高一数学人必修件时二次函数与一元二次方程不等式的应用

高一数学人必修件时二次函数与一元二次方程不等式的应用汇报人：XX20XX-01-21二次函数基本概念与性质一元二次方程求解方法一元二次不等式解法与性质二次函数与一元二次方程不等式关系典型例题分析与解题思路知识点总结与拓展延伸contents目录二次函数基本概念与性质01形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数定义二次函数的图像是一条抛物线，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。图像特征二次函数定义及图像特征二次函数的对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$。对称轴二次函数的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},fleft(-frac{b}{2a}right)right)$，其中$fleft(-frac{b}{2a}right)$可通过将$x=-frac{b}{2a}$代入函数表达式求得。顶点求解二次函数对称轴与顶点求解单调性判断方法根据二次函数的开口方向和对称轴位置，可以确定函数在不同区间上的单调性。当$a>0$时，函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当$a<0$时，函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。最大值最小值对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。二次函数单调性判断一元二次方程求解方法02判别式$Delta=b^2-4ac$。当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根，分别为$x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$和$x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$。当$Delta<0$时，方程无实根，但在复数范围内有两个根。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根，即$x_1=x_2=-frac{b}{2a}$。一元二次方程标准形式：$ax^2+bx+c=0$，其中$aneq0$。公式法求解一元二次方程将原方程$ax^2+bx+c=0$化为完全平方形式。通过配方得到$(x+frac{b}{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}$。当$Deltageq0$时，开方得到$x+frac{b}{2a}=pmsqrt{frac{b^2-4ac}{4a^2}}$。解得$x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$和$x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$。01020304配方法求解一元二次方程010204因式分解法求解一元二次方程寻找两个数$m$和$n$，使得$mtimesn=ac$且$m+n=b$。将原方程$ax^2+bx+c=0$因式分解为$(x-m)(x-n)=0$。解得$x_1=m$和$x_2=n$。若无法找到满足条件的$m$和$n$，则此方法不适用，需采用其他方法求解。03一元二次不等式解法与性质03将一元二次不等式化为完全平方的形式，从而解出不等式的解集。配方法利用求根公式解一元二次方程，再根据不等式的性质确定解集。公式法将一元二次不等式因式分解，转化为两个一元一次不等式的乘积，分别解出每个不等式的解集，再取交集得到原不等式的解集。因式分解法一元二次不等式解法一元二次不等式的图像是一个抛物线，可以通过抛物线的开口方向、顶点坐标和与坐标轴的交点等信息，直观地表示不等式的解集。在数轴上标出一元二次不等式的解集，可以清晰地表示出不等式的取值范围。一元二次不等式图像表示数轴表示抛物线图像对称性一元二次不等式具有对称性，即如果a是方程的根，那么-a也是方程的根。判别式与解的关系一元二次不等式的判别式决定了方程的根的情况。当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程无实根。解的区间性一元二次不等式的解集是一个区间或一个并集形式的区间。根据不等式的性质和解的区间性，可以确定不等式的取值范围。一元二次不等式性质探讨二次函数与一元二次方程不等式关系04二次函数的判别式$Delta=b^2-4ac$，决定了方程的根的情况，当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当$Delta<0$时，方程无实根。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的零点就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。二次函数的对称轴是$x=-frac{b}{2a}$，与一元二次方程的根的和公式$-frac{b}{a}$密切相关。二次函数与一元二次方程关系一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$的解集，就是二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x$轴上方或下方的部分对应的$x$的取值范围。通过观察二次函数的图象，可以直接得到一元二次不等式的解集。当$a>0$时，抛物线开口向上，不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为${x|x<x_1text{或}x>x_2}$，其中$x_1,x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；不等式$ax^2+bx+c<0$的解集为${x|x_1<x<x_2}$。当$a<0$时，抛物线开口向下，不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为${x|x_1<x<x_2}$；不等式$ax^2+bx+c<0$的解集为${x|x<x_1text{或}x>x_2}$。二次函数与一元二次不等式关系利用二次函数的图象和性质，可以直观地解决一元二次方程和不等式的相关问题。在解决实际应用问题时，可以通过建立二次函数模型，将问题转化为一元二次方程或不等式的问题进行求解。例如，在求解最大利润、最小成本等问题时，可以通过建立二次函数模型，利用二次函数的性质进行求解。通过分析一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的图象与$x$轴的交点情况，从而得到不等式的解集。二次函数、一元二次方程和不等式综合应用典型例题分析与解题思路05已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+x+1$，求$f(x)$的表达式。例题1根据已知条件，列出关于$a,b,c$的方程组，解得$a,b,c$的值，从而得到$f(x)$的表达式。解题思路解一元二次方程$x^2-2x-3=0$。例题2利用求根公式或配方法求解一元二次方程。解题思路涉及二次函数和一元二次方程的典型例题例题3解题思路例题4解题思路涉及一元二次不等式的典型例题解不等式$x^2-4x+3<0$。已知不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为${x|x<-1}$或${x|x>3}$，求$a,b,c$的值。将不等式化为$(x-1)(x-3)<0$的形式，利用数轴标根法求解不等式。根据不等式的解集，构造关于$a,b,c$的方程组，解得$a,b,c$的值。已知函数$f(x)=x^2-2ax+2$在区间$[-1,3]$上的最小值为$g(a)$，求$g(a)$的表达式。例题5根据二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的关系，分别求出最小值，从而得到$g(a)$的表达式。解题思路已知不等式$(x-a)(x-b)<0$的解集为${x|a<x<b}$，且$a+b=-2$，求不等式$(2x-a)(2x-b)<0$的解集。例题6利用已知条件求出$a,b$的关系式，代入不等式化简求解。解题思路综合运用知识解决复杂问题知识点总结与拓展延伸06二次函数的一般形式、标准形式及其性质一元二次不等式的解法，包括图像法和因式分解法一元二次方程的解法，包括求根公式和配方法二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系回顾本次课程重要知识点二次函数与一元二次方程的联系一元二次方程是二次函数与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点。通过解一元二次方程，可以确定二次函数的图像与x轴的交点。二次函数与一元二次不等式的联系一元二次不等式表示的是二次函数在某个区间内的函数值大于或小于零的情况。通过解一元二次不等式，可以确定二次函数在某个区间内的正负性。二次函数、一元二次方程与不等式的区别它们的研究对象不同，二次函数研究的是函数的性质，而一元二次方程和不等式研究的是数与数之间的关系。此外，它们的解法也有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。探讨相关知识点之间的联系和区别在实际问题中，