湖北省襄阳市2009年中考数学试卷(解析版)

隆中小山下_新浪博客：/5942jiaoyu25- 2009年中考数学试题解析（湖北襄阳卷）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．A为数轴上表示﹣1的点，将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为（）A．﹣3B．3C．1D．1或﹣3考点：数轴．分析：此题借助数轴用数形结合的方法求解．解答：解：由题意得，把点向左移动2个单位长度，即是﹣1﹣2=﹣3．故B点所表示的数为﹣3．故选A．点评：在数轴上移动的时候，数的大小变化规律是：左减右加．2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．解答：解：上面看，是上面2个正方形，左下角1个正方形，故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．3．通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为（）A．3.1×10﹣5B．3.1×10﹣6C．3.1×10﹣7D．3.1×10﹣8考点：科学记数法—表示较小的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：0.0000031=3.1×10﹣6．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°考点：三角形内角和定理；平行线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补得出∠BFC，根据AE=AF可得出∠E=∠EFA，根据三角形的内角和为180°可求∠A．解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCF+∠BFC=180°，∴∠BFC=70°，∴∠EFA=70°，又∵△AEF中，AE=AF，∴∠E=∠EFA=70°，∴∠A=180°﹣∠BFC﹣∠EFA=40°．故选B．点评：该题考查了平行线的性质及三角形内角和定理．5．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a8÷a4=a2C．a3+a3=2a6D．（a3）2=a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：分别根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则进行计算即可．解答：解：A、a2•a3=a5≠a6，故本选项错误；B、a8÷a4=a4≠a2，故本选项错误；C、a3+a3=2a3≠2a6，故本选项错误；D、（a3）2=a3×2=a6，正确．故选D．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．6．（3分）（2009•襄阳）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣2考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可求解．解答：解：根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2故选C．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．7．（3分）分式方程的解为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母为（x﹣3）（x﹣1），去分母，解整式方程，结果需要检验．解答：解：方程两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得x（x﹣1）=（x﹣3）（x+1），整理得x2﹣x=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣3．经检验x=﹣3是方程的解．故选D．点评：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．8．（3分）（2009•襄阳）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）考点：一次函数综合题．专题：动点型．分析：此题要分两种情况，（1）P点在AB上，D点在BC上，设出运动时间t，把BP，AP用t表示出来，根据条件过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t值；（2）同理：假设P点在AC上，D点在BC上，解出t值．解答：解：（1）当P把△ABC分成如图1两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AB上，设P运动了t秒，则BP=t，AP=12﹣t，由题意得：当BP+BD=（AP+AC+CD）时，即t+3=（12﹣t+12+3），解得t=7秒；（2）当DP把△ABC分成如图2两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AC上，设P运动了t秒，则AB+AP=t，PC=AB+AC﹣t，由题意得：当BD+t=2（PC+CD）时，即3+t=2（12+12﹣t+3），即3t=51，t=17秒．∴当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．点评：此题很简单，考查的是一次函数在实际生活中的应用，再解答此题时一定要注意分两种情况讨论，不要漏解．17．（3分）（2010•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π﹣4（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．点评：此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．三、解答题（共9小题，满分69分）18．（5分）（2009•襄阳）计算：考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简．解答：解：原式=（2分）=（3分）=（4分）=．（5分）点评：此题一要注意运算顺序，二要注意符号的处理，如4﹣a2=﹣（a2﹣4）．19．（5分）（2009•襄阳）江涛同学统计了他家10月份的电话清单，按通话时间画出直方图，从左到右分别为一、二、三、四组．如图所示．（1）他家这个月总的通话次数为次，通话时间的中位数落在第组内；（2）求通话时间不足10分钟的通话次数占总通话次数的百分率．（结果保留两个有效数字）考点：频数（率）分布直方图；中位数．专题：图表型．分析：（1）直接相加即可，根据中位数的求算方法可知中位数是第三个数据；（2）用样本来估计总体．×100%≈73%．解答：解：（1）他家这个月总的通话次数为55次，通话时间的中位数落在第二组内；故填55，二．（2）由图可知通话时间不足10分钟的通话次数为：25+15=40次，∴×100%≈73%．答：通话时间不足10分钟的通话次数占总通话次数的百分率约为73%．点评：主要考查了频数的计算方法，中位数的确定方法和用样本估计总体的能力．20．（6分）（2009•襄阳）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题．分析：由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求解．解答：解：由图可知，∠ACB=30°，∠BAC=45°．（1分）作BD⊥AC于D（如图）．在Rt△ADB中，AB=20，∴BD=AB•sin45°=20×=10．（2分）在Rt△BDC中，∠ACB=30°，∴BC=2×10=20≈28．（3分）∴≈0.47．（4分）∴0.47×60=28.2≈28（分钟）．（5分）答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C．（6分）点评：化斜为直是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、60°、45°）．21．（6分）（2009•襄阳）实验探究：甲、乙两个不透明的纸盒中分别装有形状、大小和质地完全相同的两张和三张卡片．甲盒中的两张卡片上分别标有数字1和2，乙盒中的三张卡片分别标有数字3，4，5．小红从甲盒中随机抽取一张卡片，并将其卡片上的数字作为十位上的数字，再从乙盒中随机抽取一张卡片，将其卡片上的数字作为个位上的数字，从而组成一个两位数．（1）请你画出树状图或列表，并写出所有组成的两位数；（2）求出所组成的两位数是奇数的概率．考点：列表法与树状图法．专题：探究型．分析：列举出所有情况，让所组成的两位数是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：（1）依题意列表如下：说明：考生列表或画树状图正确记，故所组成的两位数有：13、14、15、23、24、25；十位个位12313234142451525（2）由（1）可知所有可能出现的结果有6种，且它们出现的可能性相等，其中出现奇数的情况有4种，∴，（5分）答：所组成的两位数是奇数的概率为．（6分）点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（6分）（2009•襄阳）如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（0，﹣2），若S△AOD=4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）需求A点坐标，由S△AOD=4，点D（0，﹣2），可求A的横坐标；由C是OB的中点，可得OD=AB求出A点纵坐标，从而求出反比例函数解析式；根据A、D两点坐标求一次函数解析式；（2）观察图象知，在交点A的左边，y1＞y2．解答：解：（1）作AE⊥y轴于E，∵S△AOD=4，OD=2∴OD•AE=4∴AE=4（1分）∵AB⊥OB，C为OB的中点，∴∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC，∠OCD=∠BCA∴Rt△DOC≌Rt△ABC∴AB=OD=2∴A（4，2）（2分）将A（4，2）代入中，得k=8，∴反比例函数的解析式为：，（3分）将A（4，2）和D（0，﹣2）代入y2=ax+b，得解之得：∴一次函数的解析式为：y2=x﹣2；（4分）（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，0＜x＜4．（6分）点评：熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象解不等式时，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．23．（8分）（2009•襄阳）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90度．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF．连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形．（2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形．解答：（1）证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，（1分）又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，∴AF=FC=AC，（3分）∴AD=DC=FC=AF，∴四边形AFCD是菱形．（4分）（2）四边形ABCG是矩形．（5分）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，（6分）∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，（8分）∴四边形ABCG是矩形．点评：此题主要考查菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键．24．（10分）（2009•襄阳）如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；垂径定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．解答：（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠F=∠ACH，又∠CAF=∠FAC，∴△ACH∽△AFC．（2）解：AH•AF=AE•AB．证明：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEH=90°，又∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴，∴AH•AF=AE•AB．（3）解：当时，S△AEC：S△BOD=1：4．理由：∵直径AB⊥CD，∴CE=ED，∵S△AEC=AE•EC，S△BOD=OB•ED，∴===，∵⊙O的半径为2，∴，∴8﹣4OE=2，∴OE=．点评：能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．25．（10分）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：方案型．分析：（1）可根据“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”，列出方程组求出答案；（2）根据“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”，进行判断即可；（3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．解答：解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元．依题意得：解得：答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元；（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．则60m+85n=1575∵A类学校不超过5所∴﹣n+≤5∴n≥15即：B类学校至少有15所；（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6﹣x）所，依题意得：解得：1≤x≤4∵x取整数∴x=1，2，3，4答：共有4种方案．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：（1）“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”；（2）“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”；（3）“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”，列出方程组，再求解．26．（13分）（2009•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．考点：等腰梯形的判定；二次函数的应用；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型．