甘肃省2018-2019年高二上学期第一次月考数学(文)试题

PAGE1-高二上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，,故选B.2.在复平面，复数对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B3.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A.164石B.178石C.189石D.196石【答案】C【解析】试题分析：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石.故选C.考点：抽样中的用样本去估计总体.4.下列选项中说法正确的是（）A.命题“为真”是命题“为真”的必要条件B.若向量满足，则与的夹角为锐角C.若，则D.“”的否定是“”【答案】A【解析】对于，若为真命题，则至少有一个为真命题，若为真命题，则为命题，则为真命题，是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，正确；对于，根据向量积的定义，向量满足，则与的夹角为锐角或同向，故错误；对于，如果时，成立，不一定成立，故错误；对于“，”的否定是“，”故错误，故选A.5.设为等差数列的前项和，，则（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】试题分析：由已知得解得．故选A．考点：等差数列的通项公式和前项和公式．6.已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】试题分析：因为双曲线的离心率，所以，所以中点到该抛物线的准线的距离为.考点：双曲线及抛物线.7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【答案】B【解析】∵，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，

∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，

故选：B．8.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由已知，，，，，，，符合条件输出，故选C.考点：直到型循环结构程序框图运算.【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.曲线在点处得切线与直线和围成的三角形的面积为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】由题意可得，曲线在点处的切线方程为：，则切线方程与的交点坐标为，则直线和围成的三角形的面积为，故选B10.—个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三棱锥的三视图可知，该三棱锥是一个直三棱锥，底面为边长为1的等腰直角三角形，高为2的直三棱锥，故,故选B.11.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于（）A.B.C.D.【答案】D则圆心为M(3,1)，半径R=1，由得，则双曲线的焦点在x轴,则对应的渐近线为，设双曲线的一条渐近线为，即ax−by=0，∵一条渐近线与圆相切，∴即圆心到直线的距离|3a−b|=c，平方得9a2−6ab+b2=c2=a2+b2，则离心率e=，故选：D.12.如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量(为实数），则的最大值是（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】如图所示,①设点O为正六边形的中心,则当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点。连接OP，则，∵与共线,∴存在实数t,使得∴此时m+n=1+t+1−t=2，取得最小值②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与Q的交点P时,此时m+n=5取得最大值。故选：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知点的坐标满足条件，则的最大值为__________．【答案】10【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，由图得当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为(1,3)，代入目标函数中,可得zmax=32+12=10.故答案为：10.14.已知数列满足，则__________．【答案】255【解析】因为数列满足，（）

an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1=2n−1+2n−2+…+2+1=2n−1.∴an=2n−1，即=25515.已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，,则球的表面积为__________．【答案】【解析】取的中点，连结,，在四面体中，平面，

是边长为3的等边三角形．,是等腰三角形，

的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，,则四面体外接球的表面积为：．综上所述，16.已知函数，且是函数的极值点.给出以下几个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(填写所有正确命题的序号）.【答案】①③【解析】试题分析：因为函数，所以，所以．因为，，所以，即①正确，②不正确；，即③正确，④不正确．故应填①③．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，其中.（1）求的单调递减区间；（2）在中，角所对的边分别为，，且向量与共线，求边长和的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）化简得，代入，求得增区间为；（2）由求得，余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得，解得.试题解析：（1）由题意知,,在上单调递增,令,得,的单调递增区间.（2）,又,即.,由余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得.考点：三角函数恒等变形、解三角形．18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率.【答案】（1）（2）0.7【解析】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．考点：频率分布直方图．19.如图，四边形是菱形，，平面，，，为中点.（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在一点，使平面？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【答案】（1）见解析（2）当点位于三分之一点（靠近点）时，平面【解析】试题分析：（1）证明平面垂直于平面，需要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据题意，只需证明；平面即可，只需证明和即可，显然易证；（2）若平面，需要只需要连结交于点，根据题意,所以相似于，所以又因为，所以，从而在中,，而，当点位于三分之一分点（靠近点）时,平面．试题解析：（1）连结所以为中点所以又因为平面,所以……………4分所以平面因为平面,所以平面平面（2）当点位于三分之一分点（靠近点）时,平面连结交于点,所以相似于又因为，所以从而在中,而所以而平面平面所以平面考点：1．面面垂直的判定定理；2．动点问题．20.已知抛物线，过定点（常数）的直线与曲线相交于两点.（1）若点的坐标为，求证：；（2）若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）以为直径的圆恒过定点【解析】试题分析：（1）要证明∠AED=∠BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证KAE=-KBE即可，讨论直线AB的斜率是否存在，设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得证；（2）设动直线l方程为x=ty+b，表示出B坐标，联立l与抛物线解析式，消去x得到关于y的方程，根据根的判别式等于0得出t与b的关系式，进而设出A与O的坐标，表示出向量AO与向量BO根据圆周角定理得到两向量垂直，即数量积为0，列出关系式，确定出当m=1，n=0时，上式对任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB为直径的圆恒过点O，以及此时O的坐标.试题解析：（1）（a）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性有，；当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为（，），，则、两点的坐标满足方程组消去并整理，得，设直线和的斜率分别为，，则，.综合（a）（b）可知.（2）以为直径的圆恒过定点.提示：证明21.已知函数.（1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出m的范围即可；（2）设g(x)=f2(x)-f3(x)-2f1′(x)=ex-lnx-2，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证出结论．试题解析:（1）由题意得，所以，因为，所以若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，所以综上，实数的取值范围为.（2）设则，设，则，所以在上单调递增，由，得，存在唯一的使得，所以在上有，在上有所以在上单调递减，在递增.所以，故，.22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系