行变形比较简便？例题演练，掌握新知练习D.x=4，y=3x=3，y=6x=2，y=4x=4，y=2A.B.C.1.二元一次方程组

的解是()x+2y=10，y=2xC2.方程组的解是（）B．

C．D．A.B例题演练，掌握新知练习3.解方程组3x–2y=19，2x+y=1.解：①②3x–2y=19，2x+y=1.由②得：y=1–2x，③把③代入①得：3x–2（1–2x）=19，解得x=3，把x=3代入③，得y=–5.∴例题演练，掌握新知问题:方程组（3）你选择哪个方程变形，消去哪个未知数？追问1：方程组（4）有几种解法？追问2：你认为解二元一次方程组关键是什么？怎样更好算？设计意图：

学生在展示交流、互评互判中，体会“消元”的不同途径所带来的优劣差异，学会根据方程组的特征优选解法，学生思维得到发散。进一步理解“消元”“化归”思想方法，发展学生推理能力、运算能力。例题演练，掌握新知例3解方程组★

代入法解二元一次方程组的简单应用根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？分析：等量关系：⑴大瓶数：小瓶数=2：5；⑵大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.

例题演练，掌握新知4.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩.依题意得：x+y=10，①2000x+1500y=18000，②由①得y=10-x.③将③代入②,得2000x+1500(10-x)=18000.解得x=6.

将x=6代入③，得y=4.

李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.练习小结新课，梳理新知1.你能说说解二元一次方程组的基本思想是什么？2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？3.用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？4.对于方程组带有的分数计算很不方便，还有其他消元的方法吗？解二元一次方程组基本思路“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤变代求写选择未知数系数为1或较简单的方程选择变形后的方程二元一次方程组的解法（2）06教材案例处理教学内容及其解析地位和作用概念的解析思想方法知识类型在学习本课之前，学生已经学习了二元一次方程组和它的解，并能用代入消元法解二元一次方程组。学生已经学习了一种消元方法，具备“转化”的数学思想。本节课在代入消元法的基础上，探索发现新的消元法：加减消元法。本节课的学习，丰富了学生的消元手段，使学生能更熟练的掌握二元一次方程组的方法，为解决实际问题和三元一次方程组以及求一次函数交点坐标等后继知识打下基础.本节课的主要知识是二元一次方程组的解法：加减消元法进一步体会“消元”思想和将“复杂化为简单”的化归思想.本节课的教学重点为：用加减消元法求解二元一次方程组，进一步体会消元和转化.教学目标及其解析1．目标（1）会用加减消元法解简单的二元一次方程组.（2）通过对方程组中未知系数的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是消元，促使二元向一元转化，培养学生的观察能力，更进一步体会转化数学思想.2．目标解析达成目标（1）的标志是：加减消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.达成目标（2）的标志是：让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.教学问题诊断分析（1）具备的基础（知识、能力）在知识层面上，初一的新生在之前已学习了二元一次方程组和它的解，并能用代入消元法解二元一次方程组。本节课的学习将进一步体会消元和转化的数学思想；从情感角度看，七年级的学生已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。但是他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。（2）本课的目标需求（知识、能力）对于解二元一次方程组的方法需要归纳的能力，对于使用加减消元法进行计算需要运算能力.（3）可能存在的问题（问题、障碍）学生习惯用代入消元法求解方程组，不易发现新的消元法、不直接满足加减消元法的方程组不易求解（4）应对策略（过程、方法）在原有知识基础上，引导学生发现新的消元法，设置题目由浅入深，明确其依据，体会其可靠性和简洁性.复习引入，回顾旧知1.解二元一次方程组的基本思路和基本方法是什么？2.用代入法解二元一次方程组的关键？用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.解二元一次方程组基本思想基本方法消元思想代入消元法问题引入，发现规律

y的系数相等②式的左边①式的左边②式的右边①式的右边

依据：等式的性质2x

y(x

y)16102x

y

x

y

6x6消去未知数y简写为：②①问题引入，发现规律

①

②行吗？解：②

①，得：2x

y(x

y)1610，

x6.把x6代入①，得：y4.解：①

②，得：

x

y(2x

y)1016，

x6.把x6代入②，得：y4.代入②行吗？问题引入，发现规律

解：①＋②，得18x＝10.8x＝0.6把x＝0.6代入①，得3×0.6＋10y＝2.8y＝0.13x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8y的系数相反设计意图：学生观察方程中未知数的系数的关系，通过加减消元法也能达到消去一个未知数的目的，从二化二元为一元，为二元一次方程组的解法提供另一条思路，体会化归消元思想。问题引入，发现规律探究新知当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程，

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2x－x＝6二元一元消元②

①

3x+15x＝10.8①+②问题引入，发现规律

解：①＋②，得18x＝10.8x＝0.6把x＝0.6代入①，得3×0.6＋10y＝2.8y＝0.1

3x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8基本思想→消元→加减→代入→求解→写解设计意图：学生在解二元一次方程组的过程中提炼出用“加减消元法”解二元一次方程的步骤，为解二元一次方程组积累活动经验。问题引入，发现规律

问题1：能直接用加减消元法消去一个未知数，为什么？问题2：消哪个未知数比较方便，为什么？问题引入，发现规律

问题1：能直接用加减消元法消去一个未知数，为什么？问题2：如果我们想消去y，需要将y的系数统一成几？怎么统一？问题3：如果我们想消去x，需要将x的系数统一成几？怎么统一？设计意图：