二分法与求方程近似解教学设计

第8章函数应用

8.1二分法与求方程近似解

函数的零点

教学设计

一、教学目标

1.理解函数零点的概念；

2.会求简单函数的零点.

二、教学重难点

1.教学重点

函数零点的概念.

2.教学难点

会求简单函数的零点.

三、教学过程

(-)新课导入

预习课本内容，思考以下问题：

1.函数与方程有什么关系？

2.如何运用函数的知识研究方程的解？

(-)探索新知

使二次函数y=ox2+6x+c(a,6,ceR,。*。)的值为0的实数尤称为二次函数

y=依2+&v+c的零点.因止匕二次函数y=依2+法+。的零点就是关于x的一元二次方程

以2+6x+c=0的实数解，也是二次函数>=依2+灰+。的图象与无轴交点的横坐标.

一般地，把使函数y=/(x)的值为0的实数x称为函数y=/(x)的零点.

因此，函数y=/(x)的零点就是方程/Xx)=O的实数解.从图象上看，函数y=/(x)的零

点，就是它的图象与x轴交点的横坐标.

对于函数/。)=尤2-2》-1在区间(2,3)上是否存在零点这个问题，可以通过解方程或

观察函数图象的方法来解决.

如图，因为/(2)=-1<0,/(3)=2>0,而二次函数/(尤)=/-2主-1在区间［2,3］上的

图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2,3)上

存在零点.

一般地，若函数y=/(x)在区间m，句上的图象是一条不间断的曲线，且/■(a)/S)<0,

则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.

例1证明：函数〃x)=川+尤2+1在区间(_2,-1)上存在零点.

证明：因为八-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0,

/(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0,

且函数/(x)在区间［-2,-1］上的图象是不间断的，所以函数/(尤)在区间(-2,-1)上存

在零点.

例2求证：函数八》=2'2元-3有零点.

证明：因为/(0)=2°+2x0-3=-2<0,

/(1)=21+2xl-3=l>0,

且函数/(x)在区间［0,1］上的图象是不间断的，所以函数十》=2工+2尤-3在区间(0,1)

上有零点，从而函数八》=2'2元-3有零点.

(三)课堂练习

1.函数y=Y+6尤+8的零点是()

A.2,4B.-2,-4C.(-2,0),«0)D.(-2,-4)

答案：B

解析：令y=f+6x+8=0,即(尤+2)(x+4)=0,

解得玉=—2,%2=—4,

故函数的零点为-2,-4,故选B.

2.方程logs尤+x=3的根所在的区间为()

A.(0,2)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案：C

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解析：^/(x)=log3x+x-3,则/(2)=log32+2-3=log3§<0,/(3)=log33+3-3=l>0,

所以方程log3尤+元=3的根所在的区间为(2,3).故选C.

3.设/(x)是区间［-1,1］上的增函数，且则方程/(尤)=0在区间［一1,1］内

()

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根

D.没有实数根

答案：C

解析：因为小)在区间［-I」上是增函数，且/所以人》)在区间a

上有唯一的零点.所以方程/(%)=0在区间［-:1,1］内有唯一的实数根.故选C.

4.求下列函数的零点：

(1)f(x)=—x2+2x+3；

,、(2x-4,x>0,

(2)f(x)=2

［2x2+5x+2,x<0.

答案：(1)令-炉+2*+3=0,得x=-l或x=3,因此函数的零点为-1,3.

(2)当xNO时，由2x—4=0得x=2；

当x<0时，由2x2+5x+2=0得彳=-2或尤=」.所以函数的零点为-2,,2.

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5.求证：方程5--7》-1=0的一个根在区间(-1,0)上，另一个根在区间(1,2)上.

答案：由题意得方程5x2-7x-l=0的判别式A=69>0,故方程共有两个不等实数根.

设f(x)=5尤2-7x-l,

则f(-l)=5+7_l=ll,/(0)=-1,/(1)=5-7-1=-3,/(2)=20-14-1=5.

•.­/(-1)-/(0)=-11<0,，⑴"⑵=一15<0,且/(X)=5/一7无一1的图象在R上是连续不

断的，

f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,

即方程-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上，另一个根在区间(1,2)上.

(四)小结作业

小结：函数零点的概念及求法.

作业：

四、板书设计

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