四川省专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

四川省专升本（高等数学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题6.证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设f(x)在x=1处连续，且=2，则f′(1)=()A．2B．C．一2D．正确答案：A解析：由题设条件，有f(x)=f′(1)，则f′(1)=2．2．下列等式不成立的是()A．=eB．=e－1C．=eD．=e正确答案：C解析：利用重要极限=e可知选项C不成立．故选C．3．已知f′(cosx)=sinx，则f(cosx)=()A．一cosx+CB．cosx+CC．(sinxcosx—x)+CD．(x—sinxcosx)+C正确答案：C解析：已知f′(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得∫f′(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)，有故选C．4．下列关系式正确的是()A．d∫f(x)dx=f(x)+CB．∫f′(x)dx=f(x)C．∫f(x)dx=f(x)D．∫f(x)dx=f(x)+C正确答案：C解析：A项，d∫f(x)dx=f(x)dx；B项，∫f′(x)dx=f(x)+C；C项，∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′=f(x)，则选C，由C知D项不正确．5．设z=x3y2，则=()A．12dx+4dyB．12dx一4dyC．6dx+4dyD．6dx一4dy正确答案：A解析：由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，=12dx+4dy．6．a=(1，λ，2)，b=(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ=()A．一2B．C．一2或D．2或正确答案：C解析：∵a.b=1×2+λ×(一1)+2×2=6一λ，又∵a.b=｜a｜.｜b｜cos(a，b)=7．过点M(0，－1，2)且垂直于平面2x—y+3z一1=0的直线方程为()A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查了空间中直线方程的求解．由于所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，一1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为8．下列反常积分收敛的是()A．xdxB．x2dxC．dxD．dx正确答案：D解析：A项，=∞发散；B项，=∞发散；C项，=∞发散；D项，=0+1=1收敛．故选D．9．微分方程dy=0的通解为()A．2(x3－y2)+3(x2－y3)=CB．2(x3－y3)+3(y2一x2)=CC．2(x3－y3)+3(x2－y2)=CD．3(x3－y3)+2(x2－y2)=C正确答案：C解析：对原式变形得(x+x2)dx一(y+y2)dy=0，移项得(x+x2)dx=(y+y2)dy．对等式两边积分可得y3+C1，从而可得2(x3－y3)+3(x2一y2)=C．10．A为n阶可逆矩阵，则下列各项正确的是()A．(2A－1)T=(2AT)－1B．(2A)－1=2A－1C．E(A－1)－1]T=[(AT)－1]－1D．A=正确答案：C解析：由于(2AT)(2A－1)T=(2A)T(2A－1)T=((2A－1)(2A))T=4E，故A错误；B，(2A)－1=A－1；C，[(A－1)－1]T=AT=[(AT)－1]－1；D，由AA－1=E知该选项错误．填空题11．设f(x)=在x=0处连续，则k=___________．正确答案：1解析：由已知及连续的定义得ex=1=f(0)，得k=1．12．参数方程所确定的函数的一阶导数=___________．正确答案：e2t解析：13．设f(2)=1，xf′(x)dx=___________．正确答案：1解析：由分部积分公式有f(x)dx=2f(2)－f(x)dx=2×1—1=1．14．微分方程x(y′)2－2xy′+x=0的阶数是___________．正确答案：1解析：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为这个方程的阶．15．设A=，且矩阵X满足AX=A+2X，则X=___________．正确答案：解析：AX=A+2X(A一2E)X=A，A一2E=，容易证明A一2E=可逆，所以X=(A一2E)－1A，又因为(A一2E，A)=解答题解答时应写出推理、演算步骤。16．设f(x)=试确定k的值使f(x)在点x=1处连续．正确答案：=1，要使f(x)在x=1处连续，应有k=f(1)=f(x)=1．解析：本题考查函数的极限和连续，关键是求出17．计算(x一1)99dx．正确答案：解析：本题考查的知识点为定积分的计算利用换元积分法计算即可．18．设z=sin(x2一xy+y2)，求正确答案：令u=，v=x2－xy+y2，则z=eusinv，于是有=eusinv.+eucosv.(2x—y)=sin(x2－xy+y2)+(2x—y)cos(x2－xy+y2)]，=eusinv.(－)+eucosv.(2y—x)=[(2y－x)cos(x2－xy+y2)－sin(x2－xy+y2)]．解析：本题考查复合函数求导，引进中间变量化简运算求解即可．19．求微分方程y′+ycosx=e－sinx的通解．正确答案：y=e－∫cosxdx[∫e－sinx.e∫cosxdxdx+C]=e－sinx[∫e－sinx.esinxdx+C]=e－sinx(x+C)．解析：本题考查一阶线性微分方程的通解，利用非齐次线性微分方程的通解公式求解即可．20．将f(x)=展开为x的幂级数．正确答案：＜1，即一3＜x＜3．解析：本题考查的知识点为将函数展开为z的幂级数．21．(1)求由曲线y=e－x与直线x+y=1，x=1所围成的平面图形的面积S；(2)计算二重积分xydxdy，其中D为(1)中的平面区域．正确答案：(1)S=(e－x－1+x)dx=(－e－x－x+(2)x(e－2x－(x2－2x+1))dx解析：本题考查定积分与二重积分计算，至于第(2)问，把二重积分化为累次积分计算即可．22．设线性方程组问a，b分别为何值时，方程组无解，方程组有唯一解，方程组有无穷多解?正确答案：原方程组的增广矩阵变形过程为：讨论：(1)当a≠－3，b为实数时，秩(B)=3=n=3，方程组有唯一解；(2)当a=－3，b=3时，秩(B)=2＜n=3，方程组有无穷多解；(3)当a=－3，b≠3时，秩(B)=3≠秩(A)=2，方程组无解．解析：本题是用初等行变换求非齐次线性方程组的解的不同情况．23．求函数f(x，y)=2x3一6xy+3y2+5的极值．正确答案：f′x(x，y)=6x2－6y，f′y(x，y)=－6x+6y，f″xx(x，y)=12x，f″xy(x，y)=－6，f″yy(x，y)=6．令得驻点(0，0)，(1，1)．对于驻点(0，0)，A=f″xx(0，0)=0，B=f″xy(0，0)=－6，C=f″yy(0，0)=6，因为B2一AC=(一6)2＞0，所以点(0，0)不是极值点．对于驻点(1，1)，A=f″xx(1，1)=12，B=f″xy(1，1)=－6，C=f″yy(1，1)=6，因为B2－AC=(一6)2－12×6=－36＜0，且A=12＞0，所以点(1，1)是极小值点，极小值为f(1，1)=4．解析：本题考查的知识点是二元函数的无条件极值．二元函数取得极值的充分条件：设z=f(x，y)在(x0，y0)的某个领域内有连续一、二阶偏导数，且f′x(x0，y0)=f′y(x0，y0)=0，令f′xx(x0，y0)=A，f′xy(x0，y0)=B，f′yy(x0，y0)=C，则当B2一AC＜0且A＜0时，f(x0，y0)为极大值；当B2一AC＜0且A＞0，f(x0，y0)为极小值；B2一AC＞0时，(x0，y0)不是极值点．综合题24．欲围成一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?正确答案：设所围场地正面长为x，另一边为y，则xy=150，从而y=．设四面围墙高度相同，都是h，则四面围墙所使用的材料总费用为f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h.则f′(x)=9h(1一)，令f′(x)=0，得驻点x1=10，x2=－10(舍去)．f″(10)=1．8h＞0．由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时所用材料费最少．解析：先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数f(x)，然后用求一元函数y=f(x)最值法即可得解．25．求由曲线y=2一x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．正确答案：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=πy2(x)dx．画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2一x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．当x≥0时，由解析：就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕z轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．证明题26．证明方程3x一1一=0在区间(0，1)内有唯一的实根．正确答案：令f(x)=3x一1一，则f(x)在区间[0，1]上连续．由于dt=1，所以f(1)=2－＞0．又f(0)=－1＜0，根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根．又f′(x)=3一，当0≤x≤1时，f′(x)＞0．因此，f(x)在[0