高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(一)

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练一．选择题（共15小题）1．已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则θ的值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由a2=cos2θ，b2=sin2θ，，知a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，再由双曲线第二定义，知，d=，故e=﹣=，由此能够导出θ的值．解答：解：∵a2=cos2θ，b2=sin2θ，，∴a=﹣cosθ，b=sinθ，c=1，e=﹣，由双曲线第二定义，知，d=，∴e=﹣=，∴cosθ=，∵，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．2．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．解答：解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+x∵OP为三角形F1F2P的中线，∴根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2∴3a2=c2∴故选C．点评：本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．3．如果双曲线x2﹣my2=1（m＜1）上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形面积为1，则此三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：双曲线的简单性质；三角形的形状判断．专题：计算题；压轴题．分析：先根据双曲线方程确定几何量，再利用三角形的面积公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函数的平方关系，可用m表示cosα，利用m＜1，即可求解．解答：解：双曲线x2﹣my2=1（m＜1）中，不妨设|PF2|=x，|PF1|=x+2，∠F1PF2=α则=2x（x+2）﹣∵三角形的面积为1，∴∴∵∴∵cos2α+sin2α=1∴∴∵m＜1∴cosα＜0∴α为钝角故三角形为钝角三角形故选C．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的焦点三角形，合理运用双曲线的定义，正确运用余弦定理是解题的关键．4．双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，点Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，则x2008的值是（）A．B．C．4016D．4015考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于2a，可得到Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2，在根据|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，判断出数列{PnF1|}为等差数列，公差为2，首项为3，求出|P2008F1|，在根据双曲线的第二定义，双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比等于离心率，求出x2008的值．解答：解：∵Pn+1点在双曲线x2﹣y2=2右支上，∴|Pn+1F1|﹣|Pn+1F2|=2又∵|Pn+1F2|=|PnF1|，∴|Pn+1F1|﹣|PnF1|=2∴数列{PnF1|}为等差数列，公差为2∵P1F2⊥F1F2，∴|P1F2|=，则|P1F1|=3∴|P2008F1|=|P1F1|+2007×2=3+2007×2=4017∵双曲线x2﹣y2=2的左准线方程为x=﹣1，离心率为，设P2008到左准线距离为d，则=，∴d=4017又∵d=x2008+1，∴x2008=4016故选C点评：本题主要考查了双曲线第一第二定义的应用，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．5．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．（2﹣2）a万元B．5a万元C．（2+1）a万元D．（2+3）a万元考点：双曲线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．解答：解：依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2﹣=1，点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1，根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|CC1|=2a×（3﹣）=5a．当且仅当点M在线段CC1上时取等号，故ω的最小值是5a．故选B．点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用a+b当且仅当a=b时取等号的方法来求函数的最小值的能力．6．如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）A．B．5aC．D．6a考点：双曲线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．解答：解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．因B地在A地北偏东60°方向处，∴B到点A的水平距离为：3，∴B到直线l距离为：3+2=5，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a．故选B．点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用抛物线的定义的方法来求函数的最小值的能力．7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．x±2y=0D．2x±y=0考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线的关于a，b的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程．解答：解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的c=2，又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2∴m+2=5，m=3，∴点P的坐标（3，）∴解得：则双曲线的渐近线方程为故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等．解答的关键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，把x0=代入椭圆方程求得关于y0的等式，根据抛物线定义可知y0=2c代入等式整理可得关于离心率e的一元二次方程求得e．解答：解：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，x0=代入椭圆方程得（*）根据抛物线定义可知y0=p=2=2c∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得e2+2e﹣1=0，解得e=或﹣﹣1（排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．9．椭圆C1：的左准线为l，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，线段PF2的中点为G，O是坐标原点，则的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；压轴题．分析：P到椭圆的左准线的距离设为d，先利用椭圆的第二定义求得PF1|=ed，利用抛物线的定义可知|PF2|=d，最后根据椭圆的定义可知|PF2|+|PF1|=2a求得d，则|PF2|可得，最后化简即得．解答：解：设椭圆的离心率为e，P到椭圆的左准线的距离设为d，则|PF1|=ed，|PF2|+|PF1|=2a，又|PF2|=d，∴d+ed=2a，∴d=|PF2|=，|PF1|=．又线段PF2的中点为G，O是坐标原点，∴|OG|=|PF1|=，则===．故选D．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是灵活利用椭圆和抛物线的定义．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF1|，|PF2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将等比数列的概念与双曲线的第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到|PF1|与其离心率e的关系，通过不等式|PF1|≥c﹣a即可求得该双曲线的离心率的取值范围．解答：解：∵该双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，又P为左支一点，则|PF2|﹣|PF1|=2a，设双曲线的离心率为e，依题意，==e，∵=e，∴=e﹣1，即=e﹣1，∴|PF1|=，又|PF1|≥c﹣a，∴≥c﹣a，又c＞a，∴0＜≤，即（e﹣1）≤，∴e﹣1≤，又e=＞1∴1＜e≤1+．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用，属于中档题．11．已知点P是双曲线C：﹣=1上的动点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则的取值范围是（）A．[0，6]B．（2，]C．（，]D．[0，]考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设P（x，y）则y2=﹣4，e=，由焦半径公式能够得出|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，代入所求的式子并化简得到，再由双曲线中x2≥8，求出范围即可．解答：解：设P（x，y）x＞0，由焦半径公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，则=（y2=﹣4，e=），则原式==，又因为双曲线中x2≥8．所以∈（2，]．同理当x＜0时，|PF1|=a﹣ex，|PF2|=﹣ex﹣a，仍可推出=∈（2，]．即推出的取值范围为（2，]．点评：本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a是解题的关键，要注意分x＞0和x＜0两种情况作答，属于中档题．12．已知点P是双曲线左支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，则=（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案．解答：解：依题意，在△PF1F2中，由正弦定理得：==与合比定理得：=，即=，∴e======，∴tan=•tan，∴=．故选A．点评：本题考查正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用，求得是关键，属于难题．13．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质；等差数列的通项公式．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：不妨设OA的倾斜角为锐角∵向量与同向，∴渐近线l1的倾斜角为（0，），∴渐近线l1斜率为：k=＜1，∴==e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∴|OB|﹣|OA|=|AB|，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列∴|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（﹣∠AOB），∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴==e2﹣1=，∴e2=，∴e=．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．14．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直接利用双曲线的通径与∠AF1B=90°，得到a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：由题意可知，双曲线的通径为：，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，所以2c=，所以2ca=c2﹣a2，所以e2﹣2e﹣1=0，解得e=1±，因为e＞1，所以e=．故选C．点评：本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．设P为双曲线的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的交点，e是双曲线C的离心率，则∠APF的余弦的最小值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据双曲线的简单性质得：A（，0），F（c，0），P（at，bt）由直线的斜率公式，得KPF=，KPA=，再利用根据到角公式，得tan∠APF的表达式，最后利用基本不等式求得tan∠APF的最大值，从而得出∠APF的余弦的最小值．解答：解：由题意得：A（，0），F（c，0），P（at，bt）由直线的斜率公式，得KPF=，KPA=根据到角公式，得tan∠APF=化简，得tan∠APF===此时=则∠APF的余弦的最小值故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．二．解答题（共15小题）16．实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点F1，，F2在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面积为3．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若，求直线l的斜率k．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，AF1=m，AF2=n，由题意知，由此能求出椭圆的方程和抛物线方程．（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x1，y1），C（x2，y2）．由，得，联立直线与抛物线的方程，得，．联立直线与椭圆的方程，得．由此能求出直线l的斜率．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，AF1=m，AF2=n由题意知…（2分）解得c2=9，∴b2=12﹣9=3．∴椭圆的方程为…（4分）∵yA×c=3，∴yA=1，代入椭圆的方程得，将点A坐标代入得抛物线方程为x2=8y．…（6分）（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x1，y1），C（x2，y2）由得，化简得…（8分）联立直线与抛物线的方程，得∴①…（10分）联立直线与椭圆的方程得∴②…（12分）∴整理得：∴，所以直线l的斜率为．…（14分）点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法和求直线l的斜率k．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．17．已知：点F是抛物线：x2=2py（p＞0）的焦点，过F点作圆：（x+1）2+（y+2）2=5的两条切线互相垂直．（Ι）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+b（k＞0）交抛物线于A，B两点．①若抛物线在A，B两点的切线交于P，求证：k﹣kPF＞1；②若B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，A，B在y轴两侧，且，求l的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；作图题；证明题；压轴题．分析：（I）由题意可得：圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，因为半径为，所以点F到圆心的距离为，即可得，进而求出p的数值．（II）①设A，B两点的坐标分别为（x1，），（x2，），利用导数求出切线的斜率，写出两条切线的方程，求出交点P的坐标，进而求出kPF=，所以k﹣kPF=k﹣=k+=，所以由基本不等式可得：k﹣kPF＞≥1．②联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，可得x2=﹣2x1．进而得到b=8k2．因为，结合题意可得，进而得到k=，b=．解答：解：（I）由题意可得：过F点作圆：（x+1）2+（y+2）2=5的两条切线互相垂直，切点分别为M，N．所以由圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，因为半径为，所以点F到圆心的距离为，即可得，解得：p=2或者p=﹣10（舍去），所以抛物线的方程为x2=4y．（II）①设A，B两点的坐标分别为（x1，），（x2，），因为抛物线的方程为x2=4y，所以y′=x．所以切线AP为：…①切线BP的方程为：…②，由①②可得点P的坐标为（，）．联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x2﹣4kx﹣4b=0，所以△=16k2+16b＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，所以可得点P的坐标为（2k，﹣b），所以kPF=，所以k﹣kPF=k﹣=k+=＞，所以由基本不等式可得：k﹣kPF＞≥1．所以k﹣kPF＞1．②设A，B两点的坐标分别为（x1，），（x2，），由题意可得：联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x2﹣4kx﹣4b=0，所以△=16k2+16b＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，…①因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，所以，即x22=4x12．因为A，B在y轴两侧，所以x2=﹣2x1…②由①②可得：b=8k2…③．．又因为，所以结合①整理可得：…④，所以由③④可得：k=，b=．所以l的方程为：．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且熟练利用利用数形结合的数学思想解决数学问题．18．已知抛物线C1：y2=4x，圆C2：（x﹣1）2+y2=1，过抛物线焦点F的直线l交C1于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C2于B，C两点（点B在x轴上方）．（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；（Ⅱ）设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=xA，同理可得：|CD|=xD，要分l⊥x轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当l⊥x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得．（2）首先在第1问得基础上和|AB|，|BC|，|CD|成等差数的关系用坐标表示，就可得出k的值，然后再把m+n+p+q=用坐标表示，再联立直线和圆的方程利用根与系数关系，把几个坐标的关系式联合起来就可确定k的值，从而求出此时的直线方程．解答：解：（1）∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1．由定义得：|AF|=xA+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA同理：|CD|=xD当l⊥x轴时，则xD=xA=1，∴|AB|×|CD|=1当l：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴xAxD=1，∴|AB|×|CD|=1综上所述，|AB|×|CD|=1（2）∵|AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=xA，|BC|=2，|CD|=xD，∴xA+xD=4由（1）得：，∴∵l：y=k（x﹣1），∴同理：∴又把y=k（x﹣1）代入（x﹣1）2+y2=1得，（k2+1）x2﹣2（1+k2）x+k2=1，∵k2=2，∴3x2﹣6x+2=0∴，所以所求直线L的方程为点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，好在本题还融和了等差数列，主题思路是转化成坐标关系式，用方程的思想去解决．19．如图：过抛物线y2=4x上的点A（1，2）作切线l交x轴与直线x=﹣4分别于D，B．动点P是抛物线y2=4x上的一点，点E在线段AP上，满足；点F在线段BP上，满足，3λ1+2λ2=15且在△ABP中，线段PD与EF交于点Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若M，N是直线x=﹣3上的两点，且⊙O1：（x+2）2+y2=1是△QMN的内切圆，试求△QMN面积的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：（1）切线AB：y=x+1，D（﹣1，0），B（﹣4，﹣3），=（3，3），=（2，2），=，则=，由此能求出点Q的轨迹方程．（2）设Q（x0，y0）（），M（﹣3，m），N（﹣3，n），则（）．切线MQ：y﹣m=，由相切可得：（x0+1）m2+2y0m﹣（x0+3）=0，同理（x0+1）n2+2y0n﹣（x0+3）=0．由此能求出△QMN面积的取值范围．解答：解：（1）切线AB：y=x+1，D（﹣1，0），B（﹣4，﹣3），=（3，3），=（2，2），=，则=，令=，由于E，Q，F三点共线，所以，即，又3λ1+2λ2=15，故，Q分的定比为，设P（x0，y0），Q（x，y），则，故，得（y）（2）设Q（x0，y0）（），M（﹣3，m），N（﹣3，n），则（）切线MQ：y﹣m=，由相切可得：（x0+1）m2+2y0m﹣（x0+3）=0，同理（x0+1）n2+2y0n﹣（x0+3）=0．知m，n是方程（x0+1）x2+2y0x﹣（x0+3）=0的两根故，，=，令t=x0+1，则（t），二次求导可知g′（t）＞0，△QMN面积的取值范围．点评：本题考查点Q的轨迹方程的求法和求△QMN面积的取值范围，具体涉及到抛物线的性质、圆的性质和直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．20．平面内动点M与点P1（﹣2，0），P2（2，0）所成直线的斜率分别为k1、k2，且满足．（1）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；（2）设直线l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面积取得最大时直线l的方程．考点：圆锥曲线的综合；轨迹方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），由k1•k2=﹣，可得，整理可求（2）在，从而可得AB的中点为，联立方程结合方程的根与系数的关系及|AC|=|BD|，可得CD中点就是AB中点，从而可求k，由于CD|=，点N到CD的距离d=|m|，代入利用基本不等式可求面积的最大值及K的值，进而可求直线方程解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=﹣，∴，即=1（y≠0）动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±，0）的椭圆（除去长轴两个端点．）它的方程是=1（y≠0）．（2）在，AB的中点为设C（x1，y1），D（x2，y2），由﹣4=0△=32k2﹣8m2+16，x1+x2=﹣，∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，即﹣，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=点N到CD的距离d=|m|，S△NCD=|m|=当且仅当4﹣m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±，此时△＞0，所以直线的方程为l：y=．点评：本题主要考查了利用直线的斜率关系求解点的轨迹方程，要注意（1）中要去掉不符合条件的点，考查了基本不等式在求解最值中的应用．21．已知椭圆C1+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．①当直线BD过点（0，）时，求直线AC的方程；②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．分析：（1）根据右焦点F2也是拋物线C2：y2=4x的焦点，且|MF2|=，可求出F2，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，），可求出BD的方程，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线ACy=﹣x+m，联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得AC的中点，在直线BD上，可求直线AC的方程；②ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面积的最大值，转化为求弦AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可．解答：解：（1）设M（x1，y1）∵．由抛物线定义，，∴，∴．∴在c1上，，又b2=a2﹣1∴9a4﹣37a2+4=0∴a2=4或舍去．∴a2=4，b2=3∴椭圆c1的方程为．（2）①直线BD的方程为∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=﹣x+m，由，得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0∵A，C、在椭圆C1上，∴△＞0解得，设A（x1，y1），c（x2，y2），则，，的中点坐标为．由ABCD为菱形可知，点在直线上，∴．∴直线AC的方程为y=﹣x﹣1即x+y+1=0．②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，∴菱形ABCD的面积=．∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．22．F1、F2分别是双曲线x2﹣y2=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．向量在向量方向的投影是p．（1）根据条件求出b和k满足的关系式；（2）当时，求直线l的方程；（3）当=m，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；方程思想；转化思想．分析：（1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．解答：解：（1）双曲线x2﹣y2=1的两个焦点分别是，从而圆O的方程为x2+y2=2．由于直线y=kx+b与圆O相切，所以有．即b2=2（k2+1），（k≠±1）为所求．（3分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由并整理得，（k2﹣1）x2+2kbx+（b2+1）=0，其中k2≠1．根据韦达定理，得．（5分）从而=．又由（1）知．又由于方向上的投影为p，所以．即2k2+3﹣4k2+2k2﹣2=k2﹣1，（8分）∴所以直线l的方程为．（9分）（3）类似于（2）可得，即2k2+3﹣4k2+2k2﹣2=mk2﹣m，∴．（10分）根据弦长公式，得==．∵=而2≤m≤4，∴当m=2时，当m=4时，因此△AOB面积的取值范围是．（14分）点评：本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题．23．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上一点，且，|OP|=1（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题；数形结合．分析：（Ⅰ）因为，所以，由，得．由此能得到椭圆的方程．（Ⅱ）动直线l的方程为：，由得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则由此能够证明在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．解答：解：（Ⅰ）因为，所以．（2分）∵，∴PF1⊥PF2，∴；又∵|OP|=1，∴c=1，∴．b=1．因此所求椭圆的方程为：．（4分）（Ⅱ）动直线l的方程为：，由得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．（8分）假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则=．（12分）由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．（14分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．24．已知抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为F，以点A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点．（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）由题中易知F的坐标为（a，0），故|FA|=4所以，该圆的方程为（x﹣a﹣4）2+y2=16．因此要证明点A在以M、N为焦点的椭圆上只需证明|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|即可根据椭圆的定义得出证明．而要证明以M、N为焦点的椭圆过点F只需证明|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|，而|FM|，|FN|是抛物线的两个过焦点的弦因而根据抛物线的定义可得：|FM|=x1+a，|FN|=x2+a所以|FM|+|FN|=x1+x2+2a所以需要联立方程．（2）可假设存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项则2|FP|=|FM|+|FN|=8即|FP|=4．设P的坐标为，×利用两点间的距离公式可得|FP|=4中与x1+x2，x1x2间的关系代入求解即可，要注意在0＜a＜1的条件下取舍．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为该抛物线的焦点F的坐标为（a，0），故|FA|=4所以，该圆的方程为（x﹣a﹣4）2+y2=16，它与y2=4ax在x轴的上方交于M（x1，y1），N（x2，y2）（y1＞0，y2＞0，x1＞0，x2＞0）把y2=4ax代入到（x﹣a﹣4）2+y2=16中并化简得：由①②③得0＜a＜1又由抛物线定义可得：|FM|=x1+a，|FN|=x2+a所以|FM|+|FN|=x1+x2+2a=8而|MN|＜|FM|+|FN|=8又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4所以，|AM|+||AN=8，因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|＜8所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上，…（8分）（II）若存在满足条件的实数a，则有2|FP|=|FM|+|FN|=8⇒|FP|=4设点P的坐标为，，由（2）（3）得这与0＜a＜1矛盾故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项…（13分）点评：本题第一问主要考查了利用椭圆的定义来证明点A在以M、N为焦点且过点F的椭圆上关键是|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|和|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|的证明这可以利用椭圆和圆的性质得到．而对于第二问常用假设a存在然后再利用题中的条件求出a但要与a的范围比较，若在此范围内则存在否则不存在．25．已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC所在直线上且．（1）求△ABC外接圆的方程；（2）一动圆过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足，求k的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量的综合题；圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由，知AT⊥AB，从而直线AC的斜率为﹣3．所以AC边所在直线的方程为3x+y+2=0．由得点A的坐标为（0，﹣2），由此能求出△ABC外接圆的方程．（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．由此能求出动圆圆心的轨迹方程．（3）PQ直线方程为：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0），由此能够得到k的取值范围．解答：解：（1）∵∴AT⊥AB，从而直线AC的斜率为﹣3．所以AC边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．即3x+y+2=0．由得点A的坐标为（0，﹣2），又．所以△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2=8．（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为．（3）PQ直线方程为：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（1﹣k2）x2+4kx﹣6=0（x＜0）∴解得：故k的取值范围为点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．26．在直角坐标系xoy中，已知三点A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，）；以A、B为焦点的椭圆经过C点，（1）求椭圆方程；（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l，与椭圆交于不同的两点M、N，使（+）•=0？若存在．求出直线l斜率的取值范围；（3）对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使（+）•=0，试求实数n的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设椭圆方程为，由焦点A（﹣1，0），B（1，0）及椭圆过C（﹣1，可得到椭圆方程．（2）由，知，设直线方程y=kx+m，（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）．由题知可得（3+4k2）x2+8kmx+4k2﹣12=0，，由△＞0可得4k2+3＞m2，由可得4k2＜﹣2矛盾．所以符合条件的直线不存在．（3）由，可推出，要使k存在解得n的取值范围是．解答：解：（1）设椭圆方程为，由焦点A（﹣1，0），B（1，0）及椭圆过C（﹣1，可得，，解得，即椭圆方程是．（2）∵，∴，由题知直线的斜率存在．可设直线方程为y=kx+m，（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）．由题知，得（3+4k2）x2+8kmx+4k2﹣12=0，得，由△＞0，得4k2+3＞m2，由，得，即m=﹣3﹣4k2，又由4k2+3＞m2，可得4k2＜﹣2矛盾．所以符合条件的直线不存在．（3）由（2）知，推出，要使k存在只需，解得n的取值范围是．点评：本题考查椭圆方程的求法和判断直线方程是否存在，求实数n的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．27．在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点到椭圆E的两个焦点距离之和为，椭圆E的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若b为椭圆E的半短轴长，记C（0，b），直线l经过点C且斜率为2，与直线l平行的直线AB过点（1，0）且交椭圆于A、B两点，求△ABC的面积S的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题设条件，先求出a，b，c的值，然后再求椭圆E的方程．（2）由题设知点C（0，1），直线L的方程为：y=2x+1，直线AB的方程为：y=2x﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=2x﹣2代入椭圆E的方程，整理可得：13x2﹣24x+9=0，再由根与系数的关系和点到直线的距离公式能够求出△ABC的面积S的值．解答：解：（1）由题意，得（2分）∴（4分）∴椭圆E的方程为（5分）（2）由（1）可知点C（0，1），易知直线L的方程为：y=2x+1（6分）直线AB的方程为：y=2x﹣2（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=2x﹣2代入椭圆E的方程整理可得：13x2﹣24x+9=0，（8分）则，可得（10分）故（11分）设点C（0，1）到直线AB的距离为d，由点到直线的距离公式可得：（13分）∴△ABC的面积．（14分）点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘条件，合理地运用韦达定理和点到直线的距离公式进行解题．28．已知点M（0，﹣1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．（1）当m=0时，有，求曲线C的方程；（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，